Рисунок 5.2 - Рух маси газу m у каналі
На підставі збереження енергії для цієї маси газу з урахуванням теплообміну з навколишнім середовищем отримаємо
mw2 |
|
|
|
dQ mgdz dU d |
|
|
d( pV )m dK |
, (5.8) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
де dQ - зміна кількості теплоти;
mgdz - приріст потенційної енергії положення; dU - приріст теплової внутрішньої енергії;
mw2
d - приріст кінетичної енергії;
2
d( pV )m - приріст потенційної енергії тиску; dK - витрата енергії на тертя.
У рівнянні (5.8) ураховується, що зміна енергії маси газу m при переході з положення I в положення II дорівнює зміні кількості теплоти. Для 1 кг маси рівняння набере вигляду
|
w2 |
|
dq gdz du d ( |
2 ) d ( pV ) dK , |
(5.9) |
де q – питома теплота.
Оскільки величини gdz і dK – малі, то
561
|
w2 |
|
dq du d( |
2 ) d ( pV ) . |
(5.10) |
З курсу термодинаміки відомо, що du d( pV ) di , де i – ентальпія газу, що виражає повний запас його внутрішньої енергії і є кількістю теплоти, необхідної для нагрівання газу від 0 до температури Т. Тому
w2
dq di d . (5.11)
2
Для адіабатного процесу dq 0 , тому
w2
d di . (5.12)
2
Інтегруючи в межах, що відповідають положенням I і
II (рис. 5.2), отримаємо
|
w2 |
w2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
i |
i . |
(5.13) |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Оскільки, з термодинаміки, i CpT , |
де Cp Cv R |
(рівняння Майєра), де, у свою чергу,
Cv – питома теплоємність газу;
R – універсальна газова стала, то з (5.13) отримуємо
|
|
w |
2 w 2 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
C T C |
T |
; |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
p 1 |
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або ж остаточно |
|
|
|
|
|
|
w 2 |
w 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
C |
(T T ) . |
(5.14) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
p |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.14) – рівняння енергії рухомого газу, з якого випливає, що зміна питомої кінетичної енергії руху газу відбувається за рахунок зміни його ентальпії: якщо кінетична енер-
гія зростає, то ентальпія зменшується, і навпаки. Отже, для отримання потоку газу великої швидкості необхідно збільшувати повну внутрішню енергію газової системи.
Виведемо рівняння руху газу. Для цього рівняння (5.10) запишемо, розкривши диференціал добутку pV у вигляді
w2
dq du pdV Vdp d .
2
Але для адіабатного процесу
du pdV dq 0 .
Отже,
|
w 2 |
|
V d p , |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
звідки |
|
dp |
|
|
|
wdw |
|
(5.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
w |
dw |
1 dp |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(5.15 ) |
dx |
|
|
dx |
Рівняння (5.15) і (5.15 ) – це рівняння одновимірного усталеного руху газу (рівняння Ейлера). З них виходить, що в усталеному одновимірному адіабатному потоці при збільшенні швидкості потоку (dw 0) зменшується тиск (dp 0) і навпаки.
Інтегруючи (5.15), отримаємо
(5.16) – це рівняння руху одновимірного усталеного потоку газу без урахування витрат енергії (рівняння Бернуллі).
Таким чином, основні рівняння газової динаміки (рівняння витрат, рівняння енергії, рівняння руху) дають ене-
ргетичні й швидкісні характеристики газового потоку, які в подальшому використовуються при розгляді формування реактивної сили РД, а також при аналізі газового потоку, що виходить із сопла двигуна.
5.2. Характеристика газового потоку
5.2.1. Швидкість звуку в газі. Види газових потоків
Характеристика газового потоку – це математична залежність між параметрами p, , w і T рухомого газу та їх зв'язок з відповідними початковими загальмованими параметрами потоку.
Кількісно ці залежності суттєво визначаються видом газового потоку, критерієм якого є порівняння швидкості газу зі швидкістю звуку.
Швидкість звуку – це швидкість поширення слабких збурень у газовому середовищі. З акустики відомо, що швидкість звуку визначається відношенням приросту тиску до приросту густини:
Вважатимемо, що процес поширення слабких збу-
рень – адіабатний. Тоді
pV k c const ,
де k - показник адіабати.
1
З урахуванням, що V , отримаємо p Vck c k .
Продиференціюємо останній вираз за густиною :
|
dp |
|
|
k |
p |
|
|
kc k 1 |
kc |
|
|
|
|
|
|
|
k kpV . |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
Оскільки, з термодинаміки, |
|
|
|
|
|
pV |
|
RT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тоді |
dp |
|
|
|
RT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
. |
(5.18) |
|
|
|
d |
|
|
Підставивши останній вираз у початковий (5.17), оста-
точно отримаємо
де a - швидкість звуку; k - показник адіабати;
R - універсальна газова стала;
T - абсолютна температура;
- маса моля.
З(5.19) виходить, що швидкість звуку в газі залежить від фізичних властивостей газу та його температури. Зі зменшенням температури швидкість поширення звукових коливань зменшується.
Рух газів притаманний багатьом тепловим машинам,
утому числі і PД, а також дульним гальмам ствольних комплексів.
На рис. 5.3 показаний графік зміни швидкості газу і швидкості поширення звукових коливань під час руху газового потоку через сопловий апарат РД.
Зогляду на те, що під час руху по соплу газ охолоджується і водночас відбувається його розгін, можна знайти такий переріз, в якому швидкість газу дорівнювала б швидкості звуку. Цей переріз називається критичним хкр.
W
a
w
Рисунок 5.3 – Графіки швидкостей газу і звуку
Тому в критичному перерізі w = a, перед критичним перерізом – w<a, після критичного перерізу – w>a. У зв'язку з цим розрізняють три види газових потоків:
звуковий, якщо w = a ; дозвуковий, якщо w < a ; надзвуковий, якщо w > a.
Для порівняння потоків у газовій динаміці використовується коефіцієнт М, що називається числом Маха:
|
M |
w |
|
|
|
. |
(5.20) |
|
|
|
|
a |
|
Цей коефіцієнт визначає вид газового потоку: |
|
при w = a , M = 1 |
- потік звуковий; |
|
при w < a , M < 1 |
- потік дозвуковий; |
|
при w > a , M > 1 |
- потік надзвуковий. |
|
5.2.2. Критичні параметри газу
Унаслідок охолодження і розгону газу під час його руху через сопловий апарат швидкість потоку, як це було показано у попередньому пункті, стає порівняною зі швидкістю звуку. У критичному перерізі ці швидкості зрівнюються, w = а. Параметри газу у цьому перерізі називаються
критичними.
З рівняння енергії рухомого газу для х = хкр виходить:
566
w |
|
w2 |
2C |
(T T |
) . |
(5.21) |
кp |
|
1 |
p |
кp |
|
|
З урахуванням того, що
kB Cp k 1 ,
а також припустивши нульову початкову швидкість потоку, w1=0, (5.21) запишемо у вигляді
2kB
wкp k 1(T1 Tкp ) . (5.22)
Для критичної швидкості звуку (див. 5.19)
Для критичного перерізу wкр=акр. Прирівнявши праві частини (5.22) та (5.23), отримаємо
2
Tкp k 1(T1 Tкp ) .
Після перетворень одержимо
|
T1 |
|
k 1 |
. |
|
|
T |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
кp |
|
|
|
|
|
|
І остаточно: |
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
Tкp T1 |
|
(5.24) |
k 1 |
Формула (5.24) дає температуру в критичному пере-
різі.
Скориставшись рівнянням адіабати, можна знайти зна-
чення Vкр і ркр:
TV k 1 |
T V k 1 |
, |
1 1 |
кp кp |
|
|
|
|
T |
|
|
|
Vкp |
k 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
Tкp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
Vкp |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
2 |
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Vкp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V1 . |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
k |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
P |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кp |
|
|
k 1 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кp |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pђp |
|
|
|
k 1 |
P1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наприклад, порохові гази мають показник адіабати k =1,25. Яке має бути відношення Р1 і Ркр, щоб отримати надзвуковий потік?
Pкp |
|
2 |
1,25 |
|
1,25 1 |
|
|
|
|
|
0,59 . |
|
|
P1 |
|
|
|
|
|
|
1,25 1 |
|
|
Звідси виходить, що для розгону газу до надзвукової швидкості необхідно мати перепад тисків у камері РД і в
|
критичному перерізі |
P1 |
1,7 . |
|
P |
|
|
|
|
|
кp |
|
5.3.Тяга ракетного двигуна
5.3.1.Надзвукове сопло (сопло Лаваля) та його режим
роботи
РД у найпростішому випадку - це поєднання камери і сопла.
камера сопло
Рисунок 5.4 - Найпростіший ракетний двигун У камері РД внаслідок горіння палива утворюються
газоподібні продукти, які мають високу внутрішню енергію. Ця внутрішня енергія продуктів горіння палива перетворюється у кінетичну енергію витоку газів через сопло у навколишній простір.
З’ясуємо зв’язок між змінами площі поперечного розрізу каналу сопла і швидкістю руху газу в ньому.
З цією метою скористаємося рівнянням витрат газу
(5.5) у такому вигляді:
Sw c .
Прологарифмувавши це рівняння:
ln S ln w ln lnc
і продиференціювавши його, отримаємо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
|
dw |
d |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.27) |
|
|
|
S |
w |
|
Скористаємося рівняннями (5.15) і (5.17): |
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
wdw ; |
|
|
|
a2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
Почленно розділивши перше рівняння на друге, |
отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw . |
(5.28) |
|
|
|
|
a2 |
Підставимо це значення в рівняння (5.27):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
|
dw |
|
w |
dw 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
w |
a2 |
dS |
dw |
|
|
w2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
S |
w |
|
|
a2 |
w
Ураховуючи, що a = М (число Маха) і перенісши
другий член останнього рівняння в праву частину, отримаємо
На характер залежності змін площі поперечного перерізу сопла і величини швидкості потоку газу впливає знак множника ( М 2 1) у рівнянні (5.29).
|
w |
1) 0. |
Якщо |
|
М 1, то потік - дозвуковий і ( М 2 |
|
|
a |
|
В цьому випадку відносний приріст площі поперечного перерізу каналу і швидкості газу мають протилежні знаки.
