- •ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
- •Е.А.КОГАН
- •Москва 2007
- •Кафедра “Прикладная и вычислительная математика"
- •Е.А. Коган
- •Москва 2007
- •Для дифференциальных уравнений первого порядка различают общее, частное и особое решения, а также общий, частный и особый интегралы.
- •Таким образом, общее решение дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения.
- •Особым решением дифференциального уравнения называется решение, которое не может быть получено из общего решения ни при одном частном значении произвольной постоянной.
- •Часто при интегрировании уравнения первого порядка не удается найти общее решение в явном виде, а получается конечное (не дифференциальное) соотношение вида
- •Знание изоклин позволяет во многих случаях даже для не интегрируемых явно дифференциальных уравнений получить графическое решение задачи Коши и выявить характер интегральных кривых.
- •Пример. Построить методом изоклин интегральную кривую уравнения
- •1.1. Основные понятия
- •Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.
- •Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в самом общем виде записывается так:
- •Очевидно, это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим
- •Следовательно, общий интеграл уравнения будет
- •Интегрируем полученное уравнение с разделенными переменными
- •Тогда
- •Полагаем
- •Тогда уравнение примет вид
- •Дифференциальное уравнение вида
- •В результате уравнение приводится к однородному
- •Возвращаясь к старой переменной, получим
- •Подставляя (1.14) в (1.12), получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно варьируемой функции v(x), интегрируя которое, находим эту функцию.
- •В результате, общее решение уравнения (1.12) может быть представлено в виде
- •Общее решение уравнения примет вид
- •Находим произвольную постоянную C из начального условия:
- •После разделения переменных получим
- •Тогда уравнение (1.18) примет вид
- •Следовательно,
- •Уравнением Бернулли называется уравнение вида
- •Уравнение вида
- •Следовательно, его общий интеграл, а значит, и общий интеграл уравнения (1.24) имеет вид
- •Это уравнение интегрируется непосредственно n раз. При каждом интегрировании порядок уравнения понижается на единицу, и появляется произвольная постоянная. В результате общее решение уравнения будет иметь вид
- •После интегрирования получим
- •Следовательно, общее решение уравнения (2.22) будет
- •Далее ищем решение уравнения (2.21) в форме, аналогичной по структуре выражению (2.23), но произвольную постоянную в (2.23) заменяем неизвестной функцией
- •Подставляя (2.24) в (2.21), получим
- •Отсюда следует
- •и с учетом (2.14)
- •N линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.
- •а общее решение запишется в виде
- •Рассмотрим его реализацию для линейных дифференциальных уравнений второго порядка:
- •Подстановка (2.42) в (2.40) приводит к следующей системе дифференциальных уравнений
- •Пример. Решить уравнение
- •Определитель этой системы
- •Поэтому для определения варьируемых функций согласно (2.44) получаем дифференциальные уравнения вида
- •Интегрируя уравнения (2.49), находим
- •Подставляя (2.50) в (2.48), получим общее решение уравнения в виде
- •Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
- •Пример. Найти собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи:
- •Подставляя это решение в граничные условия, убеждаемся в том, что они удовлетворяются только при
- •Подставляя это выражение в граничные условия, получим
- •Чтобы краевая задача имела ненулевые решения, необходимо принять
- •Пример. Найти собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи для уравнения (2.51) при граничных условиях
- •Общее решение уравнения согласно (2.55) имеет вид
- •Вычисляем
- •Ненулевое решение ее существует тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю:
- •Раскрывая этот определитель, получим уравнение относительно параметра
- •корни которого являются собственными значениями задачи:
- •Уравнением Эйлера называется линейное уравнение вида
- •Пример. Решить уравнение
- •Уравнение (2.66) есть уравнение Эйлера второго порядка. Применим замену независимой переменной и производных по формулам (2.64), (2.65). Тогда уравнение примет вид
- •Его общее решение
- •Эти решения находятся методом подбора (см. выше) и имеют вид
- •Поэтому общее решение уравнения (2.67) будет
- •Пример. Решить задачу Коши для уравнения
- •Общее решение уравнения имеет вид
- •Будем искать частное решение однородной системы в виде
- •Подставляя (2.99) в (2.98), получим систему
- •Характеристическое уравнение системы будет
- •Общее решение однородной системы (2.98) запишется в виде
- •Этот метод применим к решению систем неоднородных линейных уравнений n-го порядка. Ограничимся для простоты нормальной системой двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Пусть общее решение однородной системы уравнений известно:
- •Пример. Решить систему
- •Общее решение однородной системы, согласно (2.105), имеет вид
- •Принимаем частное решение системы (2.111) в виде
- •Интегрируя эти уравнения, получим
- •Общее решение системы запишется в виде:
- •Пусть требуется решить краевую задачу для уравнения
- •Будем искать решение задачи в виде
- •Задача сводится к решению дифференциального уравнения
- •Ограничиваясь двучленным приближением, будем искать решение уравнения в виде
- •Выбранные функции удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям. Они линейно независимы, непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют граничным условиям (2.125).
- •Решение методом Бубнова
- •Решение методом наименьших квадратов
- •Решение методом коллокаций
- •В результате находим
- •Операционное исчисление представляет собой своеобразный и эффективный метод решения различных математических задач, прежде всего, дифференциальных уравнений. В основе операционного исчисления лежит понятие преобразования Лапласа.
- •Согласно формулам Эйлера [7]
- •Учитывая формулу (3.3) и применяя теорему линейности, получим
- •Аналогично
- •Таблица 4
- •Применяя формулу (3.25), находим
- •Поэтому
- •то применяя теорему линейности, окончательно найдем
- •Разложение данной дроби на простейшие имеет вид
- •После приведения к общему знаменателю получим
- •Пусть дано неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Пример. Решить операционным методом уравнение
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 1
- •Вариант № 1
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •Вариант № 6
- •Вариант № 7
- •Вариант № 8
- •Вариант № 9
- •Вариант № 11
- •Вариант № 12
- •Вариант № 13
- •Вариант № 14
- •Вариант № 15
- •Вариант № 16
- •Вариант № 17
- •Вариант № 18
- •Вариант № 19
- •Вариант № 20
- •Вариант № 21
- •Вариант № 22
- •Вариант № 23
- •Вариант № 24
- •Вариант № 25
- •Вариант № 26
- •Вариант № 27
- •Вариант № 29
- •ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
- •Таблица 2
- •Таблица 3
- •ЛИТЕРАТУРА
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ
- •РАБОТЫ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
- •УРАВНЕНИЯМ……………………………………………………… 100
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ
- •РАБОТЫ ПО ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ…………… 131
85
1. Теорема линейности . Если |
f |
(t) |
• |
=• |
F (p), |
f |
2 |
(t) |
• |
=• F (p), то для |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|||
любых постоянных α и |
β линейной комбинации оригиналов соответствует |
|||||||||||||||||
такая же линейная комбинация изображений, то есть |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
α f |
(t) |
+ β f |
2 |
(t) |
• |
=• α F |
|
(p) + |
β F (p). |
|
|
|
(3.4) |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
Пример. Найти изображения функций cost и |
sint. |
|
|
|||||||||||||||
Согласно формулам Эйлера [7] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cost = |
ei t |
+ e−i t |
|
sint = |
ei t −e−i t |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
, |
|
2i |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая формулу (3.3) и применяя теорему линейности, получим
cost = |
1eit |
+ |
1e−it • =• 1 |
|
|
1 |
|
+1 |
|
1 |
|
= |
|
|
p |
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 +1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 p −i |
|
|
2 p + i |
|
|
|
|
||||||||||||||
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sint = |
1 |
eit − |
1 |
|
e−it • =• |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
− |
1 |
|
|
1 |
|
= |
1 |
|
. |
||||||
2i |
|
2i |
|
2i |
p −i |
2i |
|
p + i |
|
p2 +1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2. Теорема подобия. |
|
Если |
f (t)• =• |
|
F (p), то |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
1 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
f (at)• |
= |
|
a |
F |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(3.5)
(3.6)
(3.7)
то есть умножение аргумента оригинала на некоторое число a приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число ( к подобному изменению изображения ).
Пример. Найти изображения функций cos ωt и sin ωt . Учитывая изображения (3.5) и (3.6) и применяя теорему подобия, получим
p
|
• 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||||||
cos ωt•= |
|
|
|
ω |
|
|
= |
|
|
. |
(3.8) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ω p 2 |
|
|
|
p2 +ω2 |
|||||||||||||||
|
|
+1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinωt • =• |
1 |
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
ω |
|
. |
(3.9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
+ω2 |
|||||||||||
|
ω p 2 |
+1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
86 |
|
3. Теорема смещения изображения. Если |
f (t)•=• F(p), то для лю- |
бого числа a (действительного или комплексного) |
|
eat f (t)•=• F(p − a), |
(3.10) |
то есть умножение оригинала на ea t приводит к смещению аргумента изображения на a.
Пример. Найти изображения функций e−a t cosωt и e−a t sinωt . Учитывая формулы (3.8) и (3.9) и применяя теорему смещения изображения, находим
e−at cosωt•=• |
|
p + a |
. |
(3.11) |
||
(p + a)2 +ω2 |
||||||
|
|
|
|
|||
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
e−at sinωt•=• |
|
ω |
|
. |
(3.12) |
|
|
|
|
||||
|
(p + a)2 +ω2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
4. Теорема запаздывания. Если f(t)•=•F(p), |
то для любого положи- |
|||||
тельного τ |
|
|
|
|
|
|
f (t −τ)•=• e− pτ F(p), |
|
|
(3.13) |
|||
то есть "включение" оригинала с запаздыванием на время τ равносильно умножению изображения на e− pτ .
Пример. Найти изображение функции f(at - b), если f(t) •=•F(p). Применяя теоремы подобия и запаздывания, получим
f (at −b) |
• |
=• 1 F |
|
p |
e(− p / a)b = 1e(−b / a) p F |
|
p |
. |
|||
|
|
||||||||||
|
|
a |
a |
|
|
a |
a |
||||
В частности, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(ωt −α)•=• |
p |
|
e−(α /ω) p , |
|
|
|
|||||
p2 +ω2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(ωt −α)•=• |
ω |
|
e−(α /ω) p . |
|
|
|
|||||
p2 +ω2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Теорема дифференцирования оригинала. Если f(t)•=•F(p), то f ′(t)•=• pF(p) − f (+0),
(3.14)
(3.15)
(3.16)
87
то есть дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p и вычитанию начального значения функции.
В (3.16) f (+0) = lim f (t) - правосторонний предел функции f(t).
t→+0
Применяя теорему дифференцирования повторно, получим изображение второй производной функции f(t):
f ′′(t)•=• p2 F(p) − pf (+0) − f ′(+0),
…………………………………….
Изображение производной n –го порядка будет:
f (n)(t)•=• pn F(p) − pn−1 f (+0) − −
− pn−2 f ′(+0) −...pf (n−2)(+0) − f (n−1)(+0).
(3.17)
(3.18)
В частности, если все начальные значения функции и её производных равны нулю, то
f (n)(t)•=• pn F(p). |
(3.19) |
Для практических приложений эта теорема является самой важной. Из неё следует, что дифференцирование в пространстве оригиналов заменяется существенно более простой операцией - умножением изображения на степень аргумента (с одновременным добавлением многочлена, коэффициентами которого являются начальные условия оригинала). Эта теорема лежит в основе операционного метода решения дифференциальных уравнений.
6. Теорема дифференцирования изображения. Если f(t)•=•F(p), то
|
|
|
|
−tf (t)•= |
• |
′ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
F (p), |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
t |
2 |
f (t)• = |
• |
′′ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
F (p), |
|
|
|
||||
|
|
|
|
…………………… |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(−1)n t n f (t)• =• F (n)(p). |
|
|
|
|||||||
Учитывая, что |
|
1• =• 1/ p |
|
и применяя последовательно теорему диф- |
||||||||||
ференцирования изображения, |
|
найдем изображения |
степенных функций: |
|||||||||||
t • =• |
1 |
, |
t 2 |
• =• |
|
2 |
, |
|
|
t n • =• |
n! |
|
. |
(3.20) |
p2 |
|
|
|
|
pn+1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
||||
88
7. Теорема интегрирования оригинала. Если f(t)•=•F(p), то
τ |
f (t)dt•=• |
F(p) |
, |
(3.21) |
∫ |
||||
0 |
|
p |
|
|
то есть интегрированию оригинала соответствует деление его изображения на p.
Соответствие между некоторыми основными оригиналами и изображениями указано в таблице 4.
Примеры нахождения изображений сложных функций
1. f1(t) = t sht .
Так как
sht • =• |
1 |
|
, |
|
p2 −1 |
||||
|
|
|||
то применяя теорему дифференцирования изображения, найдём
|
• |
d |
|
1 |
|
|
|
|
− 2 p |
|
|
|||||
−t sht•= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
2 |
|
2 . |
|||||
|
|
|
p |
−1 |
|
(p |
−1) |
|||||||||
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t sht • =• |
|
|
2 p |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
(p2 −1)2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.f2 (t) = t5 sht.
Применять теорему дифференцирования пять раз, конечно, неудобно.
Представим |
|
|
f2 (t) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
5 |
sh t = t |
5 et |
− e−t |
= |
1 |
t |
5 |
e |
t |
− |
1 |
t |
5 |
e |
−t |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как t5 |
• =• 5!/ p6 , |
|
то по теореме смещения изображения |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
et t5 • |
=• |
|
5! |
, |
|
|
|
e−t t5 |
• =• |
|
|
|
5! |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(p −1)6 |
|
|
|
(p +1)6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Теперь по теореме линейности находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f2 (t) = |
1 |
t |
5 |
e |
t |
|
1 |
t |
5 |
e |
−t |
|
• 1 |
|
5! |
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
− |
|
|
|
• = |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
60 |
|
|
|
|
− |
|
|
. |
||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
(p −1)6 |
(p +1)6 |
|
|
|
1)6 |
|
(p + |
1)6 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p − |
|
|
|
|||||||||||||||||||