§2 Предел функции двух переменных

Рассмотрим плоскость и систему Oxyдекартовых прямоугольных координат на ней (можно рассматривать и другие системы координат).

Из аналитической геометрии знаем, что каждой упорядоченной паре чисел ( x, y )можно сопоставить единственную точкуMплоскости и наоборот, каждой точкеMплоскости соответствует единственная пара чисел.

Поэтому в дальнейшем, говоря о точке, мы будем часто подразумевать соответствующую ей пару чисел ( x, y )и наоборот.

Определение 1.2 Множество пар чисел ( x, y ), удовлетворяющих неравенствам, называется прямоугольником (открытым).

На плоскости он изобразится прямоугольником (рис. 1.2) со сторонами, параллельными осям координат, и с центром в точке M₀(x₀y₀).

Прямоугольник принято обозначать следующим символом:

Введем важное для дальнейшего изложения понятие: окрестность точки.

Определение 1.3 Прямоугольной δ-окрестностью (дельта-окрестностью) точкиM₀(x₀y₀)называется прямоугольник

с центром в точке M₀и с одинаковыми по длине сторонами2δ.

Определение 1.4 Круговой δ- окрестностью точкиM₀(x₀y₀)называется круг радиусаδс центром в точкеM₀, т. е. множество точекM(xy), координаты которых удовлетворяют неравенству:

Можно ввести понятия окрестностей и других видов, но для целей математического анализа технических задач, в основном, используются лишь прямоугольные и круговые окрестности.

Введём следующее понятие предела функции двух переменных.

Пусть функция z = f ( x, y )определена в некоторой областиζиM₀(x₀y₀)- точка, лежащая внутри или на границе этой области.

Определение 1.5Конечное число Aназываетсяпределом функции f ( x, y )при

и

если для любого положительного числа εможно найти такое положительное числоδ, что неравенство

выполняется для всех точек М(х,у)из областиζ, отличных отM₀(x₀y₀), координаты которых удовлетворяют неравенствам:

Смысл этого определения состоит в том, что значения функции f ( х, у )как угодно мало отличаются от числа А в точках достаточно малой окрестности точкиМ₀.

Здесь в основу определения положены прямоугольные окрестности М₀. Можно было бы рассматривать круговые окрестности точкиМ₀и тогда нужно было бы требовать выполнения неравенства

во всех точках М(х,у)областиζ, отличных отМ₀и удовлетворяющих условию:

где

- расстояние между точками МиМ₀.

Употребительны следующие обозначения предела:

Учитывая определение предела функции двух переменных, можно перенести основные теоремы о пределах для функций одной переменной на функции двух переменных.

Например, теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух функций.

§3 Непрерывность функции двух переменных

Пусть функция z = f ( x ,y )определена в точкеM₀(x₀y₀)и её окрестности.

Определение 1.6 Функция называется непрерывной в точке M₀(x₀y₀), если

Если функция f ( x ,y )непрерывна в точкеM₀(x₀y₀), то

Поскольку

То есть, если функция f ( x ,y )непрерывна в точкеM₀(x₀y₀), то бесконечно малым приращениям аргументов в этой области соответствует бесконечно малое приращениеΔzфункцииz.

Справедливо и обратное утверждение: если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна

Функцию, непрерывную в каждой точке области, называют непрерывной в области. Для непрерывных функций двух переменных, так же, как и для функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы основополагающие теоремы Вейерштрасса и Больцано - Коши.

Справка: Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 - 1897) - немецкий математик. Бернард Больцано (1781 - 1848) - чешский математик и философ. Огюстен Луи Коши (1789 - 1857) - французский математик, президент французской Академии наук (1844 - 1857).

Пример 1.4. Исследовать на непрерывность функцию

Решение

Данная функция определена при всех значениях переменных xиy, кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x²+y²непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет непрерывной всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху, исключая начало координат.

Пример 1.5. Исследовать на непрерывность функцию z=tg(x,y). Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величиныπ/2, т.е. исключая точки, где

При каждом фиксированном "k"уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функциейx и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).