Д ано: Решение

Т

Уравнение смещения затухающих колебаний в тригонометрическом виде

.

Неизвестны коэффициент затухания  и амплитуда .

= 4 с

 = 1,6

рад

t = 1 с

= 4,5 см = 0,045 м

x(t)  ?

Коэффициент затухания  находим через логарифмический декремент затухания  =  Т, откуда ; с^-1.

Циклическая частота колебаний связана с периодом зависимостью ; .

Для нахождения максимальной амплитуды запишем уравнение смещения в момент времени , используя найденные значения величин. Получаем

откуда

м.

Ответ: уравнение смещения имеет вид м.

Задача 7. Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника длиной l = 1 м, если за 1 минуту амплитуда колебаний уменьшилась в два раза?

Д ано: Решение

Логарифмический декремент затухания

l = 1 м , (1)

где   коэффициент затухания, Т – период колебаний.

= 1 мин = 60 с

  ?

Для математического маятника

, (2)

где l – длина маятника, g – ускорение свободного падения.

Амплитуда затухающих колебаний с течением времени изменяется по закону . Тогда .

Откуда

ln ; так как = 2, то

ln 2 = β t₁ ; . (3)

Подставив формулы (2) и (3) в (1), получим

;

Ответ:  = 0,023.

Задача 8. Груз массой т = 0,5 кг, подвешенный на пружине, коэффициент упругости которой k = 50 , помещен в масло. Коэффициент трения в масле r = 0,5 . На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону Н. 1) При какой частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний будет максимальна? 2) Чему равна максимальная амплитуда? 3) Какова амплитуда вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое больше резонансной?

Д ано: Решение

т

Максимальной амплитуда колебаний будет при резонансе, т.е. при условии или, если то .

Сравним величины  и .

Собственная частота колебаний груза на пружине

= 0,5 кг

k = 50

r = 0,5

Н

; с^-1.

Коэффициент затухания с^-1.

Можно считать и тогда с^-1.

Амплитуда вынужденных колебаний

;

при резонансе , тогда

м.

Если то

м.

Ответ:  = 10 с^-1; = 0,4 м; = 0,013 м.

Задача 9. Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси х с периодом Т = 10 с и амплитудой А = 5 см. За какое время, считая от начала движения, она пройдет расстояние равное: 1) половине амплитуды, 2) амплитуде. Задачу решить при условии, что начальная фаза 1) и 2) рад.

Д ано: Решение

Т

Уравнение смещения при гармоническом колебании

(1)

1. Если , то уравнение (1) примет вид

= 10 с

А = 5 см = 0,05 м

 ?  ?

,

при t = 0 х = А, т.е. точка начинает движение из крайнего положения, скорость точки равна нулю. С течением времени координата уменьшается:

, (2)

 по условию, тогда , так как , то , откуда и , с.

Подставляя в уравнение (2) , получим , т.е. . Смещение равно нулю, значит точка находится в положении равновесия

, т.е. и , с.

Таким образом, если материальная точка движется из крайнего положения к положению равновесия, то первую половину амплитуды она проходит с меньшей скоростью, скорость увеличивается и при прохождении положения равновесия достигает максимального значения.

2) Начальная фаза , уравнение (1) принимает вид

, (3)

при t = 0 , т.е. точка начинает движение из положения равновесия. Подставляя в уравнение (3) значение , получим , откуда , следовательно , откуда и с.

Подставляя в уравнение (3) значение , получим , откуда следовательно, , откуда с.

Итак, если материальная точка движется из положения равновесия, то первую половину амплитуды она проходит быстрее, чем вторую, т.е. скорость уменьшается, и в крайнем положении скорость равна нулю. Двигаясь из любого положения, смещение равное амплитуде, точка проходит за время, равное периода.

Ответ: 1) = 1,67 с, с; 2) = 0,83 с, с.