Д ано: Решение

т

Максимальную силу, действующую на материальную точку, можно найти двумя способами:

1) По второму закону Ньютона F = т а, тогда

; (1)

= 10 г = 0,01 кг

м

 ? W  ?

.

Ускорение максимально при , тогда , подставляя в формулу (1) получаем Н.

2) Сила, вызывающая колебания точки по закону Гука F =  k x, тогда максимальная сила , где А  амплитуда колебаний.

Дифференциальное уравнение гармонического колебания:

,

где , откуда .

Решение дифференциального уравнения: . Сравнивая с данным в задаче уравнением, находим c^-1.

Тогда

Н.

Полная энергия колеблющейся точки равна сумме кинетической и потенциальной энергии и является постоянной величиной:

Дж.

Ответ: Н; Дж.

Задача 4. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения двух одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями: см и см. Написать уравнение результирующего колебания. Построить векторную диаграмму сложения амплитуд.

Д ано: Решение Смещение материальной точки при гармоническом колебании м

м

А  ?

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду: м и м. Из сравнения уравнений находим для первого колебания: амплитуда = 0,01 м, начальная фаза рад = 30⁰; для второго колебания: = 0,02 м, рад = 90⁰. Частота колебаний одинакова, следовательно, и циклическая частота результирующего колебания тоже равна  . Для определения амплитуды результирующего колебания построим векторные диаграммы колебаний.

По теореме косинусов:

;

м.

Тангенс начальной фазы результирующего колебания определим из рис. 23.5.

;

= 2,88.

Откуда начальная фаза рад.

Уравнение смещения результирующего колебания

м.

Ответ: А = 0,026 м; рад.

Задача 5. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

. Найти коэффициент затухания, циклическую частоту, период, время релаксации, логарифмический декремент затухания.

Д ано: Решение

Приведем данное уравнение к стандартному

  ?   ? Т  ? виду, и сравним с заданным уравнением

  ?   ?

и .

Из сравнения находим:  = 0,25 с^-1; , = 4 .

Частота  затухающих колебаний

с^-1  4 с^-1; .

Период затухающих колебаний можно считать равным периоду собственных колебаний

с.

Логарифмический декремент затухания .

Время релаксации

с.

Ответ:  = 0,25 с^-1;  = 3,99 с^-1; Т = 1,57 с;  = 4 с;  = 0,4.

Задача 6. Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания  = 1,6, начальная фаза рад. Смещение колеблющейся точки в момент времени = 1 с равно = 4,5 см. Написать уравнение смещения в тригонометрическом виде.