9. . 10. 11..

12. . 13.. 14..

Перемножити прямокутні матриці:

15. . 16..

17. .

Знайти , якщо задана матриця і функція

Відповіді.

8. . 9..

10. . 11.. 12..

13. . 14.. 15..

16. . 17..

1.11. Визначник добутку матриць

Визначник квадратної матриці позначають(скорочення від латинської назви детермінант), або ||. Наприклад, якщо

то .

Теорема. Визначник добутку двох квадратних матриць -го порядку дорівнює добуткові їх визначників, тобто

, або . (1)

Рівність перевіримо для матриць другого порядку.

Приклад. Перевірити рівність (1) для таких матриць

Розв’язання. Обчислимо спочатку визначники заданих матриць та добуток їх

; ,

.

Знайдемо тепер добуток матриць іі теж обчислимо їх визначник

. .

Отже, .

Приклади. Знайти визначники матриць:

1. . 2. 3..

4. . 5.. 6..

Для поданих матриць знайти їх добутокта обчислити визначники. Результат перевірити за допомогою теореми.

Відповіді. 1. -1. 2. 343. 3. . 4. 1. 5.. 6..

7. 6,-6,-36. 8. -6, -33, 198.

1.12. Обернена матриця.

Поняття оберненої матриці розглянемо на прикладі квадратної матриці третього порядку, яке по аналогії можна буде узагальнити для матриць довільного порядку. Нехай

.

Означення 1. Матриця називаєтьсянеособливою (невиродженою), якщо її визначник відмінний від нуля, тобто .

Якщо ж , то матриця називаєтьсяособливою (виродженою).

Означення 2. Квадратна матриця називаєтьсяоберненою до матри ці , якщо виконується рівність

(1)

тобто добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці .

Теорема. Якщо матриця -неособлива (), тоця умова є необхідною і достатньою для існування оберненої матриці .

Доведемо необхідність. Нехай матриця має обернену, тобто. За теоремою про визначник добутку двох матриць маємо

, бо . (2)

Тому рівність (2) можлива тільки тоді, коли і.

Достатність. Нехай визначник матриці відмінний від нуля, тобто. Скорочено позначимо. Покажемо, як знайти обернену матрицю.

Для кожного з елементів матрицізнайдемо відповідні їм алгебраїчні доповнення:, розмістивши їх у вигляді нової матрицівідповідно розташуванню елементівв. Отримаємо

(3)

(див., розв’язаний в 1.5 приклад, де отримано матрицю із алгебраїчних доповнень разом з перевіркою вірності їх значень). Протранспонуємо матрицю , замінивши рядки стовпцями, отримаємоформулу оберненої матриці

. (4)

За допомогою теорем про розклад та анулювання для визначників третього порядку неважко перевірити, що .

Приклад 1. Знайти обернену матрицю до матриці

.

Розв’язання здійснимо у такій послідовності

1) Обчислимо визначник матриці

.

Оскільки , то існує обернена матриця.

2)Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці

;;;;;;;.

3) Записуємо нову матрицю за формулою (3)

.

4) За формулою (4) отримуємо обернену матрицю

.

5) перевіримо, що ,

Приклад 2. Знайти матрицю, обернену до матриці

.

Розв’язання. 1) .

2) ;;

;.

3) .

4) .

5)

.

Приклади для самостійного розв’язання

Знайти обернені матриці для матриць:

1. . 2.. 3..

4. . 5.. 6..

7. .

Відповіді:

1. . 2.3..

4. . .5.. 6.

7. .

1.13. Розв’язування систем лінійних рівнянь

матричним способом

Обмежимось розглядом системи 3-х лінійних рівнянь

Запишемо такі матриці:

,

де складена з коефіцієнтів при невідомих — матриця системи,– матриця вільних членів,– матриця невідомих. Знайдемо добуток

Користуючись означенням рівності матриць, ми бачимо, що система ЛР (1) є не що інше, як рівність відповідних елементів матриць – стовпців і. Тому початкова система (1) набуває форму матричного рівняння

Для розв’язання останнього домножимо зліва рівняння (2) на обернену матрицю , вважаючи, що, отримаємо

Але , а, тоді розв’язок матричного рівняння (2) запишеться

(3)

Покажемо, що з формули (3) можна отримати формули Крамера. Дійсно, підставляючи в (3) вирази для і, маємо

За теоремою про заміщення кожний елемент останньої матриці дорівнює значенням допоміжних визначників , які були введені при розв’язуванні систем за формулами Крамера. Тому далі маємо

Звернемо увагу на те, що в формулі (3) співмножник , залежить тільки від коефіцієнтів при невідомих, а тільки від вільних членів. Тому, коли приходиться розв’язувати системи вигляду (1) з однаковими лівими частинами і різними вільними членами, то в таких випадках матричний розв’язок (3) стає зручнішим: обернену матрицю знаходимо тільки один раз і перемножуємо на нову матрицю . В той же час, за формулами Крамера прийшлося б заново обчислювати допоміжні визначникивідповідно для кожного нового набору вільних членів.

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь матричним способом

Складемо матрицю системи

Для цієї матриці в 1.12. ми вже знайшли і обернену матрицю

Тому згідно (3) маємо

Отже,

Пропонуємо перевірити відповідь.