7.2.5. Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть

α =α(x) и

β = β(x)

бесконечно малые

функции при

x → x0

и пусть существует предел отношения lim

α(x)

= k .

x→x

β(x)

Определение

7.7.

0

Если k =1,

то

α(x) и β(x) называются

эквивалентными бесконечно малыми

и пишут α(x) ~ β(x) ;

если 0<

k

< ∞, то α(x)

и β(x) называются бесконечно малыми

одного порядка и пишут

α(x) = O(β(x))

или β(x) = O(α(x)) ;

если k = 0 ,

то α(x) называется бесконечно малой более высокого

порядка и пишется α(x) =о( β(x) );

если k = ∞ ,

то α(x) называется бесконечно малой более низкого

порядка чем β(x) (соответственно β(x)

― бесконечная малая более

высокого порядка, чем α(x)

и пишется

β(x) =о(α(x) );

если

α(x)

не

существует,

то

α(x)

и

β(x)

называются

xlim→x β

(x)

0

несравнимыми бесконечно малыми.

Пример 7.4.

Сравнить

бесконечно

малые

α(x)

и β(x) при

x → x0 :

а) α(x) =

3

, β(x) =

1

, x = ∞; б) α(x) = 3

, β(x) = x

, x = 0 ;

x

x2

x

0

0

в) α(x) = x , β(x) = sin 3x ,

x0 = 0 ;

г)

α(x) = x ,

β(x) = sin x , x0 = 0 ;

д) α(x) = x sin 1 ,

β(x) = x , x = 0 .

x

0

Решение. Имеем

а)

lim α(x)

= lim

3 x

= lim

3 = 0, α(x) = o (β(x));

2

x→∞

β(x)

x→∞

x

1

x→∞

x

α(x)

3

1

б)

lim

= lim

x

=

lim

= ∞, β(x) = o (α(x));

β(x)

x

3 x2

x→0

x→0

x→0

в)

lim

α(x)

= lim

x

= lim

3x

1 =

1

β(x)

sin 3x

sin 3x

3

x→0

x→0

x→0

3

3x

1

α(x) = O( β(x));

xlim→0

= 3

sin 3x

г) lim

α(x)

= lim

x

=1 α(x) ~ β(x)

β(x)

sin x

x→0

x→0

xsin

1

1

д) lim

x

= lim sin

. Данный предел не существует, значит

x

x

x→0

x→0

Если α(x) и β(x)

бесконечно малые функции при x → x0 , то

выражение α(x)

при x → x

называется неопределенностью

типа 0 ;

β(x)

0

0

если α(x) и β(x)

бесконечно большие функции при

x → x0 , то

выражение α(x)

при

x → x

называется неопределенностью типа

β(x)

0

∞ , а выражение α(x) −β(x)

неопределенностью типа

∞−∞.

∞

Если α(x)

бесконечно малая,

а β(x)

бесконечно большая

функции при x → x0 ,

то

α(x) · β(x)

называется неопределенностью

типа 0 ∞.

1∞,

∞0 , 00 .

Аналогично

определяются неопределенности

2x

2

+7x

−9

lim(2x2

+7x −9)

2

2

2

+7 2 −9

13

lim

=

x→2

=

=

;

x

2

+ x −2

lim(x

2

+ x −2)

2

2

+ 2 −2

4

x→2

x→2

б)

lim

2x2 +7x −

9

. Здесь нельзя применить теорему о пределе

x

2

+ x −2

x→1

частного, так как предел знаменателя и

числителя

равен

нулю.

Значит,

имеем

неопределенность

типа

0 .

Для раскрытия

этой

0

используя формулу ax2 +bx +c = a(x − x )(x − x ).

1

2

2

+7x −

2(x

−1)(x + 9)

Тогда lim

2x2

9 = lim

2

=

+ x −2

(x −1)(x +2)

x→1

x

x→1

2(x +

9

=lim

2)

= lim

2x +9

= 2 1+9

= 11

;

x +2

x→1

(x + 2)

x→1

1+2

3

в)

lim

2x2 +

7x −

9

.

В этом случае и числитель, и знаменатель при

x

2

+ x

−2

x → ∞

x→∞

стремятся

к

бесконечности, т.е.

являются

бесконечно

большими функциями.

Имеем неопределенность типа

∞ . Для ее

∞

2

9

2 +

7

−

9

x

x2

lim

2x2 +7x −

= lim

.

1

x→∞

x

+ x −2

x→∞ 1+

−

2

x

x2

7

9

1 ,

2

Так как

,

,

являются бесконечно малыми при x → ∞,

x

x2

x2

x

Решение. Так как lim sin 3x = sin 0 = 0 и

lim tg5x = tg 0 = 0 , то

x→0

x→0

sin 3x

так, чтобы использовать первый замечательный предел

tg5x

+

1 x

предел lim 1

x

= e :

x→∞

x +2 5x+2

2 5x+2

lim

= lim 1

+

=

x

x→0

x→∞

x

(5x+2)2

x

x

lim10x+4

2)2

= e10

lim (1

+

= e x→∞

x

x→∞

x