отсутствовать высокочастотные составляющие спектра. Соответственно, на выходе устройства нельзя получить и крутых и резких фронтов, каждый импульс "расплывается", становится колоколообразным (б).
Вполне возможно, что в изображенной ситуации (б) устройство последетекторного анализа примет решение о приеме цифровой последовательности 111 вместо исходной последовательности 101.
2.3.3. Критерий Найквиста
Найквист первым исследовал проблему ограничения спектра цифрового сигнала и пришел к выводу, что возможно определенным образом ограничить спектр цифрового сигнала и при этом избежать межсимвольной интерференции, т.е. не исказить информацию, заключенную в сигнале. Повторим рассуждения Найквиста для последовательности коротких прямоугольных импульсов, вообще говоря, многоуровневого сигнала [4].
Определим цифровой сигнал во временной области как обычно (2.1):
N |
|
|
|
w(t) = åAk ×q(t - kTs ), |
0 < t < T0 , |
(2.34) |
|
k = |
0 |
|
|
где q(t) =1 для прямоугольного импульса.
Исходный сигнал (2.34) имеет импульсы ограниченной длительности Ts и занимает неограниченную полосу частот. Полагаем, что сигнал проходит идеальный ФНЧ, частотная H (ω) и импульсная h(t) характеристики которого равны
H ( f ) =1, |
|
|
f |
|
|
< B; |
(2.35a) |
|
|
||||||
H ( f ) = 0, |
|
|
f |
|
|
> B; |
|
|
|
|
|
|
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
h(t) = |
2sin(2pBt) |
, |
(2.35б) |
|
t |
||||
|
|
|
где B - полоса пропускания фильтра.
Сигнал на выходе фильтра равен интегралу свертки от входного воздействия w(t) на импульсную характеристику
фильтра h(t) :
t |
t N |
|
wout (t) = òw(t) × h(t - t) dt = òåAk ×h(t - t) dt. |
(2.36) |
|
0 |
0 k =1 |
|
В случае, когда импульсы входного сигнала очень короткие (длительность импульса Ts много меньше обратной
величины полосы пропускания фильтра 1
B ), интеграл
свертки становится равным просто импульсной характеристике фильтра. Следовательно, последовательность импульсов на выходе фильтра равна сумме импульсных характеристик от каждого входного импульса:
N |
|
|
|
wout (t) = åAk × h(t - k ×Ts ), |
|||
k =0 |
(2.37) |
||
N |
2×sin[2×p× B ×(t - k ×Ts )] |
|
|
wout (t) = åAk × |
. |
||
|
|||
k =0 |
t |
||
|
|
||
Выражение для каждого отдельного импульса в (2.37) практически совпадает с выражением (2.8) для одиночного импульса на выходе фильтра низкой частоты и показанного на рис.2.3.
В качестве примера рассмотрим прохождение через ФНЧ цифрового сигнала 1101 (рис.2.12).
W(t/Ts)4
3
2
1
0
–1
t/Ts
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
Рис.2.12. Сигнал на выходе ФНЧ для входного сигнала
1101
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Предполагается, что на вход фильтра последовательно в относительные моменты времени k = t /Ts = 0, 1, 2, 3
поступают четыре ограниченных по времени импульса прямоугольной формы. Три из них имеют единичную амплитуду, четвертый имеет амплитуду, равную нулю. Короткие прямоугольные импульсы на входе фильтра преобразуются в фильтре и на выходе имеют вид синусоиды с постепенно уменьшающейся амплитудой по закону sin(x)
x . Период затухающих колебаний этих импульсов, как
следует из (2.8) и (2.37), определяется полосой пропускания фильтра B. В результате общий выходной сигнал является суммой сдвинутых по времени импульсных характеристик, которые появляются при воздействии каждого очередного импульса на входе.
Определим значения выходного сигнала (2.37) в
фиксированные моменты времени t = nTS , |
кратные |
||||
длительности импульса: |
|
|
|
|
|
N |
N |
|
|
||
wout (nTs ) = å Ak h(nTs - kTs ) = An h(0) + å Ak h(nTs - kTs ) = |
|||||
k =0 |
k =0, |
|
|
||
|
n¹k |
|
|
||
N |
2sin[2pBTs (n - k)] |
|
|
||
= An × 4pB + å Ak × |
. |
(2.38) |
|||
(n - k)Ts |
|
||||
k =0 |
|
|
|||
n¹k |
|
|
|
|
|
Из уравнения (2.38) и рис.2.12 следует, что сигнал на выходе фильтра в момент времени n = k равен амплитуде входного сигнала An и сумме значений сигналов от всех
других импульсов цифрового сигнала. Очевидно, что первое слагаемое в (2.38) соответствует истинному значению передаваемого символа, а вся остальная сумма есть нежелательный вклад всех прочих импульсов в истинное значение сигнала в выделенный n-момент
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
времени. Именно ненулевое значение суммы всех прочих импульсов и приводит к обсуждавшимся выше межсимвольным искажениям. Следовательно, условием неискаженной передачи цифрового сигнала при прохождении фильтра с ограниченной полосой является равенство нулю импульсной характеристики фильтра в моменты времени, равные n ×Ts , где n - целое число. Из
уравнения (2.38) следует, что это условие всегда выполняется в случае
B = |
1 |
. |
(2.39) |
|
|||
|
2T |
|
|
|
s |
|
|
Уравнение (2.39) отражает связь между параметром цифрового сигнала Ts (символьный интервал), который
устанавливает временной интервал между приходом очередного импульса, и параметром фильтра B (полоса пропускания), который определяет период колебаний сигнала на выходе фильтра. Только при выполнении условия (2.39) момент прихода очередного импульса цифрового сигнала совпадает с нулевым значением всех других импульсов. Это и означает отсутствие в этот момент искажений временной формы очередного приходящего импульса. Приведенные рассуждения можно распространить и на общий случай для относительно длинного импульса непрямоугольной формы. Однако здесь вместо простого произведения в (2.37) следует использовать полный интеграл свертки (2.36), но условие (2.39) будет справедливо и в этом случае.
В общем случае критерий Найквиста формулируется следующим образом: межсимвольные искажения отсутствуют в передаваемом сообщении, если полная импульсная характеристика радиоканала he (t)
удовлетворяет условию
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
ìC, |
k = 0; |
(2.40) |
he (k ×Ts ) = í |
k ¹ 0, |
|
î0, |
|
где k - целое число; C - постоянная величина.
Существуют различные виды реализуемой импульсной характеристики, удовлетворяющие условию Найквиста. Импульсная характеристика идеального фильтра низкой частоты (2.35) является только одним из возможных частных случаев.
В отношении критерия Найквиста и формулы (2.40) следует сделать следующие пояснения:
∙импульсная характеристика, соответствующая критерию Найквиста, является общей характеристикой радиоканала, а не конкретного фильтра. Только в частном случае, когда частотные характеристики передатчика, приемника и среды распространения практически равномерны в очень
широкой полосе частот, под he(t) можно понимать частотную характеристику формирующего фильтра передатчика. Значительно чаще один и тот же фильтр устанавливается и в канале приемника, и в канале передатчика, так что частная характеристика каждого из них имеет вид 
he (t) ;
∙несмотря на то, что радиоканал рассматривается как линейное устройство и имеет частотную характеристику, удовлетворяющую критерию Найквиста, это не означает, что в радиоканале не происходит искажения формы передаваемого цифрового сигнала. Сохранение формы колебания при ограничении спектра этого колебания физически невозможно. Форма передаваемого цифрового сигнала обязательно искажается, и только в выбранных точках отсчета амплитуды исходного
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com