Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

внутреннего кольца. Внутреннее,кольцо в свою очередь может вра­ щаться вокруг перпендикулярной оси В' В, проходящей через под­ шипники на концах диаметра наружного кольца. Наконец, наруж­ ное кольцо может совершать вращение вокруг третьей оси D'D, проходящей через неподвижные подшипники подставки. Ось В'В перпендикулярна к оси А'А. Все три оси пересекаются в одной точке, называемой центром карданова подвеса. Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы и может совершать любые повороты вокруг центра подвеса. Во всех вопросах мы будем пре­ небрегать кинетической энергией и моментами импульсов колец,

связь между векторами L и со для симметричного гироскопа. Если угловая скорость ю направлена вдоль оси фигуры гироскопа или перпендикулярно к ней, то векторы L и ш параллельны между собой. Убедиться в этом проще всего можно следующим образом. Мысленно разобьем все тело гироскопа на пары одинаковых мате­ риальных точек, симметрично расположенных относительно оси фигуры гироскопа, как указано на рис. 145 и 146. Момент импульса

равны по величине, но направлены противоположно. В этом случае

Если воспользоваться формулой (47.2), то из (49.1) можно полу­ чить следующие два выражения для кинетической энергии вра­

На практике гироскоп всегда приводится в быстрое вращение вокруг оси фигуры. По сравнению с этим быстрым вращением вра­ щение, возникающее по тем или иным причинам вокруг перпен­

направления практически совпадают с направлением оси фигуры гироскопа.

За положительное направление оси фигуры гироскопа прини­ мают направление ее, совпадающее с направлением вектора угловой скорости to (точнее, образующее с ним острый угол). Если от точки опоры О отложить отрезок OS единичной длины в положительном направлении оси фигуры гироскопа, то конец этого отрезка S назы­ вается вершиной гироскопа. Если известно движение вершины гироскопа и угловая скорость вращения его вокруг оси фигуры, то движение гироскопа определено полностью. Поэтому основная задача теории гироскопа сводится к нахождению движения вер­ шины гироскопа и угловой скорости вращения его вокруг оси фи­ гуры.

4. Вся теория гироскопа построена на уравнении моментов

причем моменты L и М берутся относительно неподвижной точки опоры гироскопа О. Если момент внешних сил М равен нулю, то

Это уравнение выражает сохранение момента импульса гироскопа. К нему следует присоединить уравнение сохранения энергии

§ 49] ГИРОСКОПЫ. ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ГИРОСКОПА 267

которое также является следствием уравнения (49.3). Если урав­

угла между вектором L и осью фигуры гироскопа. В каждый момент времени ось фигуры гироскопа совершает вращение вокруг мгно­ венной оси с угловой скоростью со. Векторы to и L, как мы видели, лежат в одной плоскости с осью фигуры гироскопа. А так как век­ тор L сохраняет неизменным свое направление в пространстве, то мгновенная ось и ось фигуры должны вращаться вокруг этого неизменного направления с одной и той же угловой скоростью. Все это приводит к следующей картине движения свободного гироскопа.

В каждый момент времени движение свободного гироскопа есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через неподвижную точку опоры. С течением времени мгновенная ось и вектор L меняют свое положение в теле, описывая конусы вокруг оси фигуры гироскопа

что на конические вращения оси фигуры гироскопа и мгновенной оси не накладываются никакие дрожания.

5 . Если гироскоп с достаточно большим моментом инерции при­ вести в быстрое вращение, то он будет обладать большим момен­

Если внешняя сила действует в течение короткого промежутка времени, то интеграл (49.6), а с ним и приращение момента импульса будут малы. Значит, при кратковременных воздействиях даже очень больших сил движение свободного гироскопа изменяется мало.

Гироскоп как бы сопротивляется всяким попыткам изменить величину и направление его момента импульса. С этим связана замечательная устойчивость, которую приобретает движение гиро­ скопа после приведения его в быстрое вращение.

268 М Е Х А Н И К А ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. VII

Возьмем массивный гироскоп, имеющий конусообразную фор­ му (рис. 148). Вдоль оси его фигуры может ввинчиваться стержень с острым концом, которым гироскоп опирается на подставку. Ввин­ тим стержень настолько, чтобы точка опоры совпала с центром масс гироскопа. Тогда гироскоп станет уравновешенным. При любом наклоне его оси фигуры он будет находиться в безразличном равно­

нить, можно привести маховичок в быстрое вращение. Если такой шар попытаться скатить с наклонной плоскости, то он будет упорно сопротивляться этим попыткам. «Послушным» шар будет только тогда, когда ось маховичка горизонтальна и перпенди­ кулярна к направлению скатывания. В этом положении шар может свободно скатываться без изменения направления оси махо­

вращение и скатывается с наклонной плоскости «боком», стремясь сохранить неизменной ориентацию оси маховичка в пространстве.

Если шар с вращающимся внутри него маховичком поставить на острие иглы даже в наклонном положении, то он не падает (рис. 149), а приобретает медленное вращение вокруг вертикальной оси под действием силы тяжести. Такое вращение называется вынужденной прецессией. Вынужденную прецессию мы рассмотрим в следующем параграфе.

6. Посмотрим теперь, как изменится основное уравнение (49.3), если точка опоры гироскопа движется. Ответ можно получить из уравнения (37.2). Скорость каждой точки движущегося гироскопа пред­ ставим в виде v = v0 -f- ®„р> где v0 — ско­ рость точки опоры О, а vBp = [cor] — скорость, возникающая из-за вращения вокруг этой точки. Тогда момент импульса гироскопа относительно точки опоры пред­ ставится выражением

L=\dm [rv0] + £вр.

где L B p — момент импульса, возникающий только из-за вращения. Если ввести ра­ диус-вектор центра масс гс, то

Продифференцировав это выражение и под­ ставив в формулу (37.2), получим

к моменту действующих сил М надо приба­

вить момент «фиктивной силы», или «силы инерции» Fm = —mvo, приложенной к центру масс гироскопа. Этот результат становится совершенно естественным, если отнести движение к системе отсчета, в которой точка опоры гироскопа неподвижна (см. гл. IX).

§50. Гироскоп под действием сил. Приближенная теория

1.Наиболее интересным видом движения гироскопа является вынужденная прецессия. Она возникает под действием внешних сил. Возьмем, например, гироскоп, изображенный на схематиче­ ском рис. 150. Он состоит из двух одинаковых маховичков, свободно насаженных на общую ось. Гироскоп устроен так, что он может свободно вращаться не только вокруг его оси фигуры OZ, но также

270 М Е Х А Н И К А ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. VII

и вокруг вертикальной и горизонтальной осей 0Y и ОХ. Про такой

вички гироскопа не вращаются, наблюдается привычное явление: под действием веса груза правый маховичок опускается, левый — поднимается.

Однако движение приобретает совсем иной характер, если предварительно маховички были приведены в быстрое вращение в одну и ту же сторону *). В этом случае ось фигуры гироскопа вместе с грузиком Р не опускается, а начинает медленно вра­

являются тогда, когда это вращение является медленным по сравне­ нию с вращением вокруг оси фигуры гироскопа. В приближенной

В этом приближении векторы со и L не отличаются по направлению, оба они направленывдоль оси фигуры гироскопа. Поэтому о дви­ жении оси его фигуры можно судить по изменению направления вектора L, описываемому уравнением (49.3). Если рассматривать L как радиус-вектор, то производная L геометрически может быть истолкована как скорость движения конца вектора L. Допустим, что точка приложения внешней силы F лежит на оси фигуры гиро­ скопа. Момент этой силы будет М= laF], где а — радиус-вектор, проведенный от точки опоры гироскопа к точке приложения силы F.

*) В демонстрационных опытах маховичок гироскопа приводят в быстрое вращение, прижимая его обод к шкиву электромотора. Существуют гироскопы (например, волчки-компасы), которые сами представляют собой электродвигатели с вращающимся магнитным полем и приводятся во вращение трехфазным током.

В силу уравнения (49.3) вектор «скорости» L будет перпендикулярен к оси фигуры гироскопа Z. Такой момент сил может изменить только направление вектора L, а не его длину. Следовательно, если внеш­ няя сила F постоянна, то вектор L, а с ним и ось фигуры гироскопа должны совершать равномерное вращение вокруг оси 0Y. Это вращение и есть вынужденная прецессия. Вектор угловой ско­ рости прецессии Q в рассматриваемом примере направлен вдоль оси OY.

Если один из маховичков (см. рис. 150) закрутить в одну, а дру­ гой — в противоположную сторону с той же угловой скоростью, то прецессии не возникает. В этом случае L = 0, и под действием груза Р гироскоп поворачивается вокруг горизонтальной оси ОХ, как если бы его маховички не вращались.

2. Найдем длину вектора Q. Вектор L изменяется только вслед­ ствие вращения с угловой скоростью прецессии Я . Для линейной скорости движения его конца, т. е. производной L, можно написать L = [QL]. Поэтому уравнение (49.3) дает

[QL]=M. (50.2)

Из этого уравнения и можно найти угловую скорость прецессии й . В нашем примере вектор Q перпендикулярен к оси фигуры гиро­ скопа, а потому

Легко найти вектор Q и в более общем случае, когда ось фигуры гироскопа наклонена к оси, вокруг которой совершается его пре­ цессия. Для этого подставим в уравнение (50.2) выражение М =. = [aF] = a [sF], где s — единичный вектор вдоль оси фигуры гиро­ скопа. Так как приближенная теория пренебрегает различием направлений вектора L и оси фигуры гироскопа, то L = Ls. В ре­ зультате уравнение (50.2) преобразуется к виду

L[Qs)=a[sF].

очень большой и по сравнению с угловой скоростью прецессии Q. Для быстро вращающихся гироскопов, применяющихся в технике, величина Q бывает в миллионы раз меньше со.

3. Для демонстрации вынужденной прецессии совсем не обя­ зательно, чтобы у гироскопа было два маховичка. Можно обойтись

и одним маховичком. На рис. 151 изображен небольшой гироскоп

содним маховичком, подвешенный на нити. Вращающий момент М создается собственным весом Р маховичка. Он и вызывает прецес­ сию вокруг вертикальной оси. На схематическом рис. 152 тот же опыт воспроизведен в более крупном масштабе. Маховиком служит

ч

ч

Рис. 152.

Уж очень неожиданным кажется движение колеса, когда оно не опускается под действием собственного веса, а непрерывно «ухо­ дит вбок».

4. Наконец, для наблюдения прецессии под действием собст­ венного веса гироскопа нить также не обязательна. Можно взять симметричный гироскоп с неподвижной точкой опоры, расположен­ ной на оси его фигуры. Точка опоры может находиться ниже центра масс (как в игрушечном волчке). Но она может находиться и выше центра масс. Тогда гироскоп называется гироскопическим маятни­ ком. В обоих случаях угловая скорость прецессии Q определяется формулой (50.4), в которой следует положить F = mg. Для периода прецессии Т = 2n/Q получаем

§ 50] ГИРОСКОП ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ. П Р И Б Л И Ж Е Н Н А Я ТЕОРИЯ 273

В случае гироскопического маятника время Т называется его

При больших скоростях вращения со. и малых а приведенная длина гироскопического маятника может быть сделана очень боль­ шой, а его период доведен до десятков минут. Направление оси фигуры такого гироскопического маятника очень мало подвержено влиянию кратковременных сил и толчков. Гироскопические маят­

5.Поведение гироскопа при вынужденной прецессии на первый взгляд противоречит закону сохранения энергии. Без грузика Р ось фигуры гироскопа оставалась неподвижной (см. рис. 150). Как только был повешен грузик, сразу же возникало прецессионное движение. С этим движением связана дополнитель­ ная кинетическая энергия гироскопа. Откуда взялась эта энергия? Единственная сила, которая могла сообщить гироскопу эту кинетическую энергию, есть вес грузика Р. Но эта сила направлена вниз, она перпендику­ лярна к направлению прецессионного движе­ ния и поэтому работы не производит. Деталь­ ный ответ на этот и аналогичные вопросы дает

точная теория гироскопа, излагаемая в § 52. Здесь мы ограничимся предварительными, в ос­ новном качественными, соображениями.

6.Исследуем сначала, как возбуждается

с угловой скоростью Оц. Кроме того, гироскоп совершает дополнительное вращение вокруг перпендикулярной оси с угловой скоростью со^ == Я^ . Поэтому его момент