Posibnuk
.pdf
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
Приклад 5. Знайти інтеграл ∫5 |
tg5 (10x −8)dx . |
||||
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||
Хід розв’язування
методом комп’ютерних символьних обчислень
Проміжні дії мають такий вигляд:
>Int(tan(10*x-8)^5,x);
>changevar(t=10*x-8,%,t);
>simplify(%);
>J:=changevar(z=tan(t),%,z);
>convert(integrand(%),parfrac,z);
>(J/Int(integrand(J),z))*Int(%,z);
>expand(%);
>value(%);
>changevar(z=tan(t),%,t);
163
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г). ∫2 cos(5x −18) cos(3x + 4)dx , |
|
|
|
|
д) |
∫0 |
tg2 (9x + 4)dx ; |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−0,2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
29. а) ∫0 |
|
|
dx |
|
, |
|
б) |
∫9 sin 4 (9x) cos5 (9x)dx , |
в). ∫8 sin 4 (1−8x)dx , |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
−π 6 −7sin x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
г). ∫cos(7x +1) cos(2x)dx , |
|
|
|
|
|
д) |
∫ctg3 (5x + 4)dx ; |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
2 |
cos3 x |
|
|
2 |
4 |
|
||||
30. а) |
∫ |
|
|
|
|
|
, |
б) |
∫ |
|
|
|
dx , |
|
в). ∫cos |
|
(4x −11)dx , |
|
cos x + |
3sin x |
sin |
4 |
x |
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10∫cos(15x −3) cos(10x)dx , |
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|||||||
г). |
|
|
|
|
|
д) ∫tg4 (2x +11)dx . |
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
Завдання підібрано з джерела [6].
|
Питання для самоперевірки |
|
|
1. |
Коли і як застосовується універсальна тригонометрична підстановка? |
||
2. |
Які підстановки існують для раціоналізації інтегралів |
виду |
|
|
x2 |
|
|
|
∫R(sin x,cos x)dx ? |
|
|
|
x1 |
|
|
3. |
x2 |
|
|
Як знайти інтеграли виду ∫sinn xcosm xdx , (n,m – цілі числа)? |
|
||
|
x1 |
|
|
4. |
x2 |
x2 |
|
Якими підстановками обчислюються інтеграли ∫tgn x , |
∫ctgn x , |
(n – |
|
|
x1 |
x1 |
|
|
натуральні, n>1)? |
|
|
5. |
За допомогою яких формул розкладається підінтегральна функція на |
||
|
x2 |
x2 |
|
|
доданки для знаходження інтегралів виду ∫sin mxcos nxdx , |
∫cosmxcosnxdx , |
|
|
x1 |
x1 |
|
|
x2 |
|
|
|
∫sin mxsin nxdx , (m, n – дійсні числа)? |
|
|
|
x1 |
|
|
169
Заняття 3 «Універсальні методи обчислення інтегралів, що містять
квадратний тричлен під коренем»
Теоретико-практична частина
Підстановки Ейлера
Для обчислення інтегралів, що містять квадратний тричлен під знаком радикала, можна використовувати метод підстановок Ейлера, який може бути застосований до всіх інтегралів вигляду
x∫2 R(
ax2 +bx + c, x)dx .
x1
Наведемо відповідні формули.
1. Якщо перший коефіцієнт квадратного тричлена, який міститься під коренем, додатний (a>0), то вводимо першу підстановку Ейлера:
ax2 + bx + c =t ± x a , t1,2 = ax1,2 |
2 +bx1,2 + c m x1,2 a . |
2.Якщо перший коефіцієнт від’ємний, а вільний член додатній, тобто a<0, с>0, то використовується друга підстановка Ейлера
ax2 + bx + c =tx ± |
c , t1,2 |
= |
ax2 |
+bx + c m |
c |
. |
1,2 |
1,2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x1,2 |
|
|
3. Якщо квадратний тричлен під коренем має два різні дійсні корені: xI та xII , то можна застосувати третю підстановку Ейлера
ax2 +bx + c = t(x − xI ), t1,2 |
|
ax2 |
+bx |
+ c |
, або |
|||||||
= |
|
1,2 |
|
|
1,2 |
|
|
|
||||
|
|
x1,2 − xI |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ax2 +bx + c = t(x − xII ), |
|
|
|
ax2 |
+bx |
|
+ c |
. |
||||
t1,2 |
= |
|
|
1,2 |
|
|
1,2 |
|
|
|||
|
|
x |
|
− x |
II |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
||
Зауважимо, що у розглянутих трьох випадках має місце шість різних формул для підстановок, причому в кожній парі формули однаково успішно призводять до раціоналізації.
170
10 |
|
dx |
|
|
Приклад 1. Обчислити інтеграл ∫ |
|
. |
||
(2x −1) |
|
2 |
||
1 |
4x |
|
+10x +9 |
|
Хід розв’язування
методом комп’ютерних символьних обчислень
Проміжні дії для підстановок Ейлера виконуються аналогічно до всіх інших підстановок, тому не потребує пояснення
>Int(1/(2*x-1)/sqrt(4*x^2+10*x+9),x);
>changevar(sqrt(4*x^2+10*x+9)=t-x*sqrt(4),%,t);
>simplify(%);
>JD:=integrand(%);
>denom(%);
>completesquare(%);
>sort(%);
>op(1,%);
>zam:=sqrt(%);
>changevar(z=zam,Int(JD,t),z);
171
>simplify(%);
>value(%);
>changevar(z=zam,%,t);
>changevar(t=2*x+sqrt(4*x^2+10*x+9),%,x);
>Eval(%,x=1..10);
>value(%);
>evalf(%);
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
dx |
|
||
Приклад 2. Обчислити інтеграл ∫ |
|
|
. |
||||
x |
− 2x |
2 |
−5x +9 |
||||
|
1 |
|
|
|
|||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Хід розв’язування
методом комп’ютерних символьних обчислень
Проміжні дії мають такий вигляд
> Int(1/(x)/sqrt(-2*x^2-5*x+9),x);
172