УМП-Эконометрика. О.А. Алексеева

порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни yt и

тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент,

рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, когда ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации. Этот метод легко реализуется при компьютерной обработке данных.

3.3. Моделирование сезонных колебаний

Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и

построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T ), сезонной ( S ) и случайной ( E )

компонент.

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (T ), сезонной ( S ) и случайной ( E )

компонент.

81

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов.

Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T , S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1)Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2)Расчет значений сезонной компоненты S .

3)Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T E ) в аддитивной или (T E ) в

мультипликативной модели.

4)Аналитическое выравнивание уровней (T E ) или (T E ) и

расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.

5)Расчет полученных по модели значений (T E ) или (T E ).

6)Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Методику построения каждой из моделей рассмотрим на примерах.

Пример. Построение аддитивной модели временного ряда. Обратимся к данным об объеме правонарушений на таможне за четыре года,

представленным в табл. 4.1.

Было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к. количество правонарушений в первый-

82

второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1.1.Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 4.5).

1.2.Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 4.5). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3.Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 4.5).

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними

(гр. 6 табл. 4.5). Используем эти оценки для расчета значений сезонной

83

компоненты S (табл. 4.6). Для этого найдем средние за каждый квартал (по

всем годам) оценки сезонной компоненты Si . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Корректирующий коэффициент: k 11,1254 2,781.

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты (

Si Si k ) и заносим полученные данные в таблицу 4.6.

Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

292,448 266,781 268,636 290,593 0.

Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины

T E Y S (гр. 4 табл. 4.7). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

84

T 671,777 0,9233 t .

Получим

T17 671,777 0,9233 17 687, 473;

T18 671,777 0,9233 18 688,396.

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны:

S1 292, 448 и S2 266,781. Таким образом,

F17 T17 S1 687, 473 292,448 395;

F18 T18 S2 688,396 266,781 422.

Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 395 и 422

правонарушений соответственно.

Построение мультипликативной модели рассмотрим на данных предыдущего примера.

Шаг 1. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели.

87

Продолжение таблицы 4.10

Шаг 4. Определим компоненту T в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни T E . В

результате получим уравнение тренда:

T 651,6364 3,2809 t .

Подставляя в это уравнение значения t 1, 2, ..., 16, найдем уровни T

для каждого момента времени (гр. 5 табл. 4.10).

Шаг 5. Найдем уровни ряда, умножив значения T на соответствующие значения сезонной компоненты (гр. 6 табл. 4.10). На одном графике откладываем фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по мультипликативной модели.

90