УМП-Эконометрика. О.А. Алексеева

возможного преувеличения тесноты связи, используется скорректированный индекс (коэффициент) множественной корреляции.

Скорректированный индекс множественной корреляции содержит поправку на число степеней свободы, а именно остаточная сумма квадратов

y yx1x2 ...xm 2 делится на число степеней свободы остаточной вариации

n m 1 , а общая сумма квадратов отклонений y y 2 на число степеней свободы в целом по совокупности n 1 .

Формула скорректированного индекса множественной детерминации

имеет вид:

скорректированного индекса детерминации можно представить в виде:

Как было показано выше, ранжирование факторов, участвующих во

множественной линейной регрессии, может быть проведено через стандартизованные коэффициенты регрессии ( -коэффициенты). Эта же цель может быть достигнута с помощью частных коэффициентов корреляции

(для линейных связей). Кроме того, частные показатели корреляции широко используются при решении проблемы отбора факторов: целесообразность включения того или иного фактора в модель можно доказать величиной показателя частной корреляции.

51

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании

(устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Показатели частной корреляции представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.

В общем виде при наличии m факторов для уравнения

y a b1x1 b2 x2 ... bm xm

коэффициент частной корреляции первого порядка. Соответственно коэффициенты парной корреляции называются коэффициентами нулевого порядка. Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно определить через коэффициенты частной корреляции более низких порядков по рекуррентной формуле:

52

При двух факторах данная формула примет вид:

Для уравнения регрессии с тремя факторами частные коэффициенты корреляции второго порядка определяются на основе частных

каждый из которых определяется по рекуррентной формуле. Например, при

Рассчитанные по рекуррентной формуле частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до +1, а по формулам через множественные коэффициенты детерминации – от 0 до 1. Сравнение их друг с другом позволяет ранжировать факторы по тесноте их связи с результатом.

Частные коэффициенты корреляции дают меру тесноты связи каждого фактора с результатом в чистом виде. Если из стандартизованного уравнения

порядок факторов определяется и по соотношению частных коэффициентов

корреляции, ryx1 x2x3 ryx2 x1x3 ryx3 x1x2 .

53

В эконометрике частные коэффициенты корреляции обычно не имеют самостоятельного значения. Их используют на стадии формирования модели.

Так, строя многофакторную модель, на первом шаге определяется уравнение регрессии с полным набором факторов и рассчитывается матрица частных коэффициентов корреляции. На втором шаге отбирается фактор с наименьшей и несущественной по t -критерию Стьюдента величиной показателя частной корреляции. Исключив его из модели, строится новое уравнение регрессии. Процедура продолжается до тех пор, пока не окажется,

что все частные коэффициенты корреляции существенно отличаются от нуля.

Если исключен несущественный фактор, то множественные коэффициенты детерминации на двух смежных шагах построения регрессионной модели

Из приведенных выше формул частных коэффициентов корреляции видна связь этих показателей с совокупным коэффициентом корреляции.

Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго и более высокого порядка), можно определить совокупный коэффициент корреляции по формуле:

В частности, для двухфакторного уравнения формула (2.21) принимает

вид:

При полной зависимости результативного признака от исследуемых факторов коэффициент совокупного их влияния равен единице. Из единицы вычитается доля остаточной вариации результативного признака 1 r2 ,

обусловленная последовательно включенными в анализ факторами. В

результате подкоренное выражение характеризует совокупное действие всех исследуемых факторов.

54

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F -критерия Фишера:

остаточная сумма квадратов на одну степень свободы; R2 – коэффициент

(индекс) множественной детерминации; m – число параметров при переменных x (в линейной регрессии совпадает с числом включенных в модель факторов); n – число наблюдений.

Оценивается значимость не только уравнения в целом, но и фактора,

дополнительно включенного в регрессионную модель. Необходимость такой

оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может

существенно увеличивать долю объясненной вариации результативного

признака. Кроме того, при наличии в модели нескольких факторов они могут

вводиться в модель в разной последовательности. Ввиду корреляции между

факторами значимость одного и того же фактора может быть разной в

зависимости от последовательности его введения в модель. Мерой для

оценки включения фактора в модель служит частный F -критерий, т.е. Fxi .

Частный F -критерий построен на сравнении прироста факторной

дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно включенного фактора,

с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессионной модели

55

включения в модель фактора xi , n – число наблюдений, m – число параметров в модели (без свободного члена).

Фактическое значение частного F -критерия сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы: 1 и n m 1. Если фактическое значение Fxi превышает Fтабл , k1, k2 , то дополнительное включение фактора xi в модель статистически оправданно и коэффициент чистой регрессии bi при факторе xi статистически значим. Если же

фактическое значение Fxi меньше табличного, то дополнительное включение в модель фактора xi не увеличивает существенно долю объясненной вариации признака y , следовательно, нецелесообразно его включение в

модель; коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.

Для двухфакторного уравнения частные

коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий

этом случае, как и в парной регрессии, для каждого фактора используется формула:

56

факторами уравнения множественной регрессии; n m 1 – число степеней

свободы для остаточной суммы квадратов отклонений.

Как видим, чтобы воспользоваться данной формулой, необходимы матрица межфакторной корреляции и расчет по ней соответствующих

Взаимосвязь показателей частного коэффициента корреляции, частного

F -критерия и t -критерия Стьюдента для коэффициентов чистой регрессии может использоваться в процедуре отбора факторов. Отсев факторов при построении уравнения регрессии методом исключения практически можно

57

осуществлять не только по частным коэффициентам корреляции, исключая на каждом шаге фактор с наименьшим незначимым значением частного

коэффициента корреляции, но и по величинам tbi и Fxi . Частный F -

критерий широко используется и при построении модели методом включения переменных и шаговым регрессионным методом.

Пример. Оценим качество уравнения, полученного в предыдущем

параграфе. Сначала найдем значения парных коэффициентов корреляции:

Значения парных коэффициентов корреляции указывают на достаточно тесную связь сменной добычи угля на одного рабочего y с мощностью пласта x1 и на умеренную связь с уровнем механизации работ x2 . В то же время межфакторная связь rx1x2 не очень сильная ( rx1x2 0, 49 0,7), что

говорит о том, что оба фактора являются информативными, т.е. и x1 , и x2

необходимо включить в модель.

Теперь рассчитаем совокупный коэффициент корреляции Ryx1x2 . Для этого сначала найдем определитель матрицы парных коэффициентов корреляции:

и определитель матрицы межфакторной корреляции:

58

Тогда коэффициент множественной корреляции по формуле (2.16):

в уравнении признаков, что указывает на весьма тесную связь признаков с результатом.

Примерно тот же результат (различия связаны с ошибками округлений)

для коэффициента множественной регрессии получим, если воспользуемся формулами (2.12) и (2.15):

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

указывает на умеренную связь между результатом и признаками. Это связано

с малым количеством наблюдений.

Теперь найдем частные коэффициенты корреляции по формулам

(2.18а) и (2.19а):

59

влияние на результат, чем признак x2 .

Оценим надежность уравнения регрессии в целом и показателя связи с помощью F -критерия Фишера. Фактическое значение F -критерия (2.22)

60