§6 Частные производные сложных функций нескольких переменных
Очень часто при решении практических задач (например, в высшей геодезии или аналитической фотограмметрии) появляются сложные функции нескольких переменных, т. е. аргументы x, y, zодной функцииf (x,y,z)) сами являются функциями от новых переменныхU, V, W).
Так, например, бывает при переходе от неподвижной системы координат Oxyzв подвижную системуO0UVWи обратно. При этом важно знать все частные производные по "неподвижным" - "старым" и "подвижным" - "новым" переменным, так как эти частные производные обычно характеризуют положение объекта в этих системах координат, и, в частности, влияют на соответствие аэрофотоснимков реальному объекту. В таких случаях применяются следующие формулы:
То есть задана сложная функцияTтрех "новых" переменныхU, V, Wпосредством трёх "старых" переменныхx, y, z,тогда:
Замечание. Возможны вариации в количестве переменных. Например: если
то
В частности, еслиz = f(xy), y = y(x), то получаем так называемую формулу "полной производной":
Эта же формула "полной производной" в случае:
примет вид:
Возможны и иные вариации формул (1.27) - (1.32).
Замечание: формула "полной производной" используется в курсе физики, раздел "Гидродинамика" при выводе основополагающей системы уравнений движения жидкости.
Пример 1.10. Дано:
Найти
Решение
Согласно (1.31):
Ответ:
§7 Частные производные неявно заданной функции нескольких переменных
Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой переменной xназывается неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительноy:
Пример 1.11.
Уравнение
неявно задаёт две функции:
А уравнение
не задаёт никакой функции.
Теорема 1.2 (существования неявной функции).
Пусть функция z =f(х,у)и ее частные производныеf'xиf'yопределены и непрерывны в некоторой окрестностиUM0точкиM0(x0y0). Кроме того,f(x0,y0)=0иf'(x0,y0)≠0, тогда уравнение (1.33) определяет в окрестностиUM0неявную функциюy= y(x), непрерывную и дифференцируемую в некотором интервалеDс центром в точке x0, причемy( x0)=y0.
Без доказательства.
Из теоремы 1.2 следует, что на этом интервале D:
то- есть имеет место тождество по
Поэтому
где "полная" производная находится согласно (1.31)
То есть (1.35) дает формулу нахождения производной неявно заданной функции одной переменной x.
Аналогично определяется и неявная функция двух и более переменных.
Например, если в некоторой области VпространстваOxyzвыполняется уравнение:
то при некоторых условиях на функцию Fоно неявно задаёт функцию
При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся так:
Пример 1.12. Считая, что уравнение
неявно задаёт функцию
найти z'x, z'y.
Решение
Имеем:
поэтому согласно (1.37) получаем ответ.
Ответ.
§8 Частные производные второго и более высоких порядков
Определение 1.9 Частные производные второго порядка функции z=z(x,y)определяются так:
Их оказалось четыре. Причем, при некоторых условиях на функции z(x,y)выполняется равенство:
Замечание. Частные производные второго порядка могут обозначаться и так:
Определение 1.10 Частных производных третьего порядка - восемь (23):
и так далее.