Posibnuk
.pdf
Розглянувши інтеграл j1 видно, що його знаходження зводиться до знаходження інтегралу j2.
Проміжні дії мають вигляд:
>restart:
with(student): Int(ln(3*x)^2+5*ln(3*x),x=1..8);
>changevar(3*x=t,%);
>j:=expand(%);
>j1:=op(1,j);
>j1:=simplify(intparts(j1,ln(t)^2));
>j2:=op(2,j);
>j1+j2;
113
>intparts(%,ln(t));
>value(%);
Якщо зробити деякі логарифмічні перетворення, то видно співпадіння з результатом, який отриманий командою int.
Нагадаємо, команда restart скасовує всі попередні присвоювання змінним.
Приклад 7. Обчислити інтеграл 10∫arctg 
3x − 4dx .
2
Хід розв’язування
методом комп’ютерних символьних обчислень
Кінцева відповідь:
> int(arctan(sqrt(3*x-4)),x=2..10);
При розв’язуванні даного прикладу використовуємо метод заміни змінної та метод інтегрування за частинами.
Проміжні дії:
>with(student): Int(arctan(sqrt(3*x-4)),x=2..10);
>changevar(sqrt(3*x-4)=t,%);
114
>intparts(%,arctan(t));
>j1:=op(1,%)+op(2,%);
>j2:=op(3,%%);
>-convert(integrand(j2),parfrac,t);
>Int(%,t=sqrt(2)..sqrt(26));
>j1+expand(%);
>value(%);
Оператор convert(integrand(j2),parfrac,t) розкладає дробово-раціональний підінтегральний вираз на елементарні дроби.
115
Контрольні завдання 1. Знайти невизначені інтеграли, використовуючи формулу інтегрування частинами.
1. |
а). ∫(2x −1)e2 x dx , |
б). ∫(x2 − 2x +1)cos x dx , |
|
в). |
∫x3 cos(x2 )dx , |
2. |
а). ∫(3 − x)sin 3x dx , |
б). ∫(x2 − 4x +1)e2x−5 dx , |
|
в). ∫4x3 sin x2 dx , |
|
3. |
а). ∫(2 x +1)cos(−2x + 4) dx , |
б). |
|
в). ∫−3x3 5x2 dx , |
|
4. |
а). ∫(x + 2) 2x dx , |
б). |
|
в). ∫x3 ex2 dx , |
|
∫
∫
(−x2 +5x −7) 3x dx ,
(x2 + 4x − 2)sin 3x dx ,
5. |
а). ∫(1−3 x) 4x dx , |
б). ∫(x2 − 4x +8)cos(2x +1)dx , |
|
в). ∫2x5 cos x3 dx , |
|
6. |
а). ∫(3 − 2x) cos 4x dx , |
б). ∫(1 − x + 4x2 )ex dx , |
|
в). ∫−6x3 2x2 dx , |
|
7. |
а). ∫(3x +1) e4x dx , |
б). ∫(8 −5x − x2 )sin x dx , |
|
в). |
∫x5 sin x3 dx , |
8. |
а). ∫(−3x +1) 52x dx , |
б). ∫(4 + x − 4x2 )cos x dx , |
|
в). ∫x7 ex4 dx , |
|
9. |
а). ∫(x + 3) 52x dx , |
б). ∫(7x2 − x + 2)sin 5x dx , |
|
в). |
∫(x +1)5 sin( x +1)3 dx , |
10. |
а). ∫(1+3x)cos 2x dx , |
б). ∫x2e1−4x dx , |
|
|
116 |
|
в). ∫(x −3)7 2(x−3)4 dx , |
|
11. |
а). ∫(2 −5x)sin x dx , |
б). ∫(x2 − 2x + 3) cos 2xdx , |
|
в). ∫(x − 4)7 sin(x − 4)4 dx , |
|
12. |
а). ∫xe5x+4dx , |
б). ∫(1 − x + 2x2 )cos2x dx , |
|
в). ∫(x + 2)7 cos(x + 2)4 dx , |
|
13. |
а). ∫(2 +3x)sin 2x dx , |
б). ∫(5x − x2 )e3x dx , |
|
в). ∫(x − 2)7 e(x−2)4 dx , |
|
14. |
а). ∫(7x + 3) 4x dx , |
б). ∫x2 cos(5x + 4)dx , |
|
в). ∫(2x −1)7 sin(2x −1)4 dx , |
|
15. |
а). ∫(2x + 4) 7x−1 dx , |
б). ∫(5 −3x + x2 )sin 4x dx , |
|
в). ∫(x + 3)3 cos(x + 3)2 dx , |
|
16. |
а). ∫(2 + 5x) 3x dx , |
б). ∫(x2 − 2x + 7)cos5x dx , |
|
в). |
∫x13 cos(x7 )dx , |
17. |
а). ∫(4x + 5)e3x dx , |
б). ∫(x2 + 5x −1)cos x dx , |
|
в). |
∫(5x +1)3 cos(5x +1)2 dx , |
18. |
а). ∫(5 + 2x) 6x+2 dx , |
б). ∫(3 −5x + x2 )sin 2x dx , |
|
в). |
∫(2x −8)3 sin(2x −8)2 dx , |
19. |
а). ∫(1 −5x)e2x dx , |
б). ∫(x2 + 2x −3)cos6x dx , |
|
в). |
∫(2x +1)3 cos(2x +1)2 dx , |
20. |
а). ∫(2x + 4) 72x dx , |
б). ∫(x2 + 2x −3)sin 7x dx , |
|
в). |
∫(x +1)5 sin(x +1)2 dx , |
117
21. |
а). ∫(2 − 4x)cos3x dx , |
б). ∫(1 − 4x − 4 x2 )ex dx , |
|
|
в). ∫(2x +1)3 e(2 x+1)2 dx , |
|
|
22. |
а). ∫(2 −3x)sin 5x dx , |
б). ∫(1 + 7x − 4 x2 )e2x dx , |
|
|
в). |
∫(3x −1)3 cos(3x −1)2 dx , |
|
23. |
а). ∫(5 + 2x) 6x dx , |
б). ∫(2 −3x + x2 )sin 3x dx , |
|
|
в). ∫(2x −3)3 sin(2x −3)2 dx. |
|
|
24. |
а) ∫(3 − 2x)cos 4x dx , |
б). ∫(1 + 2 x2 )e4x−1dx , |
|
|
в). |
∫(3x +1)5 cos(3x +1)2 dx , |
|
25. |
а). ∫(2 + 3x)sin 4x dx , |
б). ∫x2 5−x+5 dx , |
|
|
в). ∫(−2x +1)3 e(−2 x+1)2 dx , |
|
|
26. |
а). ∫x 93x−5 dx , |
б). ∫(1 + 2x − 7x2 )cos2x dx , |
|
|
в). ∫(2x −1)3 2(2x−1)2 dx , |
|
|
27. |
а). ∫(3 + 4x) 5x+4 dx , |
б). ∫(2 − x + 3x2 )sin 2x dx , |
|
|
в). |
∫(x − 3)5 sin(x − 3)3 dx , |
|
28. |
а). ∫(−3x + 4)sin xdx , |
б). ∫(x2 −5x + 3)e4x dx , |
|
|
в). ∫(3x −2)5 cos(3x −2)3 dx , |
|
|
29. |
а). ∫(13 − 2x) 2x dx , |
б). ∫(4 −3x −5x2 )cos3x dx , |
|
|
в). ∫(2x + 3)3 3(2x+3)2 dx , |
; |
|
30. |
а). ∫(2 −x)ex+2dx , |
б). ∫(x2 +3x − 2)sin 6x dx , |
|
|
в). |
∫(−x + 8)3 sin(−x + 8)2 dx . |
|
118
2. Обчислити визначені інтеграли.
1.а). ∫0 ex cos xdx ,
−π2
в). 10∫(ln2 (2x) −3ln(2x))dx ,
2
π
2.а). ∫2 e−2 x cos(3x +1)dx ,
0
в). ∫7 (ln2 (5x) + 4ln(5x))dx ,
1
π
3.а). ∫e2 x sin(5x − 4)dx ,
π
2
e
в). ∫(log22 (3x) −log2 (3x))dx ,
1
4.а). ∫0 ex−2 cos 2xdx ,
−π2
4
в). ∫(log32 (2x) −9log3 (2x))dx ,
2
5.а). ∫0 e−x cos(x +3)dx ,
−π2
10
в). ∫(log52 (6x) + 4log5 (6x))dx ,
1
π
6.а). ∫e2 x+1 cos(x + 4)dx ,
π
2
7
в). ∫(log24 (2x) −6log4 (2x))dx ,
2
π
7.а). ∫3 ex sin(3x −6)dx ,
0
5
в). ∫(log22 (5x) + 2log2 (5x))dx ,
1
|
|
8 |
|
|
б). ∫ |
x2 +3dx , |
|||
|
|
1 |
|
|
г). |
15∫arctg |
2x −3dx , |
||
|
|
3 |
|
|
б). |
1 |
2 − x2 dx , |
||
∫ |
||||
|
|
−1 |
|
|
г). |
|
12∫arctg |
2x −5dx , |
|
|
|
5 |
|
|
4
б). ∫
2x2 + 7dx ,
−2
г). |
14∫arctg 5x −1dx , |
|
|
1 |
|
б). ∫4 |
5x2 −9dx , |
|
|
2 |
|
г). |
15∫arcctg − 4 +3xdx , |
|
|
3 |
|
б). ∫0 |
− 2x2 +3dx , |
|
|
−1 |
|
г). 12∫arcctg 5x + 7dx ,
0
б). ∫1 |
− 2x2 +5dx , |
0 |
|
г). ∫0 arctg 9 − 4xdx ,
−5
б). ∫8 
2x2 − 4dx ,
2
г). −∫2 x arctg xdx ,
−8
119
8.а). ∫0 e−x+2 cos 6xdx ,
|
−π |
|
4 |
в). |
15∫(log62 x − 4log6 x)dx , |
|
2 |
π
9.а). ∫4 ex+1 cos(x −3)dx ,
0
12
в). ∫(log72 (2x) −3log7 (2x))dx ,
1
π
10.а). ∫ex−1 sin(2x −5)dx ,
0
3
в). ∫(log32 (3x) +5log3 (3x))dx ,
1
π
11.а). ∫e3x+2 sin(2x +1)dx ,
π
2
в). 10∫(ln2 (5x +2) −2ln(5x +2))dx,
0
π
12.а). ∫2 2x−1 cos xdx ,
0
в). 14∫(ln2 (2x −1) + 4ln(2x −1))dx ,
2
π
13.а). ∫2 3x sin 2xdx ,
0
19
в). ∫(log22 (3x +4) −2log2 (3x +4))dx,
0
π
14.а). ∫2 5x cos(x −6)dx ,
0
в). 15∫(ln2 (2x −3) +7ln(2x −3))dx,
3
б). ∫6 |
(x +1)2 +8dx , |
|
|
0 |
|
г). ∫3 |
(x −9) arcctg(x −9)dx , |
|
|
−5 |
|
б). ∫5 |
(x −3)2 + 4dx , |
|
|
−2 |
|
г). |
15∫(2x + 7) arctg(2x + 7)dx , |
|
|
0 |
|
б). ∫0 |
(−x + 2)2 −3dx , |
|
|
−4 |
|
г). |
14∫(x +1) arctg(x +1)dx , |
|
|
6 |
|
б). ∫3 |
(x −5)2 + 4dx , |
|
|
−2 |
|
г). |
12∫(x +3) arcctg(x +3)dx , |
|
|
1 |
|
б). ∫0 |
(−x +5)2 −9dx , |
|
|
−5 |
|
г). |
14∫arcctg 3x −15dx , |
|
|
6 |
|
б). |
3 |
15 − x2 dx , |
∫ |
||
−2
г). ∫0 arctg( 15 −8x )dx ,
−7
б). ∫8 |
3x2 +10dx , |
0 |
|
9
г). ∫(x +3) arctg(x +3)dx ,
−1
120
15. |
а). π∫ex−3 cos(5x − 2)dx , |
б). ∫1 |
6 − 2x2 dx , |
||||
|
|
0 |
|
|
−1 |
|
|
|
в). |
18∫(log52 (4x −1) −3log5 (4x −1))dx, |
г). |
∫6 |
(x −8)arcctg(x −8)dx , |
||
|
|
1 |
|
|
−5 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
16. |
а). ∫2 |
2x sin(x − 2)dx , |
б). ∫9 |
3x2 −17dx , |
|||
|
|
0 |
|
|
3 |
|
|
|
в). |
12∫(ln2 (2x +3) +4ln(2x +3))dx , |
г). |
10∫(2x +3) arctg(2x +3)dx , |
|||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
17. |
а). ∫4 |
3x cos 2xdx , |
б). ∫5 |
(−x +9)2 +1dx , |
|||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
в). |
15∫(ln 2 (x −1) − 2 ln(x −1))dx , |
г). |
∫3 |
(−x + 4) arctg(−x + 4)dx , |
||
|
|
3 |
|
|
−5 |
|
|
18. |
а). |
π∫ex+2 sin 2xdx , |
б). |
10∫ |
6x2 |
− 2dx , |
|
|
|
π |
|
1 |
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
18 |
|
|
|
в). ∫ |
(log62 (3x+7) +5log6 (3x+7))dx, |
г). |
∫(6x +1) arctg(6x +1)dx , |
|||
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
19. |
а). π∫e3x−4 sin(x −1)dx , |
б). ∫8 |
(x − 4)2 +5dx , |
||||
|
|
π |
|
|
−2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
в). |
14∫(ln 2 (x − 6) + 3ln(x − 6))dx , |
г). |
20∫arctg |
3x −14dx , |
||
|
|
6 |
|
|
9 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
20. |
а). ∫2 ex+1 cos(2x −1)dx , |
б). |
10∫ |
5x2 |
− 4dx , |
||
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
в). |
17 |
(log32 (x + 2) −9 log3 (x + 2))dx , |
г). |
10 |
|
2x +3dx , |
|
∫ |
∫arctg |
|||||
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
21. |
а). ∫2 ex−4 cos(x + 2)dx , |
б). |
10∫ |
3(x −1)2 − 4dx , |
|||
|
|
0 |
|
|
3 |
|
|
|
в). |
10 |
(ln 2 (1 + 6x) + ln(1 + 6x))dx , |
|
8 |
|
|
|
∫ |
г). ∫arctg |
5x −7dx , |
||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
121
22.а).
в).
23.а).
в).
24.а).
в).
25.а).
в).
26.а).
π
∫2 e2 x+3 sin(x +5)dx ,
0
20∫(ln2 (−4 +3x) +3ln(−4 +3x))dx ,
5
π
∫4 ex−5 sin(x −1)dx ,
0
18
∫(log22(−3+5x)+2log2(−3+5x))dx,
2
π∫e3x+1 cos 2xdx ,
π
2
7
∫(log32 (6 +2x) −log3 (6 +2x))dx,
−1
∫0 2x+1 cos(x +3)dx ,
−π2
12
∫(log52 (−1+3x) +3log5(−1+3x))dx,
3
∫0 2x−1 sin(x −5)dx ,
−π2
б). ∫7 |
|
2(x + 7)2 +10dx , |
||
|
−1 |
|
|
|
г). |
12∫arcctg |
3x − 4dx , |
||
|
6 |
|
|
|
б). |
−∫1 |
5 −(x +3)2 dx , |
||
|
−4 |
|
|
|
г). −∫2 x arcctg x , |
||||
|
−9 |
|
|
|
б). |
10∫ 3(x + 2)2 + 7dx , |
|||
|
0 |
|
|
|
г). |
∫0 |
(x −1) arcctg(x −1)dx , |
||
|
−8 |
|
|
|
б). ∫0 |
|
2(x −3)2 −5dx , |
||
|
−4 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
г). ∫ |
|
x arctg |
xdx , |
|
|
1 |
|
|
|
б). ∫7 |
|
5(x − 2)2 + 4dx , |
||
|
0 |
|
|
|
|
в). |
|
−∫1(2 ln 2 (3 −5x) + ln(3 −5x))dx , |
г). |
15∫arctg |
x − 4dx , |
|||
|
|
|
−7 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
27. |
а). |
|
∫2 |
3x cos 4xdx , |
|
б). ∫3 |
− x2 |
+15dx , |
|
|
|
|
π |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
15 |
|
+3log(2 −1+2x))dx, |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
г). ∫arctg 12 −3xdx , |
||||
|
в). ∫(−2log2(−1+2x) |
||||||||
|
|
5 |
|
|
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
28. |
а). |
|
∫2 |
3x−1 sin xdx , |
|
б). |
87∫ |
−9 + 4x2 dx , |
|
|
|
|
π |
|
|
|
2 |
|
|
|
в). |
19∫(3ln2 (−9+4x) −2ln(−9+4x))dx, |
г). |
18∫arcctg |
2x −7dx , |
||||
|
|
4 |
|
|
|
7 |
|
|
|
122