Дифференцирование функции, заданной неявно

Известно, что функция может быть задана неявно уравнением, связывающим переменные и :

.

Например, уравнение определяет функцию , при этом D E R.

Уравнение выполняется только при и задает точку . Уравнение не определяет никакой функции на R, так как оно не имеет действительных корней, а значит, нельзя рассматривать как функцию от . Итак, уравнение вида не всегда задает функцию .

Пусть уравнение определяет как некоторую функцию от . Если в это уравнение подставить вместо у функцию , то получим тождество

.

Придадим приращение , тогда значению аргумента будет соответствовать значение функции , но с другой стороны

.

Разность также равна нулю:

.

Как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

.

Разделим последнее равенство на :

.

Откуда

.

Перейдя к пределу, получим формулу вычисления производной функции, заданной неявно:

.

Аналогично можно вычислить частные производные неявной функции переменных по всем ее аргументам.

Например, для функции справедливо:

, .

Пример. Вычислить производную неявной функции, заданной уравнением .

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через .

, .

Следовательно,

.

Пример. Вычислить производную неявной функции, заданной уравнением .

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через .

, .

Следовательно,

.

Пример. Найти частные производные неявной функции , заданной уравнением .

Решение. , , . Следовательно,

,

.

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные высших порядков. Пусть функция имеет непрерывные частные производные и в точке D( ). Эти производные, в свою очередь, являются функциями двух переменных и . Будем называть и частными производными первого порядка.

Частные производные по и по от частных производных первого порядка, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции в точке и обозначаются

, , ,

(если дифференцируется последовательно два раза по );

, , ,

(если дифференцируется сначала по , а затем по );

, , ,

(если дифференцируется сначала по , а затем по );

, , ,

(если дифференцируется последовательно два раза по ).

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по . В результате получим восемь частных производных третьего порядка:

, , , , , , , .

Аналогично, частная производная от производной -го порядка называется частной производной -го порядка и обозначается

, , и т. д.

Частные производные высших порядков функции , взятые по различным переменным, например, , , , и т.д., называются смешанными производными.

Среди частных производных второго порядка функции имеются две смешанные производные и .

Возникает вопрос: зависит ли результат дифференцирования функций нескольких переменных от порядка дифференцирования по разным переменным.

Справедлива следующая

Теорема. Если функция и ее частные производные , , и определены и непрерывны в точке и в некоторой ее окрестности, то .

Замечание. Данная теорема, а также все приведенные выше рассуждения имеют место и для функции любого числа переменных.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

.

Решение. Функция определена и непрерывна на R² . Найдем частные производные первого порядка

, .

Они определены и непрерывны на R². Найдем частные производные второго порядка

, ,

.

Дифференциалы высших порядков. Пусть — функция двух независимых переменных и , дифференцируемая в области D( ). Придавая и приращения , , в любой точке D можно найти полный дифференциал

,

который называют дифференциалом первого порядка функции .

Дифференциал от дифференциала первого порядка в любой точке D , если он существует, называется дифференциалом второго порядка и обозначается

.

Найдем аналитическое выражение для , считая и по­стоянными:

.

Поступая аналогично, получаем аналитическое выражение для дифференциала третьего порядка :

.

Замечание. Приведенные выше формулы дифференциалов не обладают свойствами инвариантности для сложных функций.

Пример. Найти и , если .

Решение. Используем формулу для вычисления полного дифференциала .

, .

Для определения вычислим предварительно частные производные второго порядка:

, ,

.