Производные основных элементарных функций

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Dukhon2.pdf

Скачиваний:

209

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Пример 2.1.2. Найти производную функции f (x)= sin x.

Решение. По определению производной
						x		x
	sin(x +	x)− sin x			2 cos x +	2	sin	2
(sin x)′ = lim			=	lim					=
		x				x
x→0				x→0

= lim
= lim	cos x
x→0

			x
	x	sin	2
+	x		2

	2		x
	2		x
		2
		2

						x
		x		sin		2
		x				2
=	lim cos x +		lim				= cos x,
=	lim cos x +	2	lim			x	= cos x,
	x→0	2	x→0			x
					2
					2

При вычислении производной мы воспользовались первым

замечательным пределом: lim sinα = 1.

α→0 α

Производные основных элементарных функций
1) Степенная функция:
(xn )′ = nxn−1 .	(2.1.10)

Пример 2.1.3. Найти производную функции f (x)= x4 .

Решение. (x4 )′ = 4 x4−1 = 4 x3 .

Пример 2.1.4. Найти производную функции f (x)= x13 .

1 ′

−3

′

−3−1

−4

Решение.

= (x

)

= −3x

= −

			Пример 2.1.5. Найти производную функции																																						f (x)= 3					x .
																	1		′					1														2
			Решение. (3 x )′									= x									=			1	x		−1				=		1	x−						=		1			.
																		3						1		3	−1						1					3				1
																		3						3		3							3					3
																								3									3									3 3 x2
			Пример 2.1.6. Найти производную функции
							f (x)= 3x4 −5 x3 + 2 x2 +																								1	x + x + 3.
							f (x)= 3x4 −5 x3 + 2 x2 +																								2	x + x + 3.
			Решение.																												2
			Решение.
		4		3		2		1							′					4			′				3			′					2		′				1		′				′
	3x		−5 x		+ 2 x		+		x + x + 3 =									(3x			)			−(5 x				)			+(		2x			)		+					x +( x )					+(3)′ =
	3x		−5 x		+ 2 x		+	2	x + x + 3 =									(3x			)			−(5 x				)			+(		2x			)		+					x +( x )					+(3)′ =
								2																																	2
= 3(x4 )′ −5 (x3 )′ + 2 (x2 )′ +												1		(x)′			+ x				1	′ +(3)′ =
												1									2
												2									2
												2
												1
= 3 4 x3 −5 3x2 +								2	2 x +	1	+		1		x−		+0			= 12 x3 −15 x2 + 4 x +																			1		+	1		.
										1			1			2																							1			1
																2																							2
									2			2																											2			2 x
			2) Тригонометрические функции.
														(sin x)′ = cos x.																																(2.1.11.)
														(cos x)′ = − sin x.																																(2.1.12.)
														(tgx)′ =										1					.																	(2.1.13.)
														(tgx)′ =									cos2 x						.																	(2.1.13.)
														(ctgx)′										1								.
																					= −																									(2.1.14.)
																					= −				sin2						x															(2.1.14.)

Пример 2.1.7. Найти производную функции f (x)= 3 sin x − 2 cos x.

Решение.

(3 sin x − 2 cos x)′ = (3 sin x)′ −(2 cos x)′ = 3 (sin x)′ − 2 (cos x)′ = = 3 cos x + 2 sin x.

Вычисляя производную, мы воспользовались теоремами2.2-2.4.

Пример 2.1.8. Найти производную функции f (x)= x2 sin x.

Решение.

(x2 sin x)′ = (x2 )′ sin x + x2 (sin x)′ = 2 x sin x + x2 cos x.

Пример 2.1.9. Найти производную функции

				f (x)=			1 + cos x .
		Решение.						sin x
		Решение.
	1	+ cos x ′		(1 + cos x)′ sin x −(1			+ cos x)		(sin x)′
			=		2				=
		sin x	=	sin	2	x			=
		sin x		sin		x
=	(− sin x) sin x −(1 + cos x) cos x						=	− sin2	x −cos x −cos2 x
=				sin2 x			=		sin2 x
				sin2 x					sin2 x

Логарифмическая функция

= − 1 + cos x sin2 x .

(loga x)′ =		1			.	(2.1.15)
	x ln a

′		1
(ln x)	=			.		(2.1.16)
			x

Пример 2.1.10. Найти производную функции f (x)= x ln x.

Решение.

(x ln x)′ = (x)′ ln x + x (ln x)′ = ln x + x 1x = ln x + 1.

Показательная функция

(ax )′ = ax ln x.	(2.1.17)
(ex )′ = ex .	(2.1.18)

Пример 2.1.11. Найти производную функции f (x)= x3ex .

Решение.

(x3ex )′ = (x3 )′ ex + x3 (ex )′ = 3x2ex + x3ex .


Обратные тригонометрические функции			1
(arcsin x)′ =						.

1			− x2
(arccos x)′ = −			1				.

1			1 − x2

(arc tgx)′ =				.
	1 + x2
(arc ctgx)′ = −			1		.
		1 + x2

Пример 2.1.12. Найти производную функции f (x)= x2 arcsin x.

Решение.

(x2 arcsin x)′ = (x2 )′ arcsin x + x2 (arcsin x)′ = 2 x arcsin x +

Пример 2.1.13. Найти производную функции f (x)= x arctgx.

Решение.

(2.1.19)

(2.1.20)

(2.1.21)

(2.1.22)

x2 . 1 − x2

(x arctgx)′ = (x)′ arctgx + x (arctgx)′ = arctgx +	x
		.
	1 + x2	.
Пример 2.1.14. Найти производную функции
F (x)= esin x .

Решение. Функция F (x) – сложная функция.

F (x)= f (g (x)), где внутренняя функция g (x)= sin x; внешняя функция – f (t )= et ,(t = sin x). Найдем их производные.

g′(x)= (sin x)′ = cos x. f ′(t )= (et )′ = et .

f ′(g (x))= esin x .

Воспользуемся формулой (2.1.9)

F′ (x)= (esin x )′ = esin x cos x.

Пример 2.1.15. Найти производную функции

F (x)= (x2 + 1)4 .

Решение. Функция F (x)	– сложная, то есть
F (x)= f (g (x)), где g (x)= x2 + 1 и	f (t )= t4 , где t = x2 + 1.

g′ (x)= (x2 + 1)′ = 2 x. f ′ (t )= (t4 )′ = 4t3 ,

откуда

f ′ (g (x))= 4 (x2 + 1)3 .

Воспользуемся формулой (2.1.9):

F′ (x)= 4 (x2 + 1)3 2 x = 8 x (x2 + 1)3 .

Пример 2.1.16. Найти производную функции

F (x)= arctg2 x.

Решение. Внутренняя функция g (x)= arctgx, внешняя функция – f (t )= t2 , где t = arctgx.

g′ (x)= (arctgx)′ =		1	;
g′ (x)= (arctgx)′ =	1	+ x2	;
	1	+ x2
f ′ (t )= (t2 )′ = 2t ,
откуда
f ′ (g (x))= 2arctgx.
Воспользуемся формулой (2.1.9):
F′ (x)= 2arctgx .
1 + x2
Пример 2.1.17. Найти производную функции
F (x)= sin x3 .
Решение. Внутренняя функция g (x)= x3 , внешняя функция
– f (t )= sin t ,где t = x3 .
g′ (x)= (x3 )′ = 3x2 ;
f ′ (t )= (sin t )′ = cos t ,
откуда
f ′ (g (x))= cos x3 .
Воспользуемся формулой (2.1.9):
F′ (x)= 3x2 cos x3 .
Производная обратной функции.
Теорема 2.8. Пусть дана функция		y = f (x),		имеющая об-
ратную функцию x = g (y), и пусть функция			f (x)	дифференци-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.06.2015240 Кб136Dokument_Microsoft_Office_Word (3).docx
#
09.06.2015122 Кб15Dokument_Microsoft_Office_Word (3).docx
#
09.06.2015274 Кб18Dokument_Microsoft_Office_Word_3.docx
#
09.06.201514 Кб11Dokument_Microsoft_Office_Word.docx
#
09.06.20153 Мб51Dokumentoved_i_ego_professia.pdf
#
09.06.20151 Мб209Dukhon2.pdf
#
28.03.20165 Мб352ED9M_i_dr___1.pdf
#
28.03.20165 Мб173ED9M_i_dr___2.pdf
#
09.06.20152 Мб84ek_oc_inv_met_uk.pdf
#
09.06.20151 Мб47ek_oc_inv_posobie.pdf
#
28.03.2016203 Кб21ekonomika_otrasli_kursovoy.doc

Производные основных элементарных функций

Логарифмическая функция

Показательная функция

Обратные тригонометрические функции