Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Геометрическим образом (графиком) функции двух независимых переменных в пространстве R³ является некоторая поверхность Q. Выберем на ней точку .

Определение. Касательной плоскостью к поверхности Q в данной точке называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

.

Если уравнение поверхности Q задано неявной функцией

, то:

, .

Подставим значения частных производных в уравнение касательной:

.

Следовательно, уравнение касательной плоскости к поверхности в точке в случае неявного задания функции имеет вид

Определение. Точка, в которой или хотя бы одна из этих производных не существует, называется особой точкой поверхности. В такой точке поверхность может не иметь касательной.

Определение. Нормалью к поверхности Q в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

Запишем уравнения нормали к поверхности в точке , пользуясь условием перпендикулярности прямой и плоскости:

Если поверхность Q задана неявно функцией то уравнения нормали принимают вид

.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение. Уравнение поверхности задано явной функцией. Вычислим частные производные функции в точке :

, ,

, .

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид

.

Найдем уравнения нормали:

Пример. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение. Уравнение поверхности задано неявно. Вычислим частные производные функции в точке

, , ,

, , .

Следовательно, уравнение касательной плоскости имеет вид

.

Находим уравнения нормали

.

Производная по направлению

Рассмотрим в области D функцию и точку . Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого , и . Ha векторе , на расстоянии от его начала, рассмотрим точку .

Длина вектора равна: .

Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D. В этом случае ее полное приращение представимо в виде:

, (1)

где , и стремятся к нулю при . Разделим все члены равенства (1) на :

.

Очевидно, что , , .

Следовательно, равенство (1) можно переписать так:

. (2)

Определение. Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т. е. .

Таким образом, переходя к пределу в равенстве (2), получим:

.

Величина характеризует скорость изменения функции в точке по выбранному направлению . Если , то функция в точке по направлению возрастает, в противном случае – убывает.

Отметим, что для функции двух переменных производная по направлению будет равна

.

Пример. Найти производную функции в точке в направлении вектора .

Решение. Найдем направляющие косинусы вектора :

, , .

Частные производные , ,

в точке будут , , .

Следовательно, .

Пример. Найти производную функции в точке по направлению вектора , если точка .

Решение. Вектор имеет координаты: , длина вектора равна: .

Найдем направляющие косинусы вектора :

, .

Частные производные , .

в точке будут , .

Следовательно, .