Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(теория)I том

.pdf

Скачиваний:

138

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5556 / 6056 57 58 59 60 > Следующая >>>

где y – прогиб, dydx

изгибающий момент;

= ϕ	– угол поворота; −EI			d 2 y	= M –
= ϕ	– угол поворота; −EI			dx2	= M –
				dx2
−EI		d3 y	= Q – поперечная		сила;
−EI		dx3	= Q – поперечная		сила;
		dx3

EI d 4 y = q – интенсивность нагрузки. dx4

Консольная балка (с одним свободным концом) в за- щемлении (x = 0) имеет краевое условие

y =	dy	= 0,	(4)
	dx

а на свободном конце (x = l) ,			так как поперечная сила

и изгибающий момент равны нулю, краевые условия име- ют вид:

2 y

d3 y

= 0.

(5)

dx2

dx3

Интегрируя последовательно дифференциальное уравнение (3),

имеем

d3 y

= qx + C , EI

d2 y

qx2 + C x + C ,

dx3

dx2

qx3 +

C x2 + C x + C , EIy =

qx4

C x3 +

x2 + C x + C .

Из краевых условий (4)

получим

C3 = C4 = 0.

Из усло-

вий (5)

C = −ql, C

ql2.

Таким

образом,

EIy =

qx4 −

qlx3 +

ql2 x2

откуда

x2 (x2 − 4lx + 6l2 ).

y =

24EI

Балка имеет максимальный изгиб на конце (при x = l)

y(l) =

ql4

. □

8EI

553

§ 7. Системы линейных дифференциальных уравнений

10 . Основные понятия и определения. Нормальной системой дифференциальных уравнений n-го порядка на-

з ы в а ю т		с и с т е м у							в и д а
		dx1		= f (t, x ,..., x ),
				= f (t, x ,..., x ),
		dt	1			1	n
		dt							(1)
	...............................,								(1)
		dxn		= f	n	(t, x ,..., x		)
				= f		(t, x ,..., x		)
		dt				1		n
		dt
или в векторной форме									(1΄)
				x = f (t, x) ,					(1΄)
			&

где f = col( f1;...; fn ) , x = col(x1;...; xn ) .

Порядком нормальной системы называется число входящих

в нее уравнений.

Линейной системой дифференциальных уравнений на-

зывается система

dxi	n
	= åaij (t)xj + fi (t), i =	1,n	, t Î I = (a;b)	(2)
dt
	j=1

или в матричной форме

dxdt = A(t)x + f (t) ,

где f

= col( f1;...; fn ) , x = col(x1;...; xn ) ,

æ a11(t) a12 (t) K a1n (t) ö

ç a

(t) a

(t) K a

(t)

æ a (t) j =

A(t) =

ç ij

ç K K K K

ç a

(t) a

(t) K a (t)

èi =1,n

ратная матрица размерности n × n .

1,nö

÷ –

(2΄)

квад-

554

Система dxdt = A(t)x называется соответствующей од-

нородной системой для (2΄).

Совокупность n функций x1 = ϕ1(t), x2 = ϕ2 (t),..., xn = ϕn (t) ,

определенных и непрерывно дифференцируемых на интер- вале (a;b) , называется решением системы (1) на этом ин-

тервале, если она обращает в тождество каждое уравнение данной системы, т.е.

dϕk

= f

(t,ϕ (t),ϕ

(t),...,ϕ

(t)), k =

, t (a;b) .

(3)

1,n

Задача Коши для системы (1) заключается в следую-

щем:

среди

всех

решений

найти

решение

x1 = x1(t) , x2 = x2 (t) ,…, xn = xn (t) , удовлетворяющее условиям

x1 = x10 (t) , x2 = x20 (t) ,…, xn = xn0 (t) при t = t0 ,					(4)
которые называются начальными условиями.
Совокупность n функций
x1	= ϕ1(t,C1			,C2 ,...,Cn ), x2 = ϕ2 (t,C1,C2 ,...,Cn ),...,	(5)
				xn = ϕn (t,C1,C2 ,...,Cn ),	(5)
				xn = ϕn (t,C1,C2 ,...,Cn ),
где Ci ,	i =	1,n	,	– произвольные постоянные, называет-

ся общим решением системы (1) в области единственности G , если: 1) при любых допустимых значениях постоянных C1, C2 , ..., Cn они удовлетворяют системе (1); 2) каковы бы н и б ы л и н а ч а л ь н ы е у с л о в и я ( 4 ) , м о ж н о

п о д о б р а т ь	т а к и е	з н а ч е н и я C10 , C20 , ..., Cn0	п о с т о я н н ы х
C1, C2 , ..., Cn ,	ч т о	р е ш е н и е x1 = ϕ1(t,C10 ,C20 ,...,Cn0 ),
x2 = ϕ2 (t,C10 ,C20 ,...,Cn0 ),..., xn = ϕn (t,C10 ,C20 ,...,Cn0 )			будет удовле-

т в о р я т ь н а ч а л ь н ы м у с л о в и я м ( 4 ) .

Систему (1) можно привести, вообще говоря, к одно- му уравнению n -го порядка. В самом деле, продифферен- цируем, например, первое уравнение системы (1) по t:

d2 x

¶f

¶f dx

¶f

+ ... +

(6)

dt2

¶t

¶x1

¶x2

¶xn

555

Заменив в (6)		dx1	,	dx2	,...,	dxn	правыми частями систе-
Заменив в (6)		dt	,	dt	,...,	dt	правыми частями систе-
		dt		dt		dt		d 2 x
								d 2 x
мы (1), получим	выражение вида							1	= F (t, x , x ,..., x	n	) .
мы (1), получим	выражение вида								= F (t, x , x ,..., x		) .
								dt2	2 1 2
								dt2

Дифференцируя снова по t и поступая аналогично, полу-

d3x

чим

= F (t, x , x ,..., x ) . Продолжая дальше,

будем иметь

dt3

1 2

dn x

= F (x , x ,..., x ) . Из полученной

системы

n −1

уравне-

dtn

n −1 величину

ний

можно,

вообще

говоря,

определить

x2 , x3,..., xn

(n−1)

. Подставляя эти выражения в

через t, x1, x1,..., x1

уравнение для

x(n) , получим уравнение вида

d(n) x

(n−1)

= F(t, x1, x1

, x1,..., x1

) .

(7)

dtn

Из самого способа получения уравнения (7) следует,

что если

x1(t), x2 (t),..., xn (t) –

решение

системы (1),

то x1(t)

будет удовлетворять уравнению (7).

Возможность перехода от системы к эквивалентному уравнению

можно использовать при ее решении.

От любого дифференциального уравнения порядка n

d n x

d n−1x ö

= F çt, x,

,...,

n−1 ÷

при помощи новых переменных

= x,

,..., y

d n−1x

можно

dtn−1

перейти к нормальной системе

, yn = F(t, y1, y2 ,..., yn ).

y1 = y2

, y2 = y3,..., yn−1 = yn

Если в системе (1) t

рассматривать как время,

x1, x2 ,..., xn – как

координаты точки n -мерного пространства (фазового пространства) Ox1x2...xn (в случае n = 2 это пространство есть плоскость Ox1x2

(фазовая плоскость)), то ее решение x1 = ϕ1(t), x2 = ϕ2 (t),..., xn = ϕn (t)

называется движением, определенным этой системой, а путь, который описывает движущаяся точка в фазовом пространстве (на фазовой плоскости) – траекторией этого движения. Очевидно, траектория

движения является проекцией соответствующей интегральной кривой

556

(множества точек (t;ϕ1(t);...;ϕn (t)), t (a;b) ) на фазовое пространство.

Левые части системы (1) есть составляющие по осям координат ско- рости движения точки. Поэтому система (1) задает поле скоростей движений, так что точка может проходить в момент времени t через положение (x1; x2;...; xn ) только с данной скоростью.

Если скорость, с которой точка проходит через положение (x1; x2;...; xn ) , не зависит явно от момента времени прохождения, то система (1) имеет вид

x&i = fi (x1,..., xn ), i =1,n,

и называется стационарной или автономной системой.

В том случае, если в начальной точке (x10; x20;...; xn0 ) правые части сис-

темы (1) обращаются в нуль при всех рассматриваемых значениях времени t , система (1) определяет движение вида

x	≡ x0	, x	≡ x0	,..., x	n	≡ x0.	(8)
1	1	2	2		n	n

Такое движение называют состоянием покоя. Траектория движения

(8) является точкой (x10; x20;...; xn0 ), которую называют точкой покоя

или точкой равновесия системы.

Пример 1. Тело брошено под углом α к горизонту и движется в среде, сопротивление которой пропорционально скоро- сти v тела. Найти траекторию

движения тела.

Решение. В любой точке N(x; y)

					траектории на					тело действует
					две
					силы: тяжести P = mg и сопротивления
					среды F = kv .
ис.1					Составляющие по осям координат их
равнодействующей (рис.1) представляются так:
			X = P cos(P, X ) + F cos(F, X ),							(9)
			Y = P cos(P,Y ) + F cos(F,Y ).							(9)
			Y = P cos(P,Y ) + F cos(F,Y ).
Учитывая,			что			cos(P, X ) = 0 ,				cos(P,Y ) = −1,
cos(F, X ) = −	dx	,	cos(F,Y ) = −			dy	, систему (9) можно запи-
cos(F, X ) = −	ds	,	cos(F,Y ) = −				, систему (9) можно запи-
	ds					ds
сать в виде				dx				dy
			X = −kv	dx	, Y = −mg − kv			dy	.	(10)
			X = −kv	ds	, Y = −mg − kv				.	(10)
				ds				ds

557

Как известно,

v =

поэтому система (10)

имеет сле-

дующий окончательный вид:

X = -k

Y = -k

- mg .

(11)

Используя второй закон динамики, составим дифференциальные

уравнения движения:

d 2 x

= -k

, m

d 2 y

= -k

- mg

или

dt2

d2 x

k dx

= 0 ,

d2 y

k dy

+ g = 0 .

(12)

dt2

m dt

dt2

m dt

d2 x

Пусть

= y ,

= y

тогда

, и приходим к

dt2

системе дифференциальных уравнений

dy1

y = 0 ,

dy2

+ g = 0 ,

которая в каждом уравнении содержит одну неизвестную функцию и поэтому ее интегрирование сводится к интегрированию двух отдельных дифференциальных уравнений.

Интегрируя каждое из уравнений системы (12), как линейное уравнение второго порядка, получим общее решение

x = C1 + C2e- mk t , y = C3 + C4e-mk t - g mk t .

Для нахождения частного решения используем начальные условия:

при t = 0 имеем x = 0, y = 0,		dx		= v

		dt		0

	-		k	×0
			m
Получаем 0 = C + C e				, 0
1	2

cosα, dydt = v0 sinα.

		e-	k	×0		gm
= C + C			m	×0	-	gm	×0. Так как
= C + C			m		-		×0. Так как
3	4					k
						k

C e-

= -

из

уравнения (12)

= -

, то

v cosα = -

C e-

×0 ,

v sinα = -

×0 -

. Из полученных

уравнений определяем произвольные постоянные:

C =

v cosα, C

= -

v cosα,

k 0

558

C =

(gm + kv sinα), C

= -

(gm + kv sinα).

Подставляя

найденные

значения

Ci , i =

1,4

общее

решение, получаем частное решение

(

×t )

(

×t )

- e

- ct,

x = a 1

- e

, y = b 1

где a =

v cosα, b =

(gm + kv sinα) ,

c =

откуда

k 0

- mk = - gc .

Для определения траектории движения тела исклю- чим из полученных решений время t . Из первого уравне-

1- e-

t =

Подставляя это

выражение во второе из уравнений,

получаем y = b

- ct,

откуда

t =

bx - ay

. Значение t вновь

подставляем

первое

из

уравнений.

результате

получаем

(bx-ay) ù

ac2

- e

x = a ë1

û. Следовательно, траектория движения

камня,

брошенного

под

углом

к горизонту, имеет вид кривой

ay - bx = acg2 ln a -a x . □

20 . Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Рассмотрим систему

dxdt = Ax ,

æ a11

ç a

где x = col(x1; x2;...; xn ) , A = ç 21

ç L

çè an1

i, j =1,n – действительные числа.

			(13)
a12	K a1n ö
a	K a ÷	,	a ,
22	2n ÷	,	a ,
L	L L ÷		ij
a	K a ÷
n2	nn ø

Метод Эйлера нахождения общего решения системы (13) состоит в следующем. По аналогии с методом Эйлера одного однородного

559

уравнения n -го порядка (см. §3) будем искать решения системы (13) в виде xi = γ ieλt , где γi , i =1,n , λ – постоянные числа, причем хотя бы одно число γ i ¹ 0 . После подстановки xi в систему (13) и сокращения на eλt ¹ 0 получаем

(a11 - λ)γ1 + a12γ 2 + ... + a1nγ n = 0,
a21γ1 + (a22	- λ)γ 2 + ... + a2nγ n = 0,	(14)
.................................................. ,

an1γ1 + an2γ 2 + ... + (ann - λ)γ n = 0.
Система (14) является системой n линейных одно-
родных алгебраических	уравнений с n неизвестными

γ1,γ 2 ,...,γ n . Для наличия у этой системы отличного от нуля

решения необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

a11 - λ	a12	K	a1n

a21	a22 - λ	K	a2n	= 0 .	(15)
K	K	K	K

an1	an2	K ann - λ

Равенство (15) является уравнением относительно λ

и называется характеристическим уравнением системы

(13). Его левая часть – многочлен степени n относительно λ с действительными коэффициентами, поэтому уравне- ние (15) имеет n корней с учетом их кратностей. Уравне- ние (15) считается характеристическим уравнением мат- рицы A , а его корни λ1,λ2 ,...,λn – собственными значения-

ми этой матрицы. Определив λ из (15), для каждого из λ1,λ2 ,...,λn находим соответствующий собственный вектор γ = col(γ1;γ 2;...;γ n ) матрицы A , определяемый системой (14).

Таким образом, функции xi = γ ieλt , i =1,n, являются i - ми компонентами решения системы (13) тогда и только тогда, когда числа γ i являются координатами собственного векто- ра γ матрицы A этой системы, причем λ – соответствующее собст- в е н н о е з н а ч е н и е м а т р и ц ы A .

Рассмотрим следующие случаи:

а) Корни уравнения (15) действительные и различ- ные. В этом случае матрица A имеет n линейно независи-

560

мых

собственных

векторов

γ 1,γ 2 ,...,γ n ,

где

γ j = col(γ1 j ;γ 2 j ;...;γ nj ) , j =

Тогда решением системы (13)

1,n

будут

линейно

независимые

вектор-функции

x j = γ jeλ jt

= col(γ1 jeλ jt ;γ 2 jeλ jt ;...;γ njeλ jt ) ,

j =

, и ее общее ре-

1,n

шение примет вид:

eλ1t

eλ2t + ... + C γ

eλnt ,

x = C γ

+ C γ

1 11

eλnt ,

= C γ

eλ1t

+ C γ

eλ2t + ... + C γ

(16)

K..................................................... ,

= C γ

eλ1t

+ C γ

eλ2t + ... + C γ

eλnt .

Пример 2. Найти общее решение системы

x& = 6x −12y − z , y& = x − 3y − z , z& = −4x +12y + 3z .

Решение. Составляем характеристическое уравнение

6 − λ

−12

−1

−3 − λ

−1

= 0 .

(17)

−4

3 − λ

Раскрывая определитель,

находим

или

(6 − λ)(λ2 − 9) − 48 −12 +12 + 4λ + 72 −12λ + 36 −12λ = 0

λ3 − 6λ2 +11λ − 6 = 0 .

Итак, уравнение (17) имеет корни

λ1 =1 , λ2 = 2 ,

λ3 = 3 .

Определяем собственные векторы матрицы коэффициентов

При λ =1 получим систему уравнений

5γ1 −12γ 2 − γ 3 = 0 , γ1 − 4γ 2 − γ 3 = 0 , −4γ1 +12γ 2 + 2γ 3 = 0 ,

одно из которых – следствие двух других. Исключив из первых двух уравнений γ 3 , получим γ1 = 2γ 2 . Из первого

и третьего уравнения имеем γ1 = −γ 3 . Полагая γ 2 =1, будем

иметь γ1 = 2 , γ 3 = −2 .

При λ = 2 получим систему

4γ1 −12γ 2 − γ 3 = 0 , γ1 − 5γ 2	− γ 3 = 0 ,	−4γ1 +12γ 2 + γ 3 = 0 .
Откуда 3γ1 = 7γ 2 , 8γ 2 = −3γ 3	. Тогда,	полагая γ1 = 7 , име-
ем γ 2 = 3 , γ 3 = −8 .
При λ = 3 имеем систему

3γ1 −12γ 2 − γ 3 = 0 , γ1 − 6γ 2 −γ 3 = 0 , −4γ1 +12γ 2 = 0 .

561

Из последнего уравнения находим γ1 = 3γ 2 . Подстав-

ляем это	значение γ1			в первое уравнение и находим
γ 3 = -3γ 2 .	Приняв γ 2 =1,			получим γ1 = 3, γ 3 = -3 .
Фундаментальная система решений:
для λ =1 :		x	= 2et ,	y		= et ,	z = -2et :
		1	= 7e2t ,	1		= 3e2t ,	1		= -8e2t ;
для λ = 2 :		x		y	2		z	2
		2
для λ = 3 :		x	= 3e3t ,	y		= e3t ,	z = -3e3t .
		3			3			3

Общее решение

x= 2C1et + 7C2e2t + 3C3e3t ,

y= C1et + 3C2e2t + C3e3t ,

z= -2C1et - 8C2e2t - 3C3e3t . □

б) Если среди корней характеристического уравнения

есть комплексно-сопряженные λ1,2 =α ± iβ , то им будут соответство-

вать собственные векторы с комплексно-сопряженными коэффициен- тами p ± iq .

	Найдя из (14), например,							для корня λ = α + iβ собст-
венный
	æ	p	+ iq	ö
	ç	1	1	÷
вектор ç ..........				÷ , записываем пару действительных решений, которые
	ç p		+ iq	÷
	è	n	n	ø
отвечают λ1,2 :
			æ eαt ( p cosβt - q sin βt)				ö
			ç	1	1		÷
			ç αt	( p2 cosβt - q2 sin βt)			÷	,
	ν1(t) = çe			( p2 cosβt - q2 sin βt)			÷	,
			ç ....................................				÷
			ç αt				÷
			èe	( pn cosβt - qn sin βt)ø
	æ eαt ( p cos βt + q sin βt)					ö
	ç	αt	1		1	÷
ν 2	ç	αt	( p2 cos βt + q2 sin βt)			÷
ν 2	(t) = çe		( p2 cos βt + q2 sin βt)			÷ .(18)
	ç .....................................					÷
	ç	αt				÷
	èe		( pn cos βt + qn sin βt)ø

562

<<< < Предыдущая 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5556 / 6056 57 58 59 60 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.201961 Кб7Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192 Мб64Мат Моделирование (конспект).doc
#
01.04.20252 Мб6МАТ.АН_1КУРС_3,4ГРУППА_ПИЦЕВИЧ.docx
#
01.03.202565 Кб3матан 1-13.docx
#
18.02.20163 Мб126Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164 Мб138Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161 Мб70Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
01.07.2025526 Кб0Материал к госэкзамену для заочников.doc
#
01.05.2025108 Кб1материал к кср налоговое.docx
#
01.07.2025187 Кб2Материал к экзамену по ИТ.doc