II часть Примеры решения задач

Задача 1. Необходимо сжать воздух от объема 10^–2 м³ до объема 2 ^. 10^–3 м³. Как выгоднее сжимать: адиабатически или изотермически?

Д ано: Решение

V

Для решения задачи необходимо сравнить работы адиабатического и изотермического сжатия.

Задачу можно решить: 1) качественно, построив графики адиабатического и изотермического сжатия; 2) аналитически, вычислив отношение работ

₁ = 10^–2 м³

V₂ = 2 ^. 10^–3 м³

1. Построим графики изотермического и адиабатического сжатия в координатах p, V.

Начальное состояние воздуха определяется параметрами p₁ V₁T_1. Объем V₂ для обоих процессов является конечным и задан в условии задачи.

Уравнение адиабаты .

Уравнение изотермы .

Показатель адиабаты где i = 5, так как воздух состоит в основном из двухатомных газов;  = 1,4. Отсюда следует, что адиабата круче изотермы; при сжатии давление в адиабатическом процессе изменяется на большую величину, т. е. р₂^I > p₂ (см. рис. 21.3).

Работа в любом процессе может быть найдена как Интеграл графически изображается и может быть вычислен как площадь криволинейной трапеции, образованной кривой и ординатами V₁ и V₂. Из графика видно, что площадь, ограниченная адиабатой больше, чем площадь под изотермой. Следовательно, работа адиабатического сжатия больше, чем изотермического. Поскольку работу при сжатии газа совершают внешние силы, то сжимать газ выгоднее изотермически.

2. Аналитическое решение задачи позволяет найти численное отношение работ А₁ и А₂ (А₁ – работа изотермического сжатия; А₂ – работа адиабатического сжатия):

Вычислим отношение:

.

Ответ: сжимать выгоднее изотермически.

Задача 2. Рассчитать, во сколько раз изменится число ударов, испытываемых 1 см² стенки сосуда за 1 с при двукратном увеличении объема двухатомного газа в следующих случаях: 1) изобарное расширение; 2) изотермическое расширение; 3) адиабатическое расширение.

Дано: Решение

1

Число ударов молекул в единичную площадку в единицу времени

. (1)

) р = const

2) Т = const

3) Q = 0

Каждая из N молекул, ударившихся о стенку, действует на стенку с силой

,

где m_i – масса молекулы, V_i – ее скорость, (m_i V_i) – изменение импульса молекулы при абсолютно упругом ударе. Молекула изменит при этом только направление скорости:

(m_i V_i) =  2 m_i V_i.

Сила удара молекулы о стенку будет равна

,

при ударе N молекул сумма сил

Давление газа на стенки сосуда

, , р = 2 m_i V_i Z.

Число ударов

. (2)

Будем считать массы молекул одинаковыми и скорость равной средней квадратичной.

Тогда

. (3)