Математика для инженеров(теория)I том

Возьмем максимальные значения левой и правой частей неравенства при x , изменяющемся на некотором отрезке

x0 - h £ x £ x0 + h , где h пока произвольно (но не более

решений в некоторой окрестности этих точек и, тем са- мым, продолжаем решение y(x) и обнаруживаем его един-

ственность. □

Если во всех точках решения y =ψ (x) уравнения (1) условие единственности не выполняется, то такое решение называется особым. Через каждую точку M0 (x0; y0 ) особого

решения, кроме этого решения, проходит и другое реше- ние уравнения (1), которое не совпадает с y =ψ (x) в сколь

угодно малой окрестности этой точки.

Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т.е. линия,

513

которая в каждой точке касает-

ся хотя бы одной интегральной кривой.

Для существования особо- го решения уравнения (1) необ- ходимо, чтобы не выполнялись условия теоремы Коши.

непрерывна во всех точках плоскости Oxy. Частная произ-

водная ∂∂fy = 32y обращается в бесконечность при y = 0 , т.е.

на оси Ox нарушается одно из условий теоремы Коши.

Следовательно, в точках оси Ox возможно нарушение единственности решения. Непосредственной подстановкой

убеждаемся, что функция y = (x + C)3 (семейство кубиче-

ских парабол) есть решение уравнения (11). Кроме того, уравнение (11) имеет очевидное решение y = 0 (рис. 4).

Таким образом, через каждую точку оси Ox проходят, по крайней мере, две интегральные кривые и, следовательно, в точках этой оси нарушается единственность, т.е. y = 0 – особое реше-

ние уравнения (11). □

Общим решением дифференциального уравнения (1) в

зависящая от одной произвольной постоянной C, и такая, что выполняются условия: 1) она удовлетворяет уравнению (1) при любых значениях постоянной C ; 2)каково бы ни было начальное условие (2), можно подоб-

514

(x0; y0 ) D выполняются условия существования и единст-

венности решения задачи Коши (1), (2).

Частным решением дифференциального уравнения (1) называется решение, получаемое из общего решения (12) при каком-либо определенном значении произвольной по- стоянной C.

Пример 3. Проверить, что функция y = Cex является

С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются гра- фики показательных функций; частное решение есть инте- гральная кривая, проходящая через точку M0 (1;−1) (рис. 5).

□

Соотношение вида Φ(x, y,C) = 0 , неявно определяющее

общее решение, называется общим интегралом дифферен- циального уравнения первого порядка; соотношение, полу-

чаемое из общего интеграла при конкретном значении посто- янной C, называется его частным интегралом.

515

§ 2. Дифференциальные уравнения

с разделяющимися переменными

вобласти D функции, называется уравнением, записанным

вдифференциалах.

Если P(x, y) = P1(x) , а Q(x, y) = Q2 (y) , то уравнение (1) называют

дифференциальным уравнением с разделенными перемен- ными.

Интегрируя, получаем

òP1(x)dx + òQ2 (y)dy = C .

Если P(x, y) = P1(x)P2 ( y) , а Q(x, y) = Q1(x)Q2 (y) , то уравне-

ние (1) называется дифференциальным уравнением с раз- деляющимися переменными.

Разделив это уравнение на P2 ( y)Q1(x) ¹ 0 , сведем его к уравнению

с разделенными переменными

ли x = xk или y = ym решениями исходного уравнения и содер- жатся ли они в общем интеграле при каком-то значении Ck (со- ответственно Cm ).

516

т.е. (1+ y2 )(1+ x2 ) = C является общим интегралом данного уравнения.

Функции Q1(x) =1+ x2 и P2 ( y) = y2 +1 при вещественных

x и y в нуль не обращаются. Поэтому полученная формула содержит все решения рассматриваемого уравнения. □

§ 3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция P(x, y) называется однородной степени m,

если для всех вещественных t она удовлетворяет равенст-

ву

P(tx,ty) = tmP(x, y) .

Пример 1. Проверить на однородность следующие функции:

517

Покажем, что с помощью замены y = ux , где u = u(x) , одно- родное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися пере-

менными. Пусть t = 1x (x ¹ 0) . Подставим t в (1), получаем

разделенными переменными.

При делении переменных могли быть утеряны реше- ния вида u = a , где a – корень уравнения P(1,u) + uQ(1,u) = 0 .

□

518

уравнение (3) к уравнению с разделяющимися переменны- ми.

§ 4. Линейные дифференциальные уравнения первого

порядка. Уравнение Бернулли

и q непрерывные на некотором интервале I = (a;b) функ-

ции) называются линейными, первое относительно y, dydx , а

q(x) ¹ 0 (q(y) ¹ 0) – линейным неоднородным.

519

Решим линейное однородное уравнение

нием уравнения (1), то формула (2) будет давать все ре- шения (в данном случае общее решение) уравнения (1), если счи- т а т ь п а р а м е т р С п р о и з в о л ь н ы м .

Решим линейное неоднородное уравнение

Подставляя найденное C(x) в (4), получим формулу Бернулли y = C y + y ò q(yx)dx .

Описанный метод решения уравнения (3) называют

методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа. Другим методом решения линейного уравнения явля- ется метод Бернулли, который заключается в следующем.

520

где α(α ¹ 0,α ¹1) – произвольное вещественное число.

Подстановка u = y1-α приводит уравнение (7) к линейному неодно- родному уравнению. Уравнение (7) можно решать также подстанов- кой y(x) = u(x)v(x) . Тогда, записав уравнение (7) в виде

u¢v + (v¢ + p(x)v)u = q(x)uα vα ,

521

решим два уравнения с разделяющимися переменны-

ми:

v′ + p(x)v = 0 (берем только одно решение v ¹ 0 ) и u′ = q(x)uα vα −1 (берем его общее решение).

Подставляя найденные u и v в соотношение y(x) = u(x)v(x) , получим общее решение уравнения Бернул-

ли.

Отметим, что при интегрировании уравнения (7) мог- ло быть утеряно решение y = 0 , если α > 0 . Можно пока-

зать, что это решение является частным, если α >1, и осо- бым, если 0 < α <1.

Пример 2. Решить уравнение xy′ + y = y2 ln x . Решение. Это уравнение Бернулли. Полагаем y = uv .

Тогда уравнение запишется так: xuv′ + v(xu′ + u) = u2v2 ln x . Из

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u , т.е.

является необходимым и достаточным для того, чтобы выражение Pdx + Qdy было полным дифференциалом функции u .

При этом

522