Полный дифференциал функции нескольких переменных

Если функция дифференцируема в точке , то, как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

.

Сумма первых двух слагаемых есть главная линейная (относительно и ) часть приращения функции.

Определение. Если функция дифференцируема в точке , то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается

.

Приращения независимых переменных и называют дифференциалами независимых переменных и и обозначают соответственно и . Тогда полный дифференциал функции можно записать в виде:

или в более краткой форме: .

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Решение. для .

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Решение. Найдем частные производные функции:

,

.

Следовательно,

для .

Определение полного дифференциала легко обобщается на случай функции любого числа переменных. Например, полным дифференциалом функции трех переменных в точке называется главная, линейная относительно приращений всех аргументов, часть полного приращения функции, т. е.

.

Из определения дифференциала функции нескольких переменных следует, что для функции можно полагать , а для функции , зависящей от трех переменных , для , .

Эти соотношения позволяют получить формулы для приближенного вычисления значений функции:

,

.

И в общем случае,

.

Полный дифференциал чаще используется для оценки погрешности вычислений по формулам.

Например, если задана дифференцируемая функция переменных . Тогда абсолютная погрешность вычислений по этой формуле оценивается величиной

,

а относительная погрешность ― величиной .

Дифференцирование сложной функции

Пусть — функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных и : , . Тогда — сложная функция двух независимых переменных и , а переменные и — промежуточные аргументы.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , а функции и дифференцируемы в точке D , то сложная функция , где ; , дифференцируема в точке D , причем ее частные производные вычисляются по формулам:

, .

Доказательство. Докажем первую из формул. В точке переменной дадим приращение , сохранив постоянной. Тогда функции и получат частные приращения , , а функция — полное приращение (так как и — приращения по обоим промежуточным аргументам). Функция дифференцируема в точке , поэтому ее приращение в этой точке представимо в виде

.

Разделим данное равенство на :

(1)

Если , то и в силу непрерывности функций и ,

, .

Переходя к пределу в равенстве (1) с учетом того, что

, имеем

.

Аналогично

.

Теорема доказана.

Рассмотрим функцию трех переменных , каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных , , : , , . Тогда функция является сложной функцией трех независимых переменных , , , а переменные , , называются промежуточными. Частные производные этой функции вычисляются по формулам:

,

,

.

Пример. Вычислить частные производные сложной функции двух переменных , где ; .

Решение. Найдем частные производные

, , , , , . Следовательно,

.

Найдем теперь полный дифференциал сложной функции в точке . Подставим выражения и в формулу полного дифференциала сложной функции двух переменных

. (2)

Получим

или

Так как , , то

. (3)

Сравнивая формулы (2) и (3), замечаем, что форма записи полного дифференциала функции двух переменных не зависит от того, являются ли и независимыми переменными, или функциями других независимых переменных. В этом и заключается инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных. (Напомним, что первый дифференциал функции одной переменной также обладает этим свойством.)