Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

им не было дано определения плотности. Кроме того, представление

не для элементарных и атомных частиц. Поэтому ньютоново опре­ деление массы не удержалось в науке и было заменено другими определениями.

Аристотель и его последователи рассматривали силу как при­ чину движения. Они считали, что с прекращением действия силы прекращается и движение тела. Сила необходима для поддержания движения. Установление первого закона Ньютона означало, что такое представление о силе является неправильным, так как для поддержания (равномерного) движения никаких «сил» не требуется. Силу стали рассматривать как причину изменения количества движения тела. А так как это изменение вызывается другими телами, то можно дать следующее определение силы. Сила есть мера интенсивности взаимодействия тел, проявляющаяся в изме­ нении их количества движения.

Ниже мы подробно разберем содержание законов Ньютона и связанных с ними понятий, хотя и не будем следовать той системе изложения, которая была принята самим Ньютоном.

§9. Закон инерции. Инерциальная система отсчета

1.В качестве первого закона движения Ньютон принял закон инерции, открытый еще Галилеем". Согласно этому закону тело (ма­ териальная точка), не подверженное внешним воздействиям, либо

находится в покое, либо движется прямолинейно и равномерно. Такое тело называется свободным, а его движение — свободным движением или движением по инерции.

Свободных тел, строго говоря, не существует. Они являются физическими абстракциями. Однако можно поставить тело в такие условия, когда внешние воздействия на него по возможности устра­ нены или практически компенсируют друг друга. Представив себе, что эти воздействия беспредельно уменьшаются, мы и приходим

впределе к представлению о свободном теле и свободном движении. Здесь, однако, возникает следующая трудность. Как убедиться

втом, что тело не подвержено внешним воздействиям? Об этом нельзя судить по отсутствию ускорений. Нужны какие-то другие независимые способы. Иначе закон инерции потерял бы всякое содержание. Вполне удовлетворительного ответа на этот вопрос не существует. В отсутствии внешних воздействий мы убеждаемся по отсутствию растягивающих пружин или веревок, которые тянут

тело, по отсутствию тел, которые давят на него, и т. д. Но тело может испытывать воздействия не только со стороны тел, с кото­ рыми оно соприкасается. Оно может подвергаться воздействиям также со стороны различного рода силовых полей, возбуждаемых другими телами. Поэтому вопрос сводится к тому, как убедиться в том, что воздействиям со стороны силовых полей тело не подвер­ гается.

Все силы, встречающиеся в природе, известные в настоящее время, сводятся к силам гравитационного притяжения, электромаг­ нитным силам и прочим силам, действующим между атомными ядрами и элементарными частицами (ядерные силы, слабые взаимо­ действия). От действия последних сил легко освободиться, так как они являются силами короткодействующими и проявляются лишь на расстояниях, меньших примерно 10~12 см.

Электромагнитные и гравитационные силы, напротив, являются силами дальнодействующими. С расстоянием они убывают медленно. Если это статические силы, то они убывают обратно пропорцио­ нально квадрату расстояния. Если же они переменные (электромаг­ нитные волны), то убывание происходит еще медленнее — обратно пропорционально расстоянию. Только благодаря электромагнит­ ным волнам (свет, радиоизлучение, рентгеновское излучение), исхо­ дящим от планет, звезд, пульсаров, галактик и пр., мы и знаем о существовании этих небесных объектов. Поэтому нет оснований утверждать, что удаленные источники не возбуждают заметных электромагнитных и гравитационных полей в рассматриваемой нами области пространства. Однако в отсутствии электромагнитных полей всегда можно убедиться, так как они действуют по-разному на положительные и отрицательные заряды, из которых состоят тела. Под действием таких полей возникло бы некоторое разделение положительных и отрицательных зарядов, которое можно было бы обнаружить на опыте. Заряженный 'шарик, помещенный в одну и ту же точку пространства, двигался бы по-разному в зависимости от того, заряжен он положительно или отрицательно. Все имею­ щиеся факты не противоречат утверждению, что удаленные тела Вселенной не возбуждают сколько-нибудь заметных статических электромагнитных полей в малых областях пространства (порядка размеров Солнечной системы или Галактики).

О гравитационных полях этого нельзя сказать с той же уверен­ ностью. Но если бы такие поля и существовали, то с ними можно было бы не считаться. Дело в том, что всем телам, независимо от их состава, одно и то же гравитационное поле сообщает в точности одинаковое ускорение. Статическое гравитационное поле удаленных тел Вселённой в малых областях пространства можно считать практически однородным. Можно ввести систему отсчета, свободно падающую в таком однородном гравитационном поле. На явлениях, происходящих в такой-системе отсчета, наличие этого однородного

гравитационного поля никак не сказывается. Здесь все происходит в точности так же, как в кабине космического корабля, свободно движущегося в космическом пространстве. В такой кабине космо­ навты не чувствуют наличия поля тяготения (невесомость). Перемен­ ные же гравитационные поля (гравитационные волны) слишком слабы. Попытки их экспериментального обнаружения стали пред­ приниматься лишь в последнее время. Однако из-за малости ожи­ даемых эффектов гравитационные волны еще не обнаружены экспериментально. Ограничимся здесь этими замечаниями, откла­ дывая подробный разбор вопроса до гл. IX.

2. В кинематике выбор системы отсчета не был существенным. Все системы отсчета кинематически эквивалентны. Не так обстоит дело в динамике. Уже закон инерции с особой остротой ставит вопрос о выборе системы отсчета. Одно и то же движение выглядит по-разному в разных системах отсчета. Если в какой-либо системе отсчета тело движется прямолинейно и равномерно, то в системе отсчета, движущейся относительно первой ускоренно, этого уже не будет. Отсюда следует, что закон инерции не может быть справед­ лив во всех системах отсчета. Без указания системы отсчета он просто теряет смысл. Классическая механика постулирует, что

существует система отсчета, в которой все свободные тела дви­ жутся прямолинейно и равномерно. Такая система называется инерциальной системой отсчета. Содержание закона инерции, в сущности, сводится к утверждению, что существует по крайней мере одна инерциальная система отсчета.

Это утверждение является обобщением громадной совокупности опытных фактов. Точно так же только опытным путем можно уста­ новить, какие системы отсчета являются инерциальными, а какие — не инерциальными. Допустим, например, что речь идет о движении звезд и других астрономических объектов в доступной нашему наблюдению части Вселенной. Тогда можно утверждать, что система отсчета, в которой Земля принимается неподвижной (такую систему мы будем называть земной), не будет инерциальной. Действительно, в такой системе звезды совершают суточные вращения на небесном своде. Так как расстояния до звезд очень велики, то при этом раз­ виваются очень большие центростремительные ускорения, направ­ ленные к Земле. Между тем каждая звезда, ввиду ее громадной удаленности от других небесных тел, практически является свобод­ ной. Свободное движение звезды в земной системе отсчета совер­ шается по кругу, а не по прямой линии. Оно не подчиняется закону инерции, а потому земная система отсчета не будет инерциальной. Надо испытать на инерциальность другие системы отсчета. Попро­ буем взять гелиоцентрическую систему отсчета, иначе называемую

системой Коперника. Это есть координатная система, начало кото­ рой помещено в центре Солнца (точнее, в центре масс Солнечной системы), а координатные оси являются прямыми, направленными

68 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [ГЛ. II

астрономических объектов можно принять за начало координат, а остальные три объекта использовать для фиксирования направ­ лений координатных осей.

При изучении движения тел мы будем сначала предполагать, что движение отнесено к инерциальной системе отсчета. После этого в гл. IX мы изучим, как изменится форма законов движения, когда оно рассматривается относительно неинерциальных систем отсчета.

§10. Масса. Закон сохранения импульса

1.Всякое тело оказывает сопротивление при попытках привести его в движение или изменить величину или направление его ско­ рости. Это свойство тел называется инертностью. У разных тел оно проявляется в разной степени. Так, сообщить одно и то же ускорение большому камню значительно труднее, чем маленькому мячику. Мера инертности тела называется массой.

Для точного количественного определения массы введем понятие

изолированной или замкнутой системы. Так называют систему тел, настолько удаленных от всех остальных тел, что они практи­ чески не оказывают никакого действия на рассматриваемую систему. Тела системы могут взаимодействовать только между собой. Рас­ смотрим теперь изолированную систему, состоящую из двух мате­ риальных точек. Скорости точек должны быть малы по сравнению

противоположные направления и связаны между собой соотношением

где величины тг и тг постоянны и имеют одинаковые знаки. Они совершенно не зависят от характера взаимодействия между мате­ риальными точками 1 и 2. Например, взаимодействие может про­ исходить путем столкновения материальных точек между собой. Его можно осуществить, сообщив материальным точкам электри­ ческие заряды или поместив между ними маленькую пружинку и т. д. Продолжительность времени At можно менять произвольным образом. Векторы Аъг и Av2 при этом будут меняться. Однако коэф­ фициенты тг и т2, точнее, их отношение, останутся одними и теми же. Эти результаты надо рассматривать как опытные факты, подтвержденные бесчисленным множеством примеров. Коэффи­

Таким образом, по определению, отношение масс двух материаль­ ных точек равно взятому с противоположным знаком отношению

между ними. При этом предполагается, что рассматриваемые точки образуют изолированную систему и движутся с нерелятивистскими скоростями.

2. Чтобы от отношения масс перейти к самим массам, надо усло­ виться массу какого-либо определенного тела считать равной еди­ нице. Такое тело называется эталоном массы. Тогда массы всех остальных тел определятся однозначно. В частности, все они ока­ жутся положительными, так как знаки всех масс одинаковы, а масса эталонного тела положительна. В физике в качестве основ­ ной единицы массы принят килограмм. Килограмм есть масса эта­ лонной гири из сплава иридия с платиной, хранящейся в Севре (Франция) в Международном бюро мер и весов. Приближенно ки­ лограмм равен массе кубического дециметра чистой воды при тем­

венные единицы, единица массы определена, таким образом, как масса некоторого случайно выбранного тела. И для массы было бы лучше установить естественную единицу. Можно было бы основ­ ным эталоном массы считать массу какой-либо элементарной ча­ стицы, например, протона.

Отметим еще одно существенное обстоятельство, являющееся также результатом опыта. Отношение пц1тх можно найти не только путем непосредственного сравнения масс рассматриваемых тел, но и следующим косвенным способом. Сначала измеряются отношения масс обоих тел к массе третьего тела, а затем эти отношения делятся одно на другое. Результат не зависит от массы третьего тела и совпадает с отношением тг1тъ полученным непосредственным срав­ нением масс тх и т2.

Если соотношение (10.1) поделить на время взаимодействия А^, то получится

Этими соотношениями нахождение отношения масс двух тел сво­ дится к сравнению средних или истинных ускорений, развивающихся во время их взаимодействия.

3. Придадим соотношению (10.1) другую форму. Пусть vx и v2 —

Назовем импульсом или количеством движения материальной точки

вектор, равный произведению массы точки на ее скорость:

точек назовем векторную сумму импульсов отдельных материальных точек, из которых эта система состоит. Для системы из двух мате­ риальных точек р = pt + Рг = tn^i + tn2v2. Равенству (10.4) можно придать вид

(10.6)

где р = рх + р2, р' = р'\ + р'ч — импульсы системы до и после взаимодействия. Таким образом, импульс изолированной системы двух материальных точек сохраняется, т. е. остается постоянным во времени, каково бы ни было взаимодействие между ними. Это поло­ жение называется законом сохранения импульса. Оно является результатом опыта и введенного выше определения массы. То обстоятельство, что для величины mv имеет место «закон сохра­ нения», и делает целесообразным дать этой величине специальное название и ввести для нее особое обозначение. Таким свойством не обладает, например, величина nPv, а потому она не играет никакой роли в механике. В дальнейшем закон сохранения импульса будет распространен на изолированные системы, состоящие из какого угодно числа материальных точек.

4. Закон сохранения импульса в приведенной выше форме есть закон нерелятивистской механики. Он справедлив только для мед­ ленных движений. В релятивистской механике этот закон обоб­ щается на случай быстрых движений. Это обобщение будет подробно рассмотрено при изложении теории относительности. Сейчас же ограничимся предварительным сообщением основного результата. В релятивистской механике импульс частицы также определяется выражением (10.5), однако масса т зависит от скорости согласно формуле

Здесь т0 — постоянная для данной частицы величина, называемая ее массой покоя. Она совпадает с массой, рассматриваемой в нереля­ тивистской механике. Величина т, определяемая выражением (10.7), называется массой движения или релятивистской массой.

Таким образом, в релятивистской механике закон сохранения импульса изолированной системы, состоящей из двух взаимодей­ ствующих частиц с массами покоя т01 и т02, математически форму­ лируется следующим образом:

(10.8)

§ 11] ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. СИЛА 71

Для медленных движений, когда иг /с2 <^ 1, зависимостью массы от скорости можно пренебречь, полагая т = т0. Тогда релятивист­ ская механика переходит в нерелятивистскую как в свой предель­ ный приближенный случай. Чтобы составить представление о вели­ чине ошибки, которая делается при таком Пренебрежении, рас­

При всех расчетах движений космического корабля такой поправ­ кой не только можно, но и нужно пренебречь, хотя бы потому, что входные данные, необходимые для расчетов, не могут быть изме­ рены с такой высокой точностью.

§11. Второй закон Ньютона. Сила

1.Описание движения в конце концов сводится к нахождению координат материальных точек механической системы как функций времени. Однако таким путем трудно подметить общие закономер­ ности движения. Для этой цели надо обратиться к дифференциаль­ ным уравнениям, в которые наряду с координатами и скоростями входят производные импульсов по времени (или, в нерелятивистской механике, ускорения).

Если материальная точка не изолирована, то из-за взаимодей­ ствия с окружающими телами ее импульс не сохраняется. Поэтому естественно за меру интенсивности взаимодействия принять произ­ водную импульса по времени -£ = р. Одним из фундаментальных обобщений классической механики является установление того факта, что производная р определяется положением рассматривае­ мой материальной точки [относительно окружающих ее тел, а иногда также и ее скоростью. Она является функцией радиусавектора г и скорости v материальной точки и может зависеть также от координат и скоростей окружающих материальных точек как от параметров. Обозначим эту функцию F (г, v). Тогда

Функция координат и скорости материальной точки F (г, v), опре­ деляющая производную ее импульса по времени, называется силой *).

*) Используя принцип относительности и однородность пространства, можно показать, что сила F зависит не от самих координат и скоростей, а только от раз­ ностей координат и разностей скоростей рассматриваемой материальной точки и точек, с которыми она взаимодействует (см. задачу 3 к § 38). Однако для ближай­ ших целей это уточнение нам не понадобится.

Сравнивая последнее выражение с (11.4), получаем

/2 я \ 2

х= - !уТ) х,

или после умножения на массу тела

Мы видим, что величина F зависит только от удлинения пру­ жины х — единственного переменного параметра, определяющего

Рис. 22.

положение внешних тел, оказывающих действие на рассматривае­ мое тело. Если к пружине подвесить тело другой массы, то изме­ нится и период колебаний Т. Однако опыт показывает, что отноше­

сила F определяется только растяжением пружины и совершенно не зависит от того, каким телом это растяжение вызвано. Эти опыт­ ные факты могут служить подтверждением второго закона Ньютона. Следовательно можно ожидать, что если кроме пружины на тело больше ничто не действует, то его ускорение всегда будет равно

k — и направлено вдоль оси пружины в сторону, противоположную

ее удлинению х. Оно совершенно не зависит от того, как движется тело: прямолинейно, по кругу или как-нибудь иначе. Это предпо­ ложение также подтверждается опытами.

Одновременно мы видим, что сила натяжения пружины F про­ порциональна ее удлинению х. Как показали более точные исследо­ вания, этот результат является приближенным. Им можно поль­ зоваться, когда удлинение пружины не очень велико. Он называется законом Гука (1635—1703). Величина k называется коэффициентом упругости или жесткости пружины. Для конкретной пружины коэффициент к постоянен, но может меняться от пружины к пружине.