Свойства неопределенного интеграла

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Dukhon2.pdf

Скачиваний:

209

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Таким образом, если функция f (x) имеет первообразную

F (x), то множество всех ее первообразных имеет вид:

F (x)+C ,

где С – произвольная постоянная величина.

Неопределенным интегралом функции f (x) называется множество всех первообразных этой функции. Неопределенный интеграл функции f (x) обозначается ∫ f (x)dx , т. е.

∫ f (x)dx = F (x)+C .	(3.1.1)
Функция f (x) называется подынтегральной	функцией.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Найти интегралы:

(4 x3 −6 x2 − 4 x + 3)dx.

∫dF (x)= F (x)+C ;

(3.1.2)

∫dx = x +C ;

(3.1.3)

∫kf (x)dx = k∫ f (x)dx;

(3.1.4)

∫( f1 (x)± f2 (x))dx = ∫ f1 (x)dx ± ∫ f2 (x)dx;

(3.1.5)

Интегралы основных элементарных функций (табличные ин-

тегралы)

∫xndx =

xn+1

+C , n ≠ −1;

(3.1.6)

n + 1

∫

= ln

+C ;

(3.1.7)

∫

arctg

+C ;

(3.1.8)

x2 + a2

150

∫

x −a

+C ;

(3.1.9)

x2 −a2

x + a

∫

x2 + a

= ln

x +

+C ;

(3.1.10)

x2 + a

∫

= arcsin

+C ;

(3.1.11)

a2 − x2

∫axdx =

+C ;

(3.1.12)

ln a

∫exdx = ex +C ;

(3.1.13)

∫sin xdx = −cos x +C ;

(3.1.14)

∫cos xdx = sin x +C ;

(3.1.15)

∫

= tgx +C ;

(3.1.16)

cos2

∫

= −ctgx +C ;

(3.1.17)

sin2 x

3.1.2. Непосредственное интегрирование

Суть различных методов интегрирования состоит в сведении интеграла к табличному или сумме табличных. В простейших случаях этого можно добиться, использованием равносильных преобразований и свойств подынтегральной функции.

Пример 3.1.1. Найти неопределенный интеграл:

∫(2 x3 −5 x2 + 3x − 2)dx.

Решение. Воспользуемся свойствами (3.1.4) и (3.1.5) и преобразуем интеграл в сумму четырех интегралов:

∫(2 x3 −5 x2 + 3x − 2)dx = ∫2 x3dx − ∫5 x2dx + ∫3xdx − ∫2dx = = 2∫x3dx −5∫x2dx + 3∫xdx − 2∫dx.

151

Каждый из четырех интегралов – табличный. Воспользуемся формулой (3.1.6).

2∫x3dx −5∫x2dx + 3∫xdx − 2∫dx = 2							x4	−5	x3	+ 3	x2
2∫x3dx −5∫x2dx + 3∫xdx − 2∫dx = 2								−5		+ 3
				4				3		2
=	1	x4	− 5 x3	+	3	x2 − 2 x +C .
=	2	x4	− 5 x3	+		x2 − 2 x +C .
	2		3	2
			Пример 3.1.2. Найти неопределенный интеграл:
						∫(2 x5 − 3 x )dx.
			Решение.
	∫(2x5 − 3			x )dx = ∫2 x5dx − ∫3 xdx =2∫x5dx − 3∫

− 2 x +C =

xdx =

x 2

+C = 1 x6

= 2∫x5dx − 3∫x

dx =2

− 3

− 2 x

+C .

Пример 3.1.3. Найти неопределенный интеграл:

∫

4 x4

− 2 x3 + x2

dx.

Решение. Разделим почленно числитель подынтегральной

функции на ее знаменатель.

4 x4

− 2 x3 + x2

∫

dx =

4 x − 2 +

4 xdx −

2dx

dx =

= 4∫xdx − 2∫dx + ∫

dx =4

− 2 x + ln x +C = 2 x2 − 2 x + ln

+C .

Пример 3.1.4. Найти неопределенный интеграл:

∫7 sin1 2 x dx.

Решение.
1				1		1				1
∫			dx =			∫			dx = −		ctgx +C .
∫	7 sin2	x	dx =		7	∫	sin2	x	dx = −	7	ctgx +C .

152

Пример 3.1.5. Найти неопределенный интеграл:

5 − 2 cos3

dx.

∫ cos2 x

Решение.

5 − 2 cos3 x

2 cos3

∫

cos2 x

dx = ∫

dx − ∫

dx =5

∫

dx − 2

∫cos xdx =

cos2

cos2 x

= 5tgx − 2 sin x +C .

Пример 3.1.6. Найти неопределенный интеграл:

cos 2 x

∫ cos2 x dx.

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию к виду, удобному для интегрирования.

cos 2 x

2 cos2

x − 1

dx =

−

dx = 2

dx −

∫ cos

cos

∫

∫cos

∫

= 2 x − tgx +C .

Пример 3.1.7. Найти неопределенный интеграл:

∫

− 2x

dx.

Решение. Разделим почленно числитель на знаменатель.

−

∫

dx = ∫

−

dx = ∫2

dx − ∫

dx =

−

+C =

ln 2

− x

+C =

2x + 2

−x

+C .

ln 2

Пример 3.1.8. Найти неопределенный интеграл:

∫3 + x2 dx.

1 + x2

153

Решение.

3 + x2

2 + 1 + x2

1 + x2

dx =

∫ 1 + x

∫

1 + x

∫

1 + x

dx =2

dx = 2arctgx + x +C .

∫

1 + x

∫1

+ x

∫

3.1.3. Интегрирование способом подстановки

Пусть дан интеграл ∫ f (x)dx и пусть x =ϕ (t ) – непре-

рывно дифференцируемая функция. В этом случае формула замены переменной имеет вид:

∫ f (x)dx ={x =ϕ (t )}= ∫ f (ϕ (t ))ϕ′ (t )dx. (3.1.18)

При этом функцию ϕ (t ) выбирают так, чтобы полученный

интеграл принял наиболее удобный вид, желательно, чтобы интеграл стал табличным.

Если интеграл удается привести к виду

∫ f (ψ (x))ψ′ (x)dx ,

где ψ (x) – некоторая функция, то замену можно осуществить по формуле:

∫ f (ψ (x))ψ′ (x)dx ={ψ (x)= t}= ∫ f (t )dt . (3.1.19)

Пример 3.1.9. Найти неопределенный интеграл:

∫sin 2 xdx.

Решение.
		t = 2 x;
													1
∫sin 2 xdx =				1		1			′	1		=	1	∫sin tdt =
∫sin 2 xdx =				1		1			′	1		=	2	∫sin tdt =
		x =			t ;dx =			t dt =			dt .
		x =		2	t ;dx =	2		t dt =		2	dt .
				2		2				2
= −	1	cos t +C	={t = 2 x}= −				1		cos 2 x +C .
= −	2	cos t +C	={t = 2 x}= −						cos 2 x +C .
	2					2

154

Пример 3.1.10. Найти неопределенный интеграл:

			∫	cos x		dx.
Решение.			∫	1 + sin2	x	dx.
Решение.
	cos x		sin x = t ;
	cos x
			dx =				=
∫1 + sin2		x	dx =				=
∫1 + sin2		x	dt = (sin x)′ dx = cos xdx;

= ∫	dt	= arctgt +C ={t = sin x}= arctg (sin x)+C .
= ∫	1 + t2	= arctgt +C ={t = sin x}= arctg (sin x)+C .

Пример 3.1.11. Найти неопределенный интеграл:

∫ x (x2 + 1)4 dx.

Решение.

+ 1

= t ;

∫x (x

+ 1)

= (x

+ 1)

′

∫t

dx =

= 2 xdx;

+C =

xdx =

dt .

+C =

{t = x

+ 1}=

+C .

Если функция ψ (x) в формуле (3.1.19)

является линейной,

то есть ψ (x)= kx + b, то эта формула принимает вид:

∫ f (kx + b)dx =	1	F (kx + b)+C ,	(3.1.20)
	k

где F (x) – первообразная функции		f (x).

155

Пример 3.1.12. Найти неопределенный интеграл:

∫sin π − 4 x dx.

Решение.

∫

sin

− 4 x dx =

−cos

−

4 x

+C =

cos

− 4 x

+C .

−4

Пример 3.1.13. Найти неопределенный интеграл:

∫

(5 − 3x)4

Решение.

1 (5 − 3x)−3

−3

∫

−3

+C =

9 (5

− 3x)

+C .

(5 − 3x)4

−3

Пример 3.1.14. Найти неопределенный интеграл:

∫1 +dx16 x2 .

Решение.

∫1 +dx16 x2 = ∫1 +(dx4 x)2 = 41 arctg (4 x)+C .

Рассмотрим еще несколько примеров интегрирования методом подстановки.

Пример 3.1.15. Найти неопределенный интеграл:

∫

(x2 + 1)arctgx

Решение.

arctgx = t ;

= ln

={t = arctgx}= ln

arctgx

+C .

∫(x2 + 1)arctgx

∫

dt =

+ 1

156

Пример 3.1.16. Найти неопределенный интеграл:

∫e2 cos x−3 sin xdx.

Решение.

2 cos x − 3

= t ;

∫e

sin xdx

∫e

dt = −

+C =

2 cos x−3

= dt = (2 cos x − 3)′ dx = −2 sin xdx; = −

dt .

sin xdx = −

={t = 2 cos x − 3}= −

e2 cos x−3

+C .

3.1.4. Интегрировние по частям

Пусть подынтегральная функция представляет собой произведение некоторой функции u(x) на производную другой функции

– v′ (x). Тогда имеет место формула преобразования интеграла:

∫u(x)v′ (x)dx =u(x)v (x)− ∫u′ (x)v (x)dx, (3.1.21)

которая называется формулой интегрирования по частям.

Пример 3.1.17. Найти неопределенный интеграл:

∫xexdx.

Решение. Пусть u(x)= x; v′ (x)= ex . Тогда u′ (x)= 1; v (x)= ex . В соответствии с формулой (3.1.21) интегрирования по частям получим:

∫xexdx = xex − ∫exdx = xex −ex +C .

Пример 3.1.18. Найти неопределенный интеграл:

∫ln xdx.

157

Решение.


u	(x)= ln x;
v′		(x)= 1;			1
					1
∫ln xdx = ′			1		= x ln x − ∫x		dx =x ln x − ∫dx = x ln x − x +C .
∫ln xdx = ′		(x)=	1		= x ln x − ∫x	x	dx =x ln x − ∫dx = x ln x − x +C .
u		(x)=	x	;
			x
	(x)= x.
v	(x)= x.

3.1.5. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Из произвольного квадратного трехчлена можно выделить квадрат двучлена (т. е. квадрат суммы или квадрат разности):

4ac −b2

+ bx + c = a x

(3.1.22)

Пример 3.1.19. Выделить квадрат двучлена:

Решение.

x2 −8 x + 2.

x2 −8 x + 2 = x2 −8 x + 16 −14 = (x − 4)2 −14.

Интеграл ∫

преобразованием (3.1.22)

с после-

ax2 + bx + c

дующей заменой приводится к виду

∫

или ∫

t2 + p2

t2 − p2

где р – некоторое число. Эти интегралы являются табличными.

Пример 3.1.20. Найти неопределенный интеграл:

∫ x2 + 10 x + 34 .

Решение.

158

x + 5 = t ;

∫

= ∫

∫

= x = t −5;

+ 10 x +

25 + 9

(x + 5)

+ 3

dx = dt .

= ∫

arctg

+C ={t

= x + 5}=

arctg

x + 5

+C .

t 2 + 32

Интеграл ∫

преобразованием (3.1.22) с после-

+ bx + c

дующей заменой приводится к виду

∫

или ∫

± p

p − t

где р – некоторое число. Эти интегралы являются табличными.

Пример 3.1.21. Найти неопределенный интеграл: ∫		dx	.
	x	2
Решение.		+ 4 x

∫

= ∫

+ 4 x +

4 − 4

+ 4 x

x + 2 = t ;

= ∫

= x = t

− 2;

(x + 2)

− 2

dx = dt .

	dx			=
(x2 + 4 x + 4)− 4
dt
		= ln	t + t2 − 22		+C =

t2 − 22

={t = x + 2}= ln x + 2 + (x + 2)2 − 22 +C = = ln x + 2 + x2 + 4 x +C .

Для нахождения интеграла

Ax + B

∫ax2 + bx + c dx

нужно выделить в числителе дроби производную знаменателя и представить интеграл в виде суммы двух интегралов: первый из них заме-

159

ной ax2 + bx + c = t

преобразуется в табличный

∫dt ; второй – это

интеграл рассмотренного выше типа.

Пример 3.1.22. Найти неопределенный интеграл:

∫

x − 4

dx.

Решение.

x2 + x −12

x − 4

2 x −8

1 2 x + 1 −9

∫

dx =

∫

dx =

∫

dx =

x2 + x − 12

x2 + x −12

2 x + 1

(3.1.23)

∫

dx −

x2 + x − 12

x2 + x −12

Рассмотрим эти интегралы отдельно:

2 x + 1

+ x −12 = t ;

∫

dx = dt = (2x + 1)dx. = ∫

= ln

+C =

x2 + x −12

{

}

x2 + x −12

+C .

t = x2 + x −12 = ln

																																						1
			dx													dx																dx					x +		=
			dx													dx																dx					x +		=
								=																	=											=		2
∫ x2 + x −12								=		∫							1				49				=		∫			1		2		7	2	=		2
										∫			2				1				49														2
											x			+ x +						−
											x			+ x +			4			−		4						x +		2				−			dx = dt .
																	4					4								2				2
				dt								1				t −		7									1 ln		2t −7
																		7
= ∫								=						ln					2		+C =													+C =
= ∫							2	=					7	ln				7			+C =								2t +7					+C =
		t 2 −			7					2			7			t +		7									7		2t +7
		t 2 −			7					2			2			t +			2
					2
					2
																				1
						1				1				2	x		+						−	7					1				2 x + 1		−7
														2	x		+			2			−	7
																				2
=	t = x +							=				ln														+C =					ln						+C	=
=	t = x +					2		=		7		ln								1						+C =			7		ln		2 x + 1		+7		+C	=
						2				7										1									7				2 x + 1		+7
														2	x		+			2		+		7
																				2
=	1 ln			2 x −6					+C =					1 ln			x − 3						+C .
				2 x −6													x − 3
				2 x + 8													x + 4
	7			2 x + 8										7			x + 4

t ; =

160

Подставим найденные интегралы в (3.1.23)

∫

x − 4

∫

2 x + 1

∫

dx =

dx −

x2 + x −12

x − 3

x2 + x −12

−

x − 3

+ x − 12

−

+ C .

x + 4

3.1.6. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь QP ((xx)) , где P (x) и

Q (x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной,

если степень P (x) ниже степени Q (x).

Простейшими дробями соответственно 1-го, 2-го, 3-го и 4-го типов будем называть дроби вида:

1)		A	, где А, x0 – числа;
		x − x0

2)		A		, где п – натуральное число, большее 1;
	(x − x0 )n
3)		Ax + B			, где А и В – числа; x2	+ px +q квадратный
		x2 + px + q

трехчлен, не имеющий вещественных корней (а следовательно, и неразложимый на множители);

Ax + B

4) (x2 + px + q)n , где п – натуральное число, А и В – числа;

x2 + px + q квадратный трехчлен, не имеющий вещественных корней (а следовательно, и неразложимый на множители).

Неопределенный интеграл простейшей дроби 1-го вида ра-

вен:

161

∫ x −Ax0 dx = A ln x − x0 +C .

Неопределенный интеграл простейшей дроби 2-го вида ра-

вен:

∫	A	dx =	A		1	+C .
	(x − x0 )n		1 − n		(x − x0 )n−1

Неопределенный интеграл простейшей дроби 3-го вида рассмотрен в п.3.1.5.

Для интегрирования простейшей дроби 4-го вида в ее числителе нужно выделить производную квадратного трехчлена

x2 + px + q и представить полученный интеграл в виде суммы двух

интегралов. Первый из них подстановкой x2 + px + q = t приводится к виду

dt	1
∫ tn	=		,
		(1 − n)tn−1

а второй имеет вид

∫(x2 + px + q)n .

Заменой x + 2p = z он преобразуется в интеграл вида

∫(z2 +dza2 )n ,

который интегрированием по частям можно свести к интегралу того же типа

∫(z2 +dza2 )n−1 .

Повторяя этот процесс, в конце концов получим интеграл

∫ z2 dz+ a2 = a1 arctg az +C .

162

Если степень многочлена, расположенного в числителе рациональной дроби больше или равна степени ее знаменателя, то рациональную дробь можно представить в виде

F (x)+ QP ((xx)) ,

где F (x) – многочлен, а QP ((xx)) – правильная рациональная дробь.

Этого можно добиться, разделив числитель дроби на ее зна-

P (x)

менатель. Поэтому в дальнейшем будем считать дробь Q (x) пра-

вильной. Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей. Для этого не-

обходимо разложить знаменатель Q (x) на множители, представив этот многочлен в виде произведения множителей вида (x − x0 )n ли-

бо квадратного трехчлена x2 + px + q , не имеющего действительных корней. После этого приступают к нахождению простейших дробей,

сумма которых равна дроби QP ((xx)). Для множителей вида (x − x0 )n

соответствующие дроби имеют вид:

A	+	A	+ ...+	A	,
		(x − x0 )2		(x − x0 )n
x − x0

а для множителей вида (x2 + px + q)n соответствующая дробь имеет вид

Bx +C	+	Bx +C	+ ...+	Bx +C
					.
x2 + px + q		(x2 + px + q)2		(x2 + px + q)n

После этого дроби-слагаемые приводятся к общему знаменателю и, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях

x в числителе P (x) подынтегральной дроби и в числителе полу-

163

ченной суммы дробей-слагаемых, получаем систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов.

Можно сформулировать алгоритм разложения правильной

P (x)

дроби Q (x) на простейшие дроби.

1) Разложить знаменатель Q (x) на линейные множители и неразложимые квадратные трехчлены.

P (x)

2) Представить дробь Q (x) в виде суммы простейших дро-

бей с неопределенными коэффициентами.

3) Приравнять числитель P (x) к числителю суммы дробей с

неопределенными коэффициентами.

4) Систему уравнений, из которой можно найти неопределенные коэффициенты, можно получить двумя способами: либо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной, либо присвоить переменной несколько различных значений (столько, сколько имеется неопределенных коэффициентов) и приравнять полученные выражения.

Пример 3.1.23. Найти неопределенный интеграл:

∫ x2 −dxx − 2 .

Решение.

x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1).

Пусть								A(x + 1)+ B (x − 2)
1	=	1	=	A	+	B	=		.
x2 − x − 2		(x − 2)(x + 1)		x − 2		x + 1		(x − 2)(x + 1)

Найдем коэффициенты А и В такие, что

A(x + 1)+ B (x − 2)= 1.

164

При x = 2 получим: 3A = 1 A

При x = −1 получим:

−3B = 1 B

= −

Следовательно,

−

x2 − x − 2

x − 2

x + 1

Тогда

1 dx

−

dx =

−

∫

∫ x − 2

3 ∫ x +

x2 − x − 2

∫ x

−

x + 1

1 ln

x − 2

−

1 ln

x + 1

+C .

Пример 3.1.24. Найти неопределенный интеграл:

∫

Решение.

x3 − x2

x3 − x2 = x2 (x −1).

Пусть

Ax (x −1)+ B (x −1)+Cx2

x3 − x2

x2 (x −1)

x −1

x2 (x −1)

Найдем коэффициенты А, В и С такие, что

Ax (x −1)+ B (x −1)+Cx2 = 1.

При x =0 получим −B = 1 B = −1. При x =1 получим C = 1.

При x = 2 получим

2 A + B + 4C = 1 2 A −1 + 4 = 1 2 A = −2 A = −1.

Следовательно, x3 −1 x2 = − 1x − x12 + x 1−1 .

165

Тогда

−

= −

−

∫ x

− x

−

∫

∫ x

∫ x −

∫

−ln

+ ln

x −1

+C = ln

x −1

+C .

Пример 3.1.25. Найти неопределенный интеграл:

∫

x2 − x

dx.

Решение.

x2 −6 x + 10

Выделим целую часть подынтегральной функции:

x2 − x

x2 −6 x + 10 + 5 x −10

= 1 +

5 x −10

x2 −6 x + 10

−6 x + 10

Тогда

x2 − x

5 x −10

∫

= ∫

1 +

dx = ∫dx + ∫

dx = (3.1.24)

x2 −6 x + 10

= x + ∫

5 x −10

dx.

−6 x +

x2 −6 x + 10

Квадратный

трехчлен

имеет

отрицательный

дискриминант и его нельзя разложить на множители, поэтому

5 x −10

2 x − 4

2 x −6 + 2

∫

dx = 2

∫

dx =

2 ∫

dx =

x2 −6 x + 10

2 x −6

(3.1.25)

∫

dx +

5∫

x2 −6 x + 10

Найдем каждый из этих интегралов отдельно.

166

2 x −6

−6 x + 10 = t ;

dx =

∫ x2 −6 x + 10

(

−6 x + 10

)

′ = (2x

−6 )dx.

= ∫dtt = ln

+C ={t = x2 −6 x + 10}= ln

x2 −6 x + 10

+C .

∫

=∫

x2 −6 x + 10

x2 −6 x + 9 + 1

−

3 = u;

∫(x

− 3)2 +

= du.

= ∫

= arctgu +C ={u = x − 3}= arctg (x − 3)+C .

u2 + 1

Подставим найденные интегралы в (3.1.25):

5 x −10

2 x −6

∫

dx =

∫

dx + 5∫

dx =

x2 −6 x + 10

5 ln

−6 x +

+ 5arctg (x − 3)+C .

Подставим найденный интеграл в (3.1.24).

∫

x2 − x

dx =x + ∫

5 x − 10

dx = x +

x2 −6 x + 10

+ 5arctg (x − 3)+ C .

−6 x + 10

−6 x +

3.1.7. Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида ∫F (sin x,cos x)dx , где

F (x) –

рацио-

нальная функция, приво-дятся к интегралам от алгебраических рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической

подстановки tg 2x = t , поскольку при этом

167

2tg

sin x =

;

1 + tg

1 + t2

1 − tg

1 − t2

cos x =

;

1 + tg

1 + t2

x = 2arctgt ;

dx =

2dt

1 + t2

Пример 3.1.26. Найти неопределенный интеграл:

x = 2arctgt ;

= t ;

2dt

1 + t

∫ 3 + 5 cos x

1 − t

∫

1 − t2

∫ 3(

1 + t 2 )+ 5 (1 − t 2 )

cos x =

;

3 + 5

1 + t

1 + t2

2dt

1 + t

2dt

+ 2

= ∫

=∫

t = tg

+C .

− 2t

− t

−

− 2

Для нахождения интегралов вида

∫sin ax cos bxdx, ∫sin ax sinbxdx,

∫cos ax cos bxdx

используются тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму:

sinax cos bx = 21 (sin(a + b)x + sin(a −b)x);

168

sin ax sin bx = 21 (cos (a −b)x −cos (a + b)x); cos ax cos bx = 21 (cos (a −b)x + cos (a + b)x).

Пример 3.1.27. Найти неопределенный интеграл:

∫sin 9 x sin 3xdx =							1	∫(cos 6 x −cos 12 x)dx =			1	∫cos 6 xdx −		1	∫cos 12 xdx =
						2					2			2

=	1	1	sin6 x −	1		1		sin 12 x +C =	1	sin6 x −		1	sin 12 x +C .
	2	6		2	12				12		24

Интегралы вида ∫sinm x cosn xdx, где m и n – целые числа.

1) Если один из показателей m и n – нечетное число, то применяется подстановка sin x = t (если п – нечетное число) или cos x = t (если m – нечетное число).

Пример 3.1.28. Найти неопределенный интеграл:

Решение.

∫sin2

x cos3

xdx.

sin x = t ;

∫sin2 x cos3 xdx = ∫sin2 x cos2 x cos xdx = ∫sin2

x (1 − sin2

x)cos xdx =

cos xdx = dt .

∫t2 (1 − t 2 )dt =∫(t2 − t4 )dt =

t3 −

+ C ={t

= sin x}=

sin3

x −

sin5 x +C .

Если оба показателя степени т и п четные неотрицательные числа, следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью тригонометрических формул

sin x cos x = 21 sin 2 x; sin2 x = 21 (1 −cos 2 x); cos2 x = 21 (1 + cos 2 x).

169

Пример 3.1.29. Найти неопределенный интеграл:

								Решение.															∫sin2 x cos4									xdx.
								Решение.																												2
∫					2						4				∫	(sin x cos x)								2			2					1				2	1		(1 + cos 2 x)dx =
	sin						x cos					xdx =														cos		xdx =					sin 2 x											(3.1.26)
	sin						x cos					xdx =														cos		xdx =				2	sin 2 x				2
																													∫			2					2
=		1		∫sin2					2 x (1 + cos 2 x)dx =													1	∫sin2 2 xdx +							1	∫sin2			2 x cos 2 xdx.
=	8			∫sin2					2 x (1 + cos 2 x)dx =														∫sin2 2 xdx +						8		∫sin2			2 x cos 2 xdx.
	8																	8											8
								Найдем эти интегралы отдельно.
1				sin2						2 xdx =						1			1		(1 −cos 4 x) dx =														1			dx −			1		cos 4 xdx =
8		∫		sin2						2 xdx =						8 ∫					(1 −cos 4 x) dx =														16 ∫			dx −				∫	cos 4 xdx =
8		∫														8 ∫		2																	16 ∫					16		∫
=			1				x −					1		sin 4 x +C .
=	16						x −				64			sin 4 x +C .
	16										64

																											sin 2 x = t ;
								1	∫sin2 2 x cos 2 xdx =																															=
								1	∫sin2 2 x cos 2 xdx =																		dt = 2 cos 2 xdx;													=
								8																										1
																																		1

																											cos 2 xdx =								2 dt .
						=					1		∫t2dt =					1		t3 +C ={t = sin 2 x}=																	1			sin3 2 x +C .
						=			16				∫t2dt =					48		t3 +C ={t = sin 2 x}=																	48			sin3 2 x +C .
									16									48																			48
								Подставим найденные интегралы в (3.1.26):
						∫sin2 x cos4 xdx = 1																				∫sin2 2 xdx + 1									∫sin2 2 x cos 2 xdx =
									1						1			8								1							8
						=			1			x −			1		sin 4 x +									1	sin3 2 x +C .
						=		16				x −					sin 4 x +								48		sin3 2 x +C .
								16				64													48

170

Задачи для самостоятельного решения.

3.1.03. ∫3(2 x2 −1)2 dx.

3.1.04. ∫x2 (1 + 5 x)dx.

3.1.05. ∫x4 (x −1)dx.

3.1.06. ∫(x4 + 3x3 + x + 1)dx.

3.1.07. ∫(2x + 3x )dx.

3.1.08. ∫(x4 − 4 x3 + 2 x)dx.

3.1.09.∫(−2 x3 +6 x2 )dx.

3.1.10.∫(x −1)(x + 4)dx.

3.1.11.∫6dxx .

3.1.12.∫12dxx .

3.1.13.∫8 cos xdx.

3.1.14. ∫7 sin2 x .

3.1.15. ∫ x2 + 16 . 3.1.16. ∫ 4dx− x2 .

171

3.1.17. ∫sin(2 x − 3)dx.

3.1.18. ∫

4 x2 −6 x + 1

dx.

∫

3.1.19.

−

dx.

sin

cos

3.1.20. ∫

9 − x

3.1.21. ∫

25 − x2

3.1.22. ∫

3.1.23. ∫

x2 −9

3.1.24. ∫

cos2 5 x

3.1.25. ∫

3.1.26. ∫(6 x2 + 8 x + 3)dx.

3.1.27. ∫

x2 −10

3.1.28. ∫

9 x +7

3.1.29. ∫

x2 +7

3.1.30. ∫

8 − x

3.1.31. ∫

8 − 2 xdx.

172

3.1.36. ∫

3.1.32.∫2 x x2 + 1dx.

3.1.33.∫x 1 − x2 dx.

3.1.34.∫ lnxxdx .

3.1.35.∫sin3 x cos xdx.

xdx . x2 + 1

(2x − 3)dx

3.1.37.∫ x2 − 3x + 8 .

exdx

3.1.38.∫ex + 1.

3.1.39.∫esin x cos xdx.

3.1.40.∫ex sin(ex )dx.

3.1.41.∫ xdxln x .

3.1.42. ∫	xdx
		.
	x2 +6
3.1.43. ∫	(x x2 −7 )dx.
3.1.44. ∫	x −1			dx.
	2 x − x		2

3.1.45.∫x2 61−x3 dx.

3.1.46.∫sin x cos2 xdx.

(2x −1)dx

3.1.47.∫ x2 + x − 3 .

173

xe5 xdx. x ln xdx.

3.1.48. ∫					dx					.
	(x	2	+	1)arcctgx

3.1.49. ∫	tgx				dx.

	cos2		x
3.1.50. ∫x 5 5 − x2 dx.
3.1.51. ∫xe− x2 dx.
3.1.52. ∫(8x + 3)4 dx.
3.1.53. ∫	4 − xdx.
3.1.54. ∫x (1 − x2 )6 dx.
3.1.55. ∫		2 x + 3
									dx.
	x2 + 3x + 5
3.1.56. ∫		x				dx.
	3x2 + 5
3.1.57. ∫5sin x cos xdx.
3.1.58. ∫		dx						.
	4 −9 x						2

3.1.59. ∫x2			x3 + 5dx.

3.1.60. ∫cos2 4 x . 3.1.61. ∫ln xdx.

3.1.62. ∫xe− xdx.

3.1.63. ∫ 3.1.64. ∫

174

3.1.65.∫xarctgxdx.

3.1.66.∫x cos xdx.

3.1.67.∫x sin xdx.

3.1.68.∫ex sin xdx.

3.1.69.∫(x −7 )sin xdx.

3.1.70.∫(1 − 3x)cos 2 xdx.

3.1.71.∫arctgxdx.

3.1.72.∫(4 − x)e−3 xdx.

3.1.73.∫x sin 2 xdx.

3.1.74.∫arctg xdx.

3.1.75.∫x3x dx.

3.1.76.∫x2e− x+1dx.

3.1.77.∫arccos xdx.

3.1.78.∫arcsin xdx.

3.1.79.∫x cos 3xdx.

3.1.80.∫x2−x dx.

3.1.81.∫x arcsin xdx.

3.1.82.∫3x cos xdx.

3.1.83.∫x ln(x + 3)dx.

3.1.84.∫(3x −1)sin 4 xdx.

175

3.1.85.∫x sin 2 xdx.

3.1.86.∫lnxxdx2 .

3.1.87.∫x cos 3xdx.

3.1.88.∫x ln2 xdx.

3.1.89.∫e2 x cos 3xdx.

3.1.90.∫xe5 xdx.

3.1.91. ∫

4 x2 + 12 x + 9

3.1.92. ∫

x2 −8 x + 25

3.1.93. ∫

3 − x − 2 x

3.1.94. ∫

−4 x2 + 8 x + 5

3.1.95. ∫

6 x +

3.1.96. ∫

−x2 + 4 x + 21

3.1.97. ∫

2 x2 + 2 x + 5

3.1.98. ∫

5 x − 2 x

3.1.99. ∫

−

3x +

176

3.1.100.

3.1.101.

3.1.102.

3.1.103.

3.1.104.

3.1.105.

3.1.106.

3.1.107.

3.1.108.

3.1.109.

3.1.110.

3.1.111.

3.1.112.

∫6 x −9 x2 −1.

(x − 2)dx

∫2 x2 + 5 x +6 . dx

∫50 x − 25 x2 −9

∫4 x2 −16 x −9 . ∫ x −dx2 x2 .

(x − 4)dx

∫x2 + x −12 .

(6 x −5)dx

∫2 x2 −12 x + 15 (8 x − 3)dx

∫27 + 12 x − 4 x2

(6 x −1)dx

∫x2 − 4 x + 13 . (3 −5 x)dx

∫4 x2 + 16 x −9 .

∫ 2 x2 −5 x +7 .

(x −1)dx

∫x2 − x −1.

∫	dx	.
	2 + 3x − 2 x2

177

3.1.113.

3.1.114.

3.1.115.

3.1.116.

3.1.117.

3.1.118.

3.1.119.

3.1.120.

3.1.121.

3.1.122.

3.1.123.

3.1.124.

3.1.125.

(x + 3)dx

∫x2 + 2 x + 2 .

∫x2 dx+ 2 x .

∫ x2 + 2 x + 5 .

∫ 3x2 − x + 1.

xdx

∫ x2 −7 x + 13 .

(3x − 2)dx

∫x2 − 4 x + 5 .

x2dx

∫x2 −6 x + 10 .

∫xdx− x2 .

xdx

∫(x −1)(x + 1)2 .

∫		dx
				.
	x3	− 2 x2 + x
∫	x2	−5 x + 9
			dx.
	x2	−5 x +6

∫(x −1)(x + 2)(x + 3). ∫ x (xdx+ 1)2 .

178

3.1.126.

3.1.127.

3.1.128.

3.1.129.

3.1.130.

3.1.131.

3.1.132.

3.1.133.

3.1.134.

3.1.135.

3.1.136.

3.1.137.

(5 − 4 x)dx

∫(x + 1)(x − 2).

(x2 +6 )dx

∫x (x − 3)2 .

(3x + 8)dx

∫(x − 2)(x + 5).

∫	(7 x + 12)dx
		.
	(x −1)(3x + 1)
∫	(5 x −10 − x2 )dx .
	x2 − 4 x + 3
∫	(x2 −72)dx
			.
	x (x + 4)(x − 3)
∫	(6 + 8 x − x2 )dx
	x3 + 3x2 + 2 x .

(3x + 1)dx

∫(x + 3)2 (x −5).

(x3 −7 x2 −6 )dx

∫(x2 + 9)(x − 3) .

xdx

∫(x + 1)(2 x + 1).

xdx

∫ 2 x2 − 3x − 2 .

(x − 4)dx

∫(x − 2)(x − 3).

179

3.1.138.

3.1.139.

3.1.140.

3.1.141.

3.1.142.

3.1.143.

3.1.144.

3.1.145.

3.1.146.

3.1.147.

3.1.148.

3.1.149.

3.1.150.

(2 x + 3)dx

∫(x − 2)(x + 5).

(3x2 + 2 x − 3)dx

∫x (x −1)(x + 1) .

∫(x + 1)(x − 2).

∫(x −1)2 (x + 1).

xdx

∫ x2 + 3x + 2 .

(x2 + 2)dx

∫(x + 1)2 (x −1).

(7 x −6 )dx ∫ 2 x2 −6 x + 4 .

∫ x2 −dxx − 2 . ∫ x3dx− x2 .

∫ x3 + x .

∫ x (xdx+ 1)2 .

∫(x2 −1)(x + 2).

∫ x2 + 3x − 4 .

180

3.1.151. ∫tg2 xdx.

3.1.152. ∫3 cos2 2x dx.

3.1.153. ∫sin x cos2 xdx.

3.1.154. ∫cos2 xdx.

3.1.155. ∫sin2 2 xdx. 3.1.156. ∫ sindxx .

3.1.157. ∫cosdxx .

3.1.158. ∫sin2 x cos4 xdx.

3.1.159. ∫ sindx3 x . 3.1.160. ∫sin5 xdx.

3.1.161. ∫cos7 xdx.

3.1.162. ∫cos4 3xdx.

3.1.163. ∫sin6 xdx.

3.1.164. ∫cosdx3 x .

3.1.165. ∫sin 3x cos7 xdx.

3.1.166. ∫sin 2 x sin 9 xdx.

3.1.167. ∫cos 3x cos 5 x cos 8 xdx.

3.1.168. ∫sin 4 x sin 5 x sin7 xdx.

181

3.1.169. ∫sin3 xdx.

3.1.170. ∫sin3 x cos2 xdx.

3.1.171. ∫sin9 x sin xdx.

3.1.172. ∫cos 2x cos 3x dx.

3.1.173. ∫sin x sin 2 x sin 3xdx.

sin3 xdx

3.1.174. ∫ cos4 x .

3.1.175. ∫5 − 3dxcos x .

3.1.176. ∫5 + 4dxsin x .

3.1.177. ∫cos3 xdx.

3.1.178. ∫sin4 xdx. 3.1.179. ∫ sindx4 x .

3.1.180. ∫cos6 x .

182

f (x)

3.2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Пусть функция неотрицательна на отрезке [a;b]. Криволинейной трапецией назовем плоскую фигуру, ограниченную графиком функции f (x), прямыми x = a и x = b , а также осью абсцисс (рис. 1).

f (x)

O	a			b		x
	Рис. 3.2.1
	Пусть функция f (x) неотрицательна на отрезке [a;b]. Ра-
зобьем отрезок [a;b] на п промежутков в точках				x0 , x1 , x2 ,..., xn
таких, что:
	a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b .
	На каждом отрезке разбиения x	i−1	, x выберем точку c		i	и
		i−1	i		i

положим:

xi = xi − xi−1 , i = 1,2,...,n.

183

Тогда произведение f (ci )	xi равно площади прямоуголь-
ника Si со сторонами f (ci ) и	xi . Сумма площадей всех таких

прямоугольников равна

Sn = ∑ f (ci ) xi .

i=1

Эта сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры

(рис. 2):

f (x)

О	a a	xi		b	x

	a
		Рис.3.2.2
	Чем меньше длины отрезков		xi , тем ближе площадь сту-
пенчатой фигуры к площади криволинейной трапеции. Введем теперь
определение. Пусть на отрезке [a;b]			задана функция	f (x) (не обя-
зательно неотрицательная). Разобьем отрезок [a;b]				на п промежут-

ков в точках x0 , x1 , x2 ,..., xn таких, что:

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b .

184

На каждом отрезке разбиения xi−1 , xi выберем точку ci и

положим:

xi = xi − xi−1 , i = 1,2,...,n.

Сумму вида

Sn = ∑ f (ci ) xi

i=1

Назовем интегральной суммой для функции f (x) на отрезке

[a;b]. Интегральная сумма, очевидно, зависит как от самой функции f (x)и от отрезка [a;b], так и от способа разбиения этого отрезка и

выбора точек

на каждом из промежутков разбиения.

Обозначим

через max

максимальную

из

длин

отрезков

−

; x , где

i = 1,2,...,n.

Пусть предел интегральной суммы

Sn = ∑ f (ci ) xi

i=1

при стремлении max

к нулю существует,

конечен и не зависит

от способа выбора точек

x1 , x2 ,... и c1 ,c2 ,.... Тогда этот предел на-

зывается определенным интегралом от функции f (x)

на отрезке

[a;b] и обозначается

∫b

f (x)dx ,

[a;b], то

а функция

f (x) называется интегрируемой на отрезке

есть

(x)dx =

lim

f (c

)

∫

max xi →0

max xi →0 ∑

i=1

185

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.06.2015240 Кб136Dokument_Microsoft_Office_Word (3).docx
#
09.06.2015122 Кб15Dokument_Microsoft_Office_Word (3).docx
#
09.06.2015274 Кб18Dokument_Microsoft_Office_Word_3.docx
#
09.06.201514 Кб11Dokument_Microsoft_Office_Word.docx
#
09.06.20153 Мб51Dokumentoved_i_ego_professia.pdf
#
09.06.20151 Мб209Dukhon2.pdf
#
28.03.20165 Мб352ED9M_i_dr___1.pdf
#
28.03.20165 Мб173ED9M_i_dr___2.pdf
#
09.06.20152 Мб84ek_oc_inv_met_uk.pdf
#
09.06.20151 Мб47ek_oc_inv_posobie.pdf
#
28.03.2016203 Кб21ekonomika_otrasli_kursovoy.doc