2.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Связь между монотонностью функции и ее производной

Теорема 2.9. Пусть функция f (x) дифференцируема на не-

котором промежутке. Тогда для того, чтобы функция f (x) возрас-

тала (убывала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этого промежутка ее производная была положительна (отрицательна).

Соответственно, для того чтобы функция была неубывающей (невозрастающей) на некотором промежутке, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этого промежутка ее производная была неотрицательна (неположительна).

Пример 2.3.1. Исследовать на монотонность функцию f (x)= x2 −6 x + 5.

Решение. Найдем производную функции f (x). f ′(x)= (x2 −6 x + 5)′ = 2 x −6.

Приравняем производную к нулю и решим полученное урав-

нение.

2 x −6 = 0 x = 3.

Разобьем в точке x = 3 область определения функции (в данном примере – это множество всех действительных чисел) на интер-

валы (рис.2.3.1.).

Рис. 2.3.1

102

Вычислив значение производной в одной из внутренних точек каждого интервала, мы определим знак производной на каждом интервале. Например,

f ′(0)= 2 0 −6 = −6 < 0 , f ′(5)= 2 5 −6 = 4 > 0 .

В соответствии с теоремой 2.3.1. на интервале (−∞; 3) функ-

ция убывает; на интервале (3;+∞) функция возрастает.

Пример 2.3.2. Исследовать на монотонность функцию

Приравняем производную к нулю и решим полученное урав-

нение.

x2 −8 x + 15 = 0.

Корнями этого уравнения являются числа x1 = 3 и x2 = 5. Разобьем в точках x1 = 3 и x2 = 5 область определения

функции (в данном примере – это множество всех действительных чисел) на интервалы (рис.2.3.2).

Вычислив значения производной во внутренних точках каждого интервала, определим знак производной на каждом интервале.

f ′(0)= 02 −8 0 + 15 = 15 > 0. f ′(4)= 42 −8 4 + 15 = −1 < 0.

Рис. 2.3.2

103

f ′(6 )= 62 −8 6 + 15 = 3 > 0.

Следовательно, в силу теоремы 2.3.1 функция возрастает на множестве (−∞; 3)U (5;+∞); функция убывает на множестве

(3;5).

Экстремумы функции. Точка x0 называется точкой локаль-

ного максимума (минимума) функции f (x), если в некоторой окре-

стности этой точки (т. е. на интервале (x −ε , x +ε ), где ε > 0 ) зна-

чение функции в этой точке f (x0 ) является наибольшим (наимень-

шим). Точки локального максимума и минимума функции называют-

ся точками экстремума.

Теорема 2.10. (необходимое условие экстремума). Пусть функция f (x) непрерывна в некоторой окрестности точки x0 . Для

того, чтобы в точке x0 функция f (x) имела локальный экстремум

(максимум или минимум), необходимо, чтобы производная функции в этой точке равнялась нулю.

Точка, в которой производная функции равна нулю (или не существует), называется критической точкой функции. В критической точке функция может иметь максимум, может иметь минимум, но может не иметь ни того ни другого, т. е. в этой точке экстремума может и не быть. Для того, чтобы исследовать характер критической точки, используются достаточные условия экстремума.

Теорема 2.11. (первое достаточное условие экстремума). Пусть x0 – критическая точка функции f (x). Тогда возможны три

случая:

1) Если в некоторой окрестности точки x0 слева от нее производная f ′(x) положительна, а справа – отрицательна, то в точке x0 функция имеет максимум.

104

нулю ( f ′′(x)= 0 ), то функция f (x) в точке x0 экстремума не

имеет.

Второе достаточное условие экстремума не может быть использовано в тех случаях, когда первая производная в критической точке не существует.

Пример 2.3.3. Исследовать функцию

f (x)= 31 x3 − 3x2 + 8 x −1

на монотонность и экстремумы.

Решение. Найдем производную функции f (x).

105

Приравняем производную к нулю и решим полученное урав-

нение:

x2 −6 x + 8 = 0.

Корнями этого уравнения, а следовательно и критическими точками функции f (x) являются числа x1 = 2 и x2 = 4.

Разобьем область определения функции (т. е. множество всех действительных чисел) в точках x1 = 2 и x2 = 4 на интервалы (рис. 2.3.3).

“минус” и, следовательно, в соответствии с теоремой 2.11, это точка максимума. Найдем значение функции в точке

f(2)= 31 23 − 3 22 + 8 2 −1 = 83 −12 + 16 −1 = 5 23 .

Вточке x2 = 4 производная меняет свой знак с “минус” на

“плюс” и, следовательно, в соответствии с теоремой 2.11, это точка минимума. Найдем значение функции в точке x2 = 4 .

f (4)= 31 43 − 3 42 + 8 4 −1 = 643 − 48 + 32 −1 = 4 13 .

106

1)Найти область определения функции.

2)Найти производную функции.

3)Приравнять производную к нулю решить полученное уравнение. Корни этого уравнения, а также точки, в которых производная не существует (если они входят в область определения функции), являются критическими точками функции.

4)Разбить область определения на интервалы в критических точках функции.

5)Определить знак производной на каждом из полученных интервалов.

6)Интервалы, на которых производная положительна, являются интервалами возрастания, а интервалы, на которых производная отрицательна, являются интервалами убывания. Критические точки, в которых производная меняет знак с “плюс” на “минус”, являются точками максимума; точки, в которых производная меняет знак с “минус” на “плюс”, являются точками минимума; точки, в которых производная не меняет знак, не являются точками экстремума.

Пример 2.3.4. Исследовать функцию f (x)= (x − 3) x .

на монотонность и экстремумы.

Решение.

1)Областью определения функции f (x) является множест-

во [0;+∞).

2)Найдем производную функции f (x).

107

f ′ (x)= ((x − 3) x )′ = (x − 3)′ x +(x − 3) ( x )′ =

Таким образом, критическими точками функции являются точки x = 1 , а также точка x = 0 , в которой производная не существует.

4) Разобьем область определения функции f (x) на интервалы в точках x = 0 и x = 1 (рис. 2.3.4).

Рис. 2.3.4

5) Определим знак производной на каждом из полученных интервалов.

108

6) Функция f (x) возрастает на множестве (1;+∞), убыва-

ет на множестве (0;1), в точке M (1;−2) функция имеет минимум.

Пример 2.3.5. Исследовать функцию f (x)= x −6 3 x2 .

на монотонность и экстремумы.

Решение.

1)Областью определения функции является множество всех действительных чисел.

2)Найдем производную функции.

3) Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение.

1 − 36x = 0 3 x = 6 x = 216.

Критическими точками функции являются точки x = 0, в ко-

торой производная не существует (но существует сама функция) и точка x = 216.

4) Разобьем область определения функции (т. е. множество всех действительных чисел) на интервалы в точках x = 0 и x = 216

(рис. 2.3.5).

Рис. 2.3.5

5) Определим знак производной функции на каждом из интер-

валов.

109

жен не ниже (не выше) касательной к графику этой функции в точке x0 , то говорят, что график функции f (x) в точке x0 имеет выпук-

лость вниз (вверх).

у

Рис. 2.3.6

110

непрерывная производная второго порядка f ′′(x) в некоторой окрестности точки x0 . Тогда f ′′(x)= 0.

f ′(x)= (x3 −6 x2 + 2 x −1)′ = 3x2 −12 x + 2.

f ′′(x)= (3x2 −12 x + 2)′ = 6 x −12.

Приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

6 x −12 = 0 x = 2.

График функции имеет единственную точку перегиба x0 = 2. Разобьем область определения функции, т. е. множество всех действительных чисел на интервалы в точке x0 (рис. 2.3.8).

Рис. 2.3.8

112

Определим знак второй производной функции f (x) на каж-

дом из интервалов.

f ′′(0)= 6 0 −12 = −12 < 0. f ′′(3)= 6 3 −12 = 6 > 0.

Таким образом, график функции является выпуклым вверх на множестве (−∞; 2) и выпуклым вниз на множестве (2;+∞). Точка

P (2;−1) является точкой перегиба функции f (x).

Пример 2.3.7. Исследовать на выпуклость (вогнутость) функ-

цию

f (x)= x3 x+ 8 .

Решение. Областью определения функции f (x) является

Приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

2 + 16x3 = 0 x3 = −8 x = −2.

Таким образом, точкой перегиба функции f (x) является точка P (−2;0).

Разобьем область определения функции на интервалы в точке x0 = −2 (рис. 2.3.9).

113

б) Пусть такой точкой является точка x0 . Исследовать пове-

дение функции в каждой из выявленных точек. Для этого нужно найти оба односторонних предела функции в этой точке. Если хотя бы

один из односторонних пределов в точке x0 бесконечен, то функция имеет вертикальную асимптоту, уравнение которой x = x0 .

Пример 2.3.8. Исследовать на наличие вертикальных асимптот функцию

f (x)= x2x+ 1 .

Решение. Функция f (x) имеет единственную точку разрыва x0 = 0. Исследуем поведение функции f (x) в окрестности точки x0 . Найдем односторонние пределы в этой точке.

которой x = 0 (ось ординат).

Пример 2.3.9. Исследовать на наличие вертикальных асимптот функцию

f (x)= ln x.

Решение. Областью определения функции f (x) является от-

крытый интервал (0;+∞). Крайней точкой этого интервала является точка x = 0. Найдем правый предел функции f (x) в этой точке

(левый предел, очевидно, отсутствует).

lim ln x = −∞.

x→0+0

115

Функция f (x) имеет вертикальную асимптоту, уравнение которой x = 0 (ось абсцисс).

2. Горизонтальные асимптоты. Для того чтобы составить уравнения вертикальных асимптот функции f (x) (или убедиться в их отсутствии), нужно:

а) Найти предел функции при x → −∞. Если этот

предел существует, конечен и равен числу b, то функция имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой

б) Провести аналогичное исследование при

Пример 2.3.10. Исследовать на наличие горизонтальных асимптот функцию

f(x)= 2 x2 −1 .

x2 + 1

Решение. Найдем пределы функции при x → −∞ и при x → +∞.

Функция f (x) имеет единственную горизонтальную асимптоту (как слева, так и справа), уравнение которой

Пример 2.3.11. Исследовать на наличие горизонтальных асимптот функцию

f (x)= arctgx.

Решение. Найдем пределы функции при x → −∞ и при x → +∞.

116

нения которых

y = −π2 (слева) и y = π2 (справа).

3. Наклонные асимптоты. Для того, чтобы составить уравнения наклонных асимптот функции f (x) (или убедиться в их отсутствии), нужно:

а) Найти предел функции f (xx) при x → −∞. Если этот

предел существует, конечен и равен числу k ≠ 0 , то следует найти еще один предел:

lim ( f (x)− kx).

x→−∞

Если и этот предел существует, конечен и равен числу b , то функция f (x) имеет наклонную асимптоту, уравнение которой y = kx + b.

б) Провести аналогичное исследование при x → +∞.

Пример 2.3.12. Исследовать на наличие наклонных асимптот

Итак, k = 3. Найдем еще один предел:

117

= xlim→−∞ 6xx−+21 = 6.

= xlim→+∞ 6xx−+21 = 6.

Справа (т. е. при x → +∞) функция имеет ту же наклонную асимптоту, уравнение которой y = 3x +6.

Пример 2.3.13. Исследовать на наличие асимптот функцию

118

Слева (т.е. при x → −∞) функция имеет наклонную асимптоту, уравнение которой y = x.

119

Общая схема исследования графика функции. При иссле-

довании функции и построении ее графика рекомендуется пользоваться следующей схемой:

1.Найти область определения функции.

2.Исследовать функцию на четность и нечетность.

3.Найти точки пересечения графика с осями координат, интервалы знакопостоянства.

4.С помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

5.С помощью второй производной исследовать функцию на выпуклость и найти точки перегиба.

6.Исследовать функцию на наличие асимптот.

7.Построить график функции.

Пример 2.3.14. Исследовать функцию и построить график: f (x)= 10 − 3x − x2 .

120

Решение.

1)Областью определения функции является множество всех действительных чисел: D ( f )= R.

2)Проверим функцию на четность:

f (−x)= 10 − 3(−x)−(−x)2 = 10 + 3x − x2 .

Функция f (x) – функция общего вида.

3) Найдем нули функции:

10 − 3x − x2 = 0 x2 + 3x −10 = 0 .

Корнями этого уравнения являются числа x1 = −5 и x2 = 2. Они и являются нулями функции. График функции f (x)

пересекается с осью абсцисс в точках A1 (−5;0) и A2 (2;0). Найдем f (0).

f (0)= 10 − 3 0 −02 = 10.

График пересекается с осью ординат в точке B (0;10).

Определим интервалы знакопостоянства. Разобьем числовую прямую (область определения функции) на интервалы в точках

x1 = −5 и x2 = 2 (нули функции) (рис. 2.3.10).

Рис. 2.3.10

Найдем знаки функции f (x) на каждом интервале. f (−6 )= 10 − 3 (−6 )−(−6 )2 = 10 + 18 − 36 = −8 < 0.

f (−1)= 10 − 3 (−1)−(−1)2 = 10 + 3 −1 = 12 > 0. f (3)= 10 − 3 3 − 32 = 10 −9 −9 = −8 < 0.

121

Таким образом, функция положительна при x (−5; 2) и отрицательна при x (−∞;−5)U (2;+∞).

4) Найдем производную функции f (x):

f ′ (x)= (10 − 3x − x2 )′ = −3 − 2 x.

Приравняем производную к нулю и решим полученное урав-

нение.

−3 − 2 x = 0 x = −1,5.

Это критическая точка функции. Разобьем в этой точке область определения на интервалы (рис. 2.3.11).

Рис. 2.3.11

Найдем знак производной на каждом из интервалов. f ′ (−2)= −3 − 2 (−2)= 1 > 0.

f ′ (0)= −3 − 2 (0)= −3 < 0.

Таким образом, функция возрастает на интервале (−∞;−1,5) и убывает на интервале (−1,5;+∞). Точка M (−1,5;12,25) является точкой максимума.

5) Найдем вторую производную функции f (x). f ′′(x)= (−3 − 2 x)′ = −2.

122

График функции f (x) является выпуклым на всей числовой

прямой, так как вторая производная отрицательна. Точек перегиба нет.

6) Вертикальных асимптот нет, поскольку областью определения является множество всех действительных чисел.

Найдем пределы функции при x → −∞ и при x → +∞