21. Оптимальные Сау. Постановка задачи, критерии оптимальности, обзор методов решения.

Оптимальные САУ – система в которой обеспечено оптимальное значение какого-либо основного показателя качественной работы системы. Оптимальные показатели качества – критерии оптимальности (эффективности целевой функции). Для САУ критерием оптимальности могут быть: показатели качества переходных процессов (длительность, точность, время перерегулирования). Задача синтеза оптимальных САУ: глобальная проблема: есть несколько показателей которые противоречивы. Обычно обеспечивают оптимальность одного из показателей качества системы при учете требований к остальным показателям в виде ограничений на их значения. Чтобы корректно составить задачу синтеза оптимальных САУ остановимся на математическом описании: а) критерии оптимальности, б) ограничения, в) объекты управления.

А) Чаще всего имеет дело с критерием величина которого определяется не текущим состоянием объекта, а изменением его в течении всего процесса управления. Поэтому необходимо в качестве критерия оптимальности интегрировать какую-либо функцию величина которой зависит от текущего состояния объекта.

Функция выхода величины объекта Х и управляющего воздействия V которые являются векторами содержащими произвольное число составляющих. – длительность процесса управления. Обычно Q составляется так, чтобы его значение стремилось к минимуму.

Функционалы:

- Применяются при минимизации расходов рабочего тела (топлива) и это определяется величиной управляющего этим расходом воздействием I. Такая задача характерна для систем управления полетами.

Применимо в задачах на мин. Энергии, когда величина квадрата управляющего воздействия определяет мощность расходуемую при управлении объектом.

ki- Коэффициент пропорциональности

Общими математическим аппаратом является вариационное исчисление (метод динамического программирование Р.Беллмана, принцип максимуму Л.С.Понтрягина)

22. Принцип максимума л.С.Понтрягина

Пусть стоит задача о переводе за минимальное время изображающей точки из положения Н в положение К. Вокруг конечной точки можно построить поверхности являющиеся геометрическим местом точек с одинаковым минимальным временем t_i перехода в эту точку, такие поверхности называются изокронами. Очевидно, что оптимизированная по быстродействию траектория из т.Н в т.К должна быть макс-но близка нормалям к изокронам. Математически это условие оптим-ной траектории означает, что на протяжении всей траектории скалярное произведение вектора скорости V=dx/dt на вектор обратный градиенту времени перехода в точку К должно быть макс-но.

Если обозначить это произведение через Н, а вектор обратный градиенту времени перехода ψ=-grad t_n, то H= ψV=Σ(i=1 n) ψ_iV_i=max

ψ_i и V_i – координаты векторов

Многовекторность фазового пространства

Каждой точке фазового пространства окружающего т.К соответствует определённая оптимальная траектория и отвечающее ей миним-е время перехода в эту точку. Условием мксим-ти явл-ся максим-м проекции вектора V на направление ψ