Математика для инженеров(теория)I том

20. Определить, каковы должны быть размеры прямо- угольного бассейна, чтобы при данной площади его поверхности S объем был наибольшим.

503

ГЛАВА 15

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

§ 1. Общее дифференциальное уравнение первого порядка

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто используются уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие

уравнения называются дифференциальными.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным. Если иско- мая функция зависит от нескольких переменных, то диффе-

ренциальное уравнение называют уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Например, уравнение yIV - 3y¢¢¢ + 2y¢¢ + y = 0 – обыкно- венное дифференциальное уравнение четвертого порядка,

Решением уравнения (1) называется такая дифферен- цируемая функция y = ϕ(x) , которая при подстановке в

уравнение обращает его в тождество. Функция y = ϕ(x) на

плоскости изображает кривую,

называемую интегральной кривой.

504

Уравнение (1) устанавливает связь между координа-

тами точки (x; y) и угловым коэффициентом dydx

ной, проведенной к интегральной кривой в этой точке: tgα = dydx = f (x, y) .

В каждой точке области, где определена функция f (x, y) , можно

указать направление касательной к интегральной кривой, походящей через точку (x; y) . Поэтому, если через каждую

точку (x; y) провести отрезок с угловым коэффициентом k = f (x, y) , то получим, так называемое, поле направлений. Следо-

вательно, уравнение (1) геометрически выражает тот факт, что направ-

ление касательной в каждой точке любой интегральной кривой с о в п а д а е т с н а п р а в л е н и е м п о л я в д а н н о й т о ч к е .

Для графического решения уравнения (1) требуется: 1) построить поле направлений. При этом удобно выбирать точки

(x; y) , где касательные к искомым интегральным кривым имеют одно направление, то есть tgα = y′ = const . Линии,

образованные такими точками, называются изоклинами. Уравнение изоклин для дифференциального уравнения (1)

имеет вид: f (x, y) = C = const ;

2) провести кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с указателями поля направлений. Эти кривые приближенно принимаются за интегральные кри- вые уравнения.

Описанный выше метод называется методом изоклин.

Пример 1. Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения y′ = x2 + y2 .

Решение. Составим уравнение изоклин: f (x, y) = x2 + y2 =C = const . При C < 0 уравнение определяет пустое множество точек, а

C = 14 , C =1, С=4.

Далее проведем кривые так, чтобы векторы, расставленные на поле направлений, по-

Геометрически это означает, что ищется интеграль- ная кривая уравнения (1), проходящая через заданную точку M0 (x0; y0 ) плоскости Oxy (рис.2).

Для дифференциальных уравнений важное значение имеет вопрос о существовании решения задачи Коши и единственность этого решения в некоторой области задания уравнения.

Теорема Коши. Если функция f (x, y) непрерывна и имеет непрерывную производную ∂∂fy в области D, то решение

дифференциального уравнения (1) с начальным условием (2), где (x0; y0 ) D , существует и единственно, т.е. через

точку (x0; y0 ) D проходит единственная интегральная к р и в а я д а н н о г о у р а в н е н и я .

Доказательство. Пусть функция f (x, y) опреде-

лена в некоторой замкнутой области

Применим теорему Лагранжа (§7.4) к функции f (x, y) д л я д в у х п р о и з в о л ь н ы х т о ч е к A1(x; y1) и A2 (x; y2 ) , п р и н а д л е ж а щ и х о б л а с т и D :

506

Если для функции f (x, y) выполняется условие (5), то го-

ворят, что она удовлетворяет условию Липшица по переменной y . Таким образом, если функция f (x, y) имеет про-

изводную ∂∂fy , ограниченную в некоторой области,

то она в этой области удовлетворяет условию Липшица по переменной y . Обратное утверждение, во-

о б щ е г о в о р я , н е в е р н о . Решение y(x) , существование которого утверждается в

теореме, может быть определено не для всех значений x из интервала x0 − a ≤ x ≤ x0 + a . Возможно, что

интегральная кривая y = y(x) выйдет за пределы прямоугольника D через его верхнюю или нижнюю

ент касательной к интегральной кривой y = y(x) не превосходит по модулю величины M .

507

Итак, будем доказывать существование решения y = y(x) лишь на отрезке x0 - h £ x £ x0 + h , где

Для доказательства теоремы заменим дифференциальное уравнение (1) вместе с начальным ус-

ловием (2) эквивалентным ему интегральным уравнением

Отметим, что интегральным уравнением называют уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла.

Если некоторая функция y(x) обращает в тож-

дество интегральное уравнение, то, дифференцируя это тождество, обнаружим, что функция y(x) удов-

летворяет и дифференциальному уравнению (1); если же y(x) обращает в тождество дифференциальное

уравнение (1), то, интегрируя это тождество и принимая во внимание начальное условие (2), обнаружим, что y(x) удовле-

творяет и интегральному уравнению. Следовательно, интегральное уравнение (6) действительно эквивалентно дифференциальному уравнению (1) с на- ч а л ь н ы м у с л о в и е м ( 2 ) .

Доказательство теоремы проведем методом последовательных приближений.

Возьмем произвольную функцию y0 (x) , удовле-

творяющую начальному условию (2), например y0 (x) º y0 , и подставим ее в правую часть интеграль-

ного уравнения (6) вместо y(x) . Результат этой подстановки обозначим y1(x) и назовем первым при-

ближением

x

y1(x) = y0 + ò f (x, y0 )dx.

x0

Найденное y1(x) снова подставляем в правую

часть (6) и получаем второе приближение

508

x

y2 (x) = y0 + ò f (x, y1(x))dx.

x0

Продолжая этот процесс, получим

возможность предельного перехода под знаком интеграла, то, переходя в (7)

к пределу при n → ∞ , получим

x

y(x) = y0 + ò f (x, y(x))dx,

x0

т.е. y(x) = lim yn (x) является искомым решением интегрального

n→∞

уравнения.

Доказательство разобьем на четыре части. 1) Последовательные приближения yn (x) не выходят за

пределы области D при x0 − h ≤ x ≤ x0 + h .

Воспользуемся методом математической индукции: учитывая, что y0 (x) ≡ y0 не выходит за пре-

делы области D и предположив, что yn−1(x) не выхо-

509

2) Существует lim yn (x) = y(x) .

n→∞

Покажем, что последовательность { yn (x)} удовлетворяет кри- терию Коши равномерной сходимости на отрезке x0 − h ≤ x ≤ x0 + h (теорема 5.15.1). Имеем

f (x, y1) − f (x, y0 ) ≤ N y1 − y0 ,

то

510

и предполагая, что это неравенство справедливо для n, докажем, что оно будет справедливо и для n +1. В самом деле,

511

т.е. yn (x) Þ y(x) , причем предельная функция y(x), на основании

x I

теоремы 5.15.2, непрерывна.

3) lim yn (x) = y(x) удовлетворяет интегральному уравне-

n→∞

нию (6), а, следовательно, и дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2).

Так как yn (x) сходится к y(x) равномерно и

f (x, y) непрерывна, то и f (x, yn ) сходится к f (x, y)

равномерно. Но при равномерной сходимости, на основании теоремы 12.14.2, возможен предельный переход под знаком интеграла:

Следовательно, переходя в равенстве

x

yn+1 = y0 + ò f (x, yn )dx

x0

к пределу при n → ∞ получим

x

y(x) = y0 + ò f (x, y(x))dx ,

x0

т.е. y(x) удовлетворяет интегральному уравнению.

4) Решение y(x) единственно. Предположим, что кроме решения y(x) инте-

грального уравнения (6), существует еще решение

Y (x) , т.е.

Вычитая из первого тождества второе, получим

512