Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кировоградский государственный педагогический университет им. В. Винниченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Posibnuk

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

>id:=integrand(%%);

>((denom(%))^(1/m));

>simplify(%,radical,symbolic) ;

>d:=(diff(%,x));

>zam:=d/lcoeff(d);

>changevar(z=zam,Int(id,x=10..22),z);

>simplify(%);

>expand(%);

>value(op(1,%))+changevar(s=z^2,op(2,%),s);

>value(%);

133

> evalf(%);

Команда simplify(%,radical,symbolic); спрощує вираз з радикалами, нормалізує раціональний вираз.

Контрольні завдання 1. Знайти інтеграли від найпростіших раціональних дробів.

1.	а). ∫	dx		,	б). ∫	dx			.
		3x +	4			(7x −1)	3

2.	а). ∫	dx		,	б). ∫	dx				,
		7x − 4				(8x −9)		5

3.	а). ∫	dx		,				б).
3.	а). ∫	4x +	2	,				б).
		4x +	2
4.	а). ∫	dx			,			б).
4.	а). ∫	2x −	4		,			б).
		2x −	4
5.	а). ∫	dx					,	б).
5.	а). ∫	6x −	40				,	б).
		6x −	40
6.	а). ∫	dx		,				б).
6.	а). ∫	4x +1		,				б).
		4x +1
7.	а). ∫	dx					,	б).
7.	а). ∫	40x −1					,	б).
		40x −1
8.	а). ∫	dx					,	б).
8.	а). ∫	8x −12					,	б).
		8x −12
9.	а). ∫	dx				,		б).
9.	а). ∫	10x −1				,		б).
		10x −1
10.	а). ∫	dx					,	б).
10.	а). ∫	11x + 2					,	б).
		11x + 2

∫


dx	,
(3x + 7)4
dx	,
(2x −6)5
dx		,
(3x +11)4
dx	,
(5x + 6)5

dx		,
(15x + 4)7
dx			,
(5x −32)5
dx
	,
(3x + 4)6
dx				,
(2x −32)5

134

11.а).

12.а).

13.а).

14.а).

15.а).

16.а).

17.а).

18.а).

19.а).

20.а).

21.а).

22.а).

23.а).

24.а).

25.а).

∫

dx , 21x − 2

dx , 8x −3

dx , 3x +9

	dx	,
	7x −9	,
	7x −9

dx , 9x +1

	dx		,
	4x −1		,
	4x −1

dx , 5x +1

dx			,
12x +1			,
dx		,
2x −	9	,
2x −	9
dx		,
2x −	9	,
2x −	9
dx					,
3x −19					,
dx				,
30x −1				,

dx		,
13x +11
dx	,
7x +11
dx	,
17x −1

б). ∫

(21x −7)

б). ∫

(2x

+ 7)

б). ∫

(2x −5)

б). ∫

(6x +5)

б). ∫

(5x

−11)

б). ∫

(5x +1)

б). ∫

(11x −

б). ∫

(9x +1)

б). ∫

(6x −1)

б). ∫

(6x −1)

б). ∫

(7x

+ 21)

б). ∫

(5x

−16)

б). ∫

(3x

+12)

б). ∫

(8x

−1)

б). ∫

(5x

+1)

135

26.	а). ∫	dx		,		б). ∫		dx								,
26.	а). ∫	6x +15		,		б). ∫	(15x −14)						5			,
		6x +15					(15x −14)
27.	а). ∫	dx		,		б). ∫		dx				,
27.	а). ∫	16x −1		,		б). ∫	(4x − 2)			8		,
		16x −1					(4x − 2)
28.	а). ∫	dx			,	б). ∫		dx							,
28.	а). ∫	11x −10			,	б). ∫	(2x	+11)			6				,
		11x −10					(2x	+11)
29.	а). ∫	dx		,		б). ∫		dx					,
29.	а). ∫	10x +1		,		б). ∫	(20x −		1)		3		,
		10x +1					(20x −		1)
30.	а). ∫	dx	,			б). ∫		dx						,
30.	а). ∫	5x −4	,			б). ∫	(7x	+11)			9			,
		5x −4					(7x	+11)

2. Знайти визначені інтеграли від найпростіших раціональних дробів.

1.а).

в).

2.а).

в).

3.а).

в).

4.а).

в).

5.а).

в).

−∫10

x2 − 4x +5

− 2

dx ,

∫6

5x2 − 20x +8

−∫4

x2 + 6x +13

4x +3

∫1

dx ,

x2 + 6x +13

−∫10

x2 −10x +16

− 2

dx ,

∫2

x2 +14x +13

∫1

4x2 + 4x + 2

∫1	3x + 2		dx ,
∫1	5x2 +30x +18		dx ,
15	dx	,
∫5	dx
∫5	x2 − 4x +3
20

∫ 5x + 7 dx ,

2 2x2 + 20x + 40

б).

г).

б).

г).

б).

г).

б).

г).

б).

г).

∫4

0 (x

− 4x +5)

20∫

5x + 7

dx ;

− 4x +13)

∫

−2 (4x

−12x +18)

15∫

4x −9

dx ;

+ 6x +

∫

(25x

− 40x

+11)

12∫

3x +8

dx ;

(3x

−12x +

∫

−6x +10)

10∫

5x −7

dx ;

−16x + 48)

∫

(9x

+ 6x +5)

15∫

4x +9

dx ;

(5x

− 20x +

136

6.	а).	12∫				dx			,
6.	а).	12∫	9x		2	−12x +5			,
		2	9x			−12x +5
	в).	17			4x −3		dx ,
		∫			4x −3
		∫	2x		2	−8x +3
		7	2x			−8x +3
7.	а).	10∫				dx				,
7.	а).	10∫	x	2	−10x +34					,
		1	x		−10x +34
	в).	24∫			5x + 2			dx ,
	в).	24∫	x	2	+ 4x −12			dx ,
		6	x		+ 4x −12

15dx

8.а). ∫2 x2 − 4x +8 ,

в).

20∫

3x − 4

dx ,

+8x −9

а).

10∫

+ 6x +5

в).

18∫

4x +5

dx ,

+14x +33

10.

а).

12∫

−12x +3

5x −3

в). ∫

−6x +18

−2 x

11.

а).

15∫

− 4x +13

в).

14∫

3x + 4

dx ,

+10x +

−3 x

12.

а). −∫1

−8 4x

−10x +

в).

20∫

4x −5

dx ,

−6x +13

13.

а).

12∫

+14x +

−2 x

б). ∫

(2x

+ 20x +1)

г). −∫5

3x −8

dx ;

+12x +

−9 (x

20)

б).

∫

−8x +

−10 (x

20)

г). −∫10

5x + 6

dx ;

+ 4x +

−20 (x

20)

б).

−2

∫

(4x

−8

−12x +5)

г). −∫10

4x −7

dx ;

−18x −

−18 (3x

б).

∫

(2x

+12x + 2)

г).

−∫8

3x + 7

dx ;

−14 (x

+8x +32)

б).

∫

−10x +

−1

24)

г). −∫1

5x −6

dx ;

−8 (x

−8x +5)

б).

∫

(36x

−12x +10)

г).14∫

4x + 7

;

+16x +

1 (2x

10)

б).

∫

(5x

+30x +

г). ∫7

3x −7

dx ;

1 (5x

−10x +12)

б).

∫

−12x +

35)

137

в).

14.а).

в).

15.а).

в).

16.а).

в).

17.а).

в).

18.а).

в).

19.а).

в).

20.а).

в).

5x +3

dx ,

−∫4

3x2 −36x +39

−2

−∫12

4x2 + 4x +5

3x −5

10∫

x2 −8x −9

∫5

16x2 +8x −15

4x + 6

∫5

dx ,

x2 +10x +34

∫1

+12x + 20

−4

5x − 4

dx ,

−∫12

3x2 −12x −5

−∫4

x2 +14x +58

−1

3x +5

dx ,

−∫10

x2 +12x −13

−6

−∫15

4x2 −10x +16

−2

4x −6

dx ,

−∫11

x2 −16x + 60

∫2

4x2 + 4x −3

5x + 4

dx ,

∫1

4x2 −16x +32

∫2

x2 +12x +11

3x −7

12∫

dx ,

−14x + 40

г).

10∫

5x + 4

dx ;

−12x +

11)

б).

∫

(2x

+ 20x

14)

г). ∫8

3x +5

dx ;

+12x −

2 (x

11)

б).

∫

(2x

− 20x +

18)

г). , ∫9

5x − 4

dx ;

(5x

+ 20x −18)

б).

∫

−14x +50)

г). ∫8

3x −5

dx ;

−14x −

0 (x

32)

б).

∫

(3x

+ 42x

47)

г). ∫8

5x +3

dx ;

2 (2x

− 20x +18)

б).

∫

(2x

+ 20x

66)

г).

12∫

4x −5

dx ;

−16x +

68)

б).

∫

(3x

+ 42x

148)

г).

11∫

3x + 4

dx ;

+16x +

2 (x

60)

б).

∫

−16x +15)

г).

12∫

5x −3

dx ;

+8x −33)

138

21.а).

в).

22.а).

в).

23.а).

в).

24.а).

в).

25.а).

в).

26.а).

в).

27.а).

в).

28.а).

∫3

9x2 −12x +8

4x + 7

10∫

2x2 −12x +5

∫2

4x2 −10x + 21

5x −6

∫2

dx ,

x2 −14x +15

−4

−∫10

x2 −16x +15

3x + 7

∫3

x2 −12x + 20

∫2

3x2 +12x +3

4x −11

∫8

dx ,

2x2 −16x +15

−3

−∫14

x2 − 4x −5

5x + 6

∫9

dx ,

3x2 − 24x + 4

∫6

9x2 −12x −5

3x −8

∫1

x2 −10x + 41

−2

−∫12

4x2 − 28x +13

4x +9

∫2

dx ,

2x2 + 20x −9

−∫10

x2 −16x + 28

б). ∫

(25x

− 40x +12)

г).

10∫

4x +5

dx ;

(3x

−36x +14)

б).

−2

∫

−10 (4x

− 20x +9)

г). ∫2

3x − 4

dx ;

−4 (x

+ 4x − 21)

б).

∫

−18x +19)

г). ∫0

5x + 2

dx ;

+10x −

−2 (5x

б). ∫

(9x

+ 6x +15)

г). ∫0

4x −3

dx .

−4 (x

−6x +5)

б).

∫

− 20x +51)

г). ∫8

3x + 2

dx ;

0 (x

+16x −17)

б).

∫

(36x

−12x

+5)

г). ∫7

5x − 2

dx ;

−2 (x

−8x + 41)

б).

∫

(2x

+12x +

22)

г). ∫7

4x +3

dx ;

− 20x +

3 (2x

35)

б).

∫

+30x +125)

139

в).

17∫

5x −7

dx ,

г). ∫6

3x − 2

dx ;

+16x +

26 x

−1 (x

+14x + 24)

29.

а).

18∫

б).

13∫

+12x +9

(5x

+30x + 49)

в).

16∫

3x +8

dx ,

г).

20∫

5x +9

dx ;

−10x +

(6x

− 24x + 20)

30.

а).

15∫

б).

15∫

+12x −7

+ 26x +

69)

в).

28∫

4x −9

dx ,

г). ∫3

3x −11

dx .

− 28x − 25

−5 (x

−12x +32)

Завдання 1 підібрано з джерела [5], завдання 2 – з джерела [6].

Питання для самоперевірки 1. Що називають найпростішим дробом?

2. Яка формула дає можливість обчислювати інтеграли ∫( dx )n ?

x2 +a2

3.Який оператор виділяє знаменник дробу?

4.Як встановити такий порядок доданків, де на першому місці стоїть доданок із старшим степенем?

Заняття 3 «Інтегрування раціональних дробів зведенням до найпростіших»

Теоретико-практична частина

Раціональним дробом R(x) називається дріб, чисельником і знаменником якого є многочлени, тобто кожний дріб вигляду:

	P	(x)		a	0	xn + a xn−1	+... + a	n
R(x) =	n		=			1			.
	Qm (x)			b xm + b xm−1			+... + b

				0		1	m

Якщо степінь многочлена в чисельнику більше чи дорівнює степеню многочлена в знаменнику (n≥m), то дріб називається неправильним. Якщо

140

степінь многочлена в чисельнику менше степеня многочлена в знаменнику (n<m), то дріб називається правильним.

Кожний неправильний раціональний дріб можна представити у вигляді суми многочлена (цілої частини) і правильного раціонального дробу. Це представлення досягається шляхом ділення чисельника на знаменник за

правилом ділення многочленів
			Pk (x)	= Z (x) +	Pn (x)	,
			Q (x)	= Z (x) +		,
			Q (x)		Q (x)
			m		m
де Z(x) - ціла частина дробу			Pk (x)	; Pn(x) – залишок від ділення (многочлен
де Z(x) - ціла частина дробу		Qm (x)		; Pn(x) – залишок від ділення (многочлен
		Qm (x)
степеня n < m). Кожний	правильний раціональний дріб						Pn (x)	можна
степеня n < m). Кожний	правильний раціональний дріб						Qm (x)	можна
							Qm (x)

представити у виді суми скінченного числа найпростіших раціональних

дробів першого - четвертого типів. Для розкладання

Pn (x)

на найпростіші

Qm (x)

дроби необхідно розкласти знаменник Qm(x) на лінійні і квадратні множники.

Теорема. Правильний

раціональний

дріб

Pn (x)

де

знаменник

має

Qm (x)

вигляд Qm (x) =

2 K(x

−α

+ p

x +q

K(x

+ p

x +q

)

=(x −α )

1 (x −α

)

) i (x

+ p x +q ) 1

) 2

____

( r =1, s j

pr 2 − 4qr < 0),

можна

єдиним

способом

розкласти

на

суму

найпростіших дробів:

(x)

A1k

+... +

Qm (x)

(x −α1 )

−α1 )

(x −α1 ) 1

+... +

A2k

(x −α2 )

(x −α2 )2

(x −α2 )k2

+........................................................... +

Aik

+...

−αi )

(x −αi )2

(x −αi )ki

141

x + N

1s x + N1s

x2 + p x + q

(x2 + p x

+ q

(x2 + p x + q

)s1

x + N

M 2s

x + N 2s

x2 + p2 x + q2

(x2 + p2 x + q2 )2

(x2 + p2 x + q2 )s2

..........

....

x + N

+ +

M js

x + N js

x2 + p j x + q j

(x2 + p j x + q j )2

(x2 + p j x + q j )s j

де A11,K, Aiki

, M11,K, M js j

, N11,K, N js j

деякі дійсні числа.

(3)

Метод невизначених коефіцієнтів. Метою методу є представлення

правильного дробово-раціонального виразу				Pn (x)	у	вигляді суми
				Qm (x)
найпростіших дробів.
Суть методу полягає в наступному:
1. Згідно теореми записується розклад правильного раціонального
дробу	Pn (x)	на найпростіші	дроби		з	невизначеними
	Qm (x)

коефіцієнтами за формулою (3).

2.Сума дробів зводиться до одного дробу зі знаменником Qm(x).

3.Многочлен Pn(x) прирівнюється до чисельника дробу, отриманого вище. Із рівності многочленів випливає рівність коефіцієнтів при однакових степенях змінної x, звідки випливає лінійна неоднорідна система алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів.

4.Розв’язання отриманої системи визначає значення шуканих невідомих коефіцієнтів.

Правило інтегрування раціональних дробів.

Для того, щоб проінтегрувати раціональний дріб, необхідно виконати наступні дії:

142

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.02.20162 Мб480Podolyak-L_G_-Psikhologiya-Vischoyi-shkoli.doc
#
17.02.201679 Кб11Politichna_psikhologiya_37_grupa__1.doc
#
01.07.20252 Мб2Posibnik_MVR_V_DOT_06.doc
#
17.02.20162 Мб85Posibnik_OKG.doc
#
17.02.20161 Мб76Posibnik_Pascal.pdf
#
17.02.20162 Мб31Posibnuk.pdf
#
09.11.20181 Мб3Posibnyk_Technology_10_5-6.doc
#
01.07.2025200 Кб2Prakt_chast_Pit_1-30.docx
#
17.02.2016248 Кб26prakt_zan_MNM_2012-2013.pdf
#
30.11.2018114 Кб16Praktichne_zanyattya.doc
#
14.11.2019285 Кб5praktichni_-_MODUL_3 (1).doc