§11 Примеры

Пример 1.

Исследовать на непрерывность функцию

Решение

Данная функция определена при всех значениях переменных xиy, кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x²+y²непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет непрерывной всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху, исключая начало координат.

Пример 2.

Исследовать на непрерывность функцию z=tg(x,y). Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величиныπ/2, т.е. исключая точки, где

При каждом фиксированном "k"уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функциейx и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).

Пример 3.

Найти частные производные функции u=z^-xy, z > 0.

Решение

Пример 4.

Показать, что функция

удовлетворяет тождеству:

Решение

– данное равенство справедливо для всех точек М(х;у;z), кроме точкиМ₀(a;b;c).

Рассмотрим функцию z=f(х,у) двух независимых переменных и установим геометрический смысл частных переменных z'_x=f'_x(х,у)иz'_y=f'_y(х,у).

В этом случае уравнение z=f(х,у)есть уравнение некоторой поверхности (рис.1.3). Проведем плоскостьy = const. В сечении этой плоскостью поверхностиz=f(х,у)получится некоторая линияl₁пересечения, вдоль которой изменяются лишь величиныхиz.

Частная производная z'_x(её геометрический смысл непосредственно следует из известного нам геометрического смысла производной функции одной переменной) численно равна тангенсу углаαнаклона, по отношению к осиОх, касательнойL₁к кривойl₁, получающейся в сечении поверхностиz=f(х,у)плоскостьюy = constв точкеМ(х,у,f(xy)): z'_x= tgα.

В сечении же поверхности z=f(х,у)плоскостьюх = constполучится линия пересеченияl₂, вдоль которой изменяются лишь величиныуиz. Тогда частная производнаяz'_yчисленно равна тангенсу углаβнаклона по отношению к осиОу, касательнойL₂к указанной линииl₂пересечения в точкеМ(х,у,f(xy)): z'_x= tgβ.

Пример 5.

Какой угол образует с осью Охкасательная к линии:

в точке М(2,4,5)?

Решение

Используем геометрический смысл частной производной по переменной х(при постоянному):

Пример 6.

Дано:

Найти

Решение

Согласно (1.31):

Ответ:

Пример 7.

Считая, что уравнение

неявно задаёт функцию

найти z'_x, z'_y.

Решение

Имеем:

поэтому согласно (1.37) получаем ответ.

Ответ.

Пример 8.

Исследовать на экстремум:

Решение

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки. 2.

по теореме 1.4 в точке – минимум. Причём

по теореме 1.4 в точке

- максимум. Причём

Пример 9.

Найти наибольшее Mи наименьшееmзначения функцииz = 4x2-2xy+y2-8xв замкнутой областиD, ограниченной:x = 0, y = 0, 4x+3y=12.

Решение

1. Построим область D(рис. 1.5) на плоскостиОху.

Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0).

Граница ГобластиDсостоит из трёх частей:

2. Найдём стационарные точки внутри области D:

3. Стационарные точки на границах l₁, l₂, l₃:

4. Вычисляем шесть значений:

Из полученных шести значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ:

Список литературы:

• Белько И. В., Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2002. – 140 с.

• Гусак А. А.. Математический анализ и дифференциальные уравне-ния.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.

• Гусак А. А.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

• Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

• Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.