4.2. Визначення коефіцієнтів емпірічної залежностіметодом середніх

Для визначення коефіцієнтів формули (3.3) використовуємо її лінійний вид . Значення змінних У= y іX=1/хберуться з табл.8. 8 пар значень розбиваємо на 2 групи і складаємо для кожної групи по 4 умовних рівняння У = a+bX:

2,4= a+b0,3333 3,3 = a+b 1,2500

2,6 = a+b0,5000 3,9 = a+b2,0000

2,7 = a + b 0,6667 7,0 = a+b5,0000

3,1 = a + b 1,0000 11,8= a+b10,000

Підсумувавши почленно кожну групу, одержимо систему нормальних рівнянь:

10,8 = 4 a+b2,5

26 = 4 a+b18,25

Розв'язавши систему, знаходимо значення коефіцієнтів формули, приведеної до лінійного виду:

a = 2,0968;

b = 0,9651.

Переходячи до вихідного виду нелінійної залежності, одержуємо остаточний вид емпіричної формули:

y = 2,0968 + 0,9651 / x

Порівняння значень іу, обчислених по цій формулі , із дослідними даними y_i приведене в табл.13.

Таблиця 13

	x	y		у –	(у –)2
1	3,0	2,4	2,4185	-0,0185	0,000342
2	1,5	2,7	2,7402	-0,0402	0,001616
3	0,5	3,9	4,0270	-0,1270	0,016129
4	0,2	7,0	6,9223	0,0777	0,006037
5	1,0	3,1	3,0619	0,0381	0,001452
6	2,0	2,6	2,5794	0,0206	0,000424
7	0,8	3,3	3,3032	-0,0032	0,000010
8	0,1	11,8	11,7478	0,0522	0,002725
					0,02874

Як видно зі співставлення суми квадратів відхилень (табл. 9, 12 і 13), менша похибка забезпечується при використанні методу найменших квадратів у порівнянні з методaми обраних точок і середніх.

5. ІнтерпоЛяція функцій

5.1. Постановка задачі інтерполяції

Інтерполяцію можна розглядати як процес визначення для даного аргументу хзначення функціїу = f(х)по її декількох відомих значеннях. При цьому розрізняютьінтерполяцію у вузькому смислі, колихзнаходиться міжx₀ іx_n, іекстраполяцію, колихзнаходиться поза відрізком інтерполяції [x₀ ,x_n].

Задача інтерполяції полягає в наступному. На відрізку [а, b] задані n+1 точки х₀, х₁, ..., х_n, що називаютьсявузлами інтерполяції, і значення деякої функціїf(x)у цих точках. Потрібно побудувати функціюР_n(х)(інтерполюючу функцію), так щоб інтерполююча функція Р_n(х)приймала ті ж значення, що і функціяf(х), яку ми визначаємо (що інтерполюється), для вузлових значень аргументух₀, х₁, ... , х_n. Геометрично це означає, що потрібно знайти кривуy= P_n(х)деякого визначеного типу, що проходить через задану систему точокМ_i (х_i,у_i) (i=0,1,2,..,n). Взагалі залежність, якої підпорядковується функція, може бути апроксимована багаточленом ступеня n:

Рn(x) = y = a0+ a1 · x + a2 · x2+ ... + an · xn.

(5.1)