Модуль 1. Механіка Лабораторна робота № 1.1. Визначення залежності моменту інерції системи від розподілу її маси відносно осі обертання

Мета роботи: засвоїти основний закон динаміки обертального руху; виявити залежність моменту інерції системи від рівномірного розподілу її маси відносно осі обертання; ознайомитись з методом екстраполяції.

Вказівки до виконання роботи

Для виконання роботи потрібно засвоїти такий теоретичний матеріал: обертальний рух абсолютно твердого тіла; кутова швидкість та кутове прискорення, їхній зв’язок з лінійною швидкістю та лінійним прискоренням; момент сили; момент інерції та закон динаміки обертального руху абсолютно твердого тіла відносно нерухомої осі.

Література: [1, т.1 §§ 1.2–1.5, 2.2–2.5, 2.9, 4.1–4.3; 2, §§ 1–7, 16, 18; 3, §§ 1.1–1.4, 2.2, 2.5, 2.7, 2.16; 4, т.1 §§ 1, 3, 4, 7–9, 11, 13, 29, 39; 6, §§ 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.3.3; 7, §§ 1.1.1 – 1.1.3, 1.2.1, 1.2.3, 1.2.5, 1.3.1, 1.3.3, 1.3.5]

У лабораторній роботі застосовують непрямий метод визначення моменту інерції системи, що ґрунтується на законі динаміки обертального руху:

, (1.1.1)

де − кутове прискорення системи, − момент сили, − момент інерції.

Момент інерції абсолютно твердого тіла відносно нерухомої осі є скалярною фізичною величиною, яка дорівнює алгебраїчній сумі добутків мас всіх його елементарних точок на квадрат їхніх найкоротших відстаней до осі обертання та є величиною адитивною:

. (1.1.2)

Р оботу виконують на установці (рис. 1.1.1), що складається з хрестовини, жорстко зв’язаної з блоком радіусом . На хрестовині можуть закріплюватись на різних відстанях R від осі обертання чотири тягарці m₁. На блок намотується нитка, один кінець якої закріплений на блоці, а до іншого прив’язано вантаж масою m. Коли описаній системі тіл дати свободу, вантаж m почне опускатися, а блок з хрестовиною i тягарцями − обертатися навколо нерухомої осі. На вантаж діють сила тяжіння i сила натягу нитки . Під дією цих сил вантаж рухатиметься зі сталим прискоренням. Обертання блока, якщо знехтувати тертям на осі, викликає момент сили , модуль якої, за третім законом Ньютона, дорівнює модулю сили . Плечем сили буде радіус блока , тому момент сили:

. (1.1.3)

Для визначення сили F^/=F записують динамічне рівняння руху вантажу m. Використовуючи зв’язок кутового прискорення  з лінійним прискоренням i виражаючи останнє через висоту h i час опускання вантажу , з (1.1.1) відповідно до (1.1.3) можна одержати формулу для визначення моменту інерції системи тіл, що обертаються:

. (1.1.4)

Оскільки величина (у чому можна переконатися безпосередніми підрахунками), то формула (1.1.4) набуває простішого вигляду:

. (1.1.5)

Момент інерції системи J складається з моменту інерції блока з хрестовиною J₀ i моменту інерції J^/ тягарців m₁, закріплених на хрестовині. Якщо вважати тягарці точковими масами, у разі їхнього симетричного розташування відносно осі обертання можна записати:

, (1.1.6)

де R – відстань тягарців від осі обертання.

З (1.1.6) випливає лінійна залежність між J та R². Визначивши момент інерції системи для різних значень R, можна побудувати графік залежності J = f (R²) та методом екстраполяції отримати значення моменту інерції блока з хрестовиною J₀. Приклад побудови такої залежності наведено на рис. 1.1.2.

Екстраполяція, екстраполювання (від лат. exstra і рolio – пригладжую, виправляю, змінюю) – особливий тип апроксимації, коли функція проксимується поза заданим інтервалом, а не між заданими значеннями. Тобто екстраполяція – це наближене визначення значень функції f(x) в точках x, що лежать поза відрізком [x₀, x_n], за її значенням в точках x₀ <x₁ <... < x_n. У статистиці екстраполяція – це поширення встановлених у минулому тенденцій на майбутній період (екстраполяція у часі застосовується для перспективних розрахунків чисельності населення); поширення вибіркових даних на іншу частину сукупності, не піддану спостереженню (екстраполяція в просторі).

Для більш точного вимірювання часу опускання вантажу в установці використовують електронний секундомір, який фіксує тривалість руху.