1.4. Мінори. Алгебраїчні доповнення. Теорема про розклад

Означення 1. Мінором елемента (позначається) визначника3-го порядку називається визначник 2-го порядку, отриманий з даного визначника, в якому викреслено і-тий рядок іj-ий стовпець, в яких містився елемент .

Наприклад, викреслюючи у визначнику

3-ій рядок 2-ий стовпець знаходимо мінор

який відповідає елементу .

Аналогічно можна виписати мінори для решти елементів. Всього для елементів визначника 3-го порядку можна виписати 9 мінорів.

Означення 2. Алгебраїчним доповненням елемента (позначається) називається відповідний мінор, взятий із знаком, тобто

Знаки перед мінорами залежать від місця елемента у визначнику і розподіляються за схемою:

Приклад 1. Знайти алгебраїчні доповнення елементів визначника.

.

Розв’язання. Відповідно до означення алгебраїчних доповнень, ураховуючи схему розподілу знаків для відповідних мінорів, маємо

Поняття алгебраїчного доповнення дає можливість ще одного способу обчислення визначника, який стверджується наступною теоремою.

Теорема. (Про розклад визначника). Визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.

Наприклад,

Рівність (1) перевіряється безпосередньо

Як бачимо останній вираз збігається з виразом (1) з 1.3.

Рівність типу (1) називають розкладом визначника за елементами першого стовпця.

Вправа. Записати ще 5 розкладів типу (1) для інших рядків і стовпців.

Приклад 2. Обчислити визначник прикладу 1, розкладаючи його за елементами рядків і стовпців.

Розв’язання. Алгебраїчні доповнення вже знайдені у попередньому прикладі, тоді розклади за елементами рядків відповідно запишуться:

Аналогічні розклади запишемо за рядками:

Приклад 3. Обчислити визначник, розклавши його за елементами ІІІ-го рядка

Розв’язання.

.

Приклади. Користуючись теоремою про розклад обчислити визначники:

Відповіді. 1) -63. 2) -44. 3) 35. 4) -35. 5) 17. 6) 21.

1.5. Теореми заміщення і анулювання

Теорема (заміщення). Сума добутків алгебраїчних доповнень будь якого рядка (стовпця) на довільні числа дорівнює новому визначнику, в якому цими числами заміщені відповідні елементи початкового визначника, що відповідають даним алгебраїчним доповненням.

Наприклад,

де - алгебраїчні доповнення елементівпершого стовпця початкового визначника:

Теорема (анулювання). Сума добутків елементів одного рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Наприклад,

Дійсно, за теоремою про заміщення ліва частина виразу дасть новий визначник з двома однаковими стовпцями.

Приклад

Для визначника

а) Знайти алгебраїчні доповнення всіх його елементів.

б) Перевірити теорему про розклад для всіх трьох стовпців.

в) Перевірити теорему про анулювання для алгебраїчних доповнень елементів І-го рядка та відповідних елементів ІІ-го рядка, а тоді для елементів ІІІ-го рядка.

Розв’язання

а)Часто подібні результати зручно записувати у вигляді таблиці (матриці):

б)

в)

Вправи

Обчислити визначники згідно з означенням

Обчислити визначники за теоремою про розклад

Знайти алгебраїчні доповнення для елементів поданих визначників, перевіряючи їх вірність за допомогою теореми розкладу та теореми анулювання. Значення алгебраїчних доповнень записати у вигляді таблиць (матриць).

Спростити вирази

Розв’язати рівняння

Користуючись властивостями визначників спростити вирази::

12. . 13. .

14. . 15..

Користуючись лише властивостями визначника (не розгортаючи їх), розв’язати рівняння:

16. . 17.

Довести рівність

18.

Відповіді

12. . Вказівка. Відняти останній стовпець від перших двох.

13. . Вказівка. Відняти від першого стовпця другий, а від другого третій.14. . Вказівка. Відняти від першого рядка другий, від другого третій.15. . Вказівка. До третього стовпця додати другий.16. .

17. .

1.6. Розв’язування систем трьох лінійних рівнянь за формулами Крамера. Однорідні системи

Нехай задана система

з якої необхідно знайти при відомих інших елементах.

Складемо визначник системи із коефіцієнтів при невідомих

Домножимо почленно кожне з рівнянь відповідно на - алгебраїчні доповнення елементів першого стовпця (коефіцієнтів прих) і додамо всі три рівності. Отримаємо:

За теоремою про розклад коефіцієнт при х дорівнює . Коефіцієнти прибудуть рівними нулю за теоремою анулювання. Права частина рівності за теоремою про заміщення дає новий визначник, який називають допоміжним і позначають

Після цього остання рівність запишеться

(2)

Для знаходження домножимо кожне з рівнянь початкової системи в першому випадку відповідно нав другому - наі додамо. В наслідок перетворень отримаємо:

де

Якщо , то в результаті отримуємо формули Крамера:

Окремим випадком системи (1) є однорідна система

(3)

Серед розв’язків однорідної системи можуть бути як нульові розв’язки , так і розв’язки відмінні від нуля.

Теорема 1. Якщо визначник однорідної системи (3) відмінний від нуля (), то така система має тільки нульовий розв’язок.

Дійсно, за властивістю 4 в 1.3. допоміжні визначники , як такі, що містять нульовий стовпець, тому за формулами Крамера .

Теорема 2. Якщо однорідна система має відмінний від нуля розв’язок, то її визначник необхідно дорівнює нулю.

Дійсно, нехай одне з невідомих, наприклад х, відмінне від нуля. Згідно з однорідністю . Рівність (2) запишеться. Звідки випливає, що.

Приклад.