Решение. Имеем y′ = cos x, y′′ = −sin x, y′′′ = −cos x, y(4) = sin x,
далее производные повторяются в том же порядке.
|
|
Поскольку cos x = sin(x + π ), |
y′ = cos x |
= sin(x + |
π ), |
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
′′ |
π |
π |
то |
|
(n) |
|
π |
|
|
y |
= −sin x = cos(x + 2 ) = sin(x + 2 |
2 ),..., |
y |
=sin(x + n 2 ), |
n =1,2,.... |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
Определение 8.11. Значение дифференциала |
|
|
||||||
|
|
d(dy) = d 2 y = f ′′(x0 )dx2 |
|
|
||||||
называется вторым дифференциалом функции |
f (x) в |
точке x0 . |
||||||||
Аналогично определению 8.10 вводится дифференциал n -го порядка
d n y функции y = f (x) в точке x0 :
d n y = y(n)dxn .
Дифференциалы высших порядков обладают свойствами:
1)d n (y1 + y2 ) = d n y1 + d n y2 ;
2)d n (cy) = cd n y ;
3) d n (y y |
2 |
) = |
n |
C |
k d n−k y d k y |
2 |
, где C k = n(n −1)...(n − k +1) |
|
1 |
|
∑ |
n |
1 |
n |
1 2 ... k |
||
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
число сочетаний из n элементов по k элементов. |
|
|||||||
8.2.4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. |
||||||||
Теорема 8.7 (Ферма). Пусть функ- |
|
|||||||
ция y = f (x) определена на некотором |
|
|||||||
интервале (a,b) и в точке c (a,b) |
при- |
|
||||||
нимает наибольшее или наименьшее значение. Если существует производная в этой точке f ′(c) , то она необходимо рав-
на нулю: f ′(c) = 0 .
Геометрически – касательная к графику в точке локального экс-
тремума параллельна оси Ox, так как kкас = f ′(c) = 0 .
Теорема 8.8 (Ролля). Пусть функция f (x) удовлетворяет следующим условиям:
1)непрерывна на отрезке [a,b];
2)имеет производную на интервале (a,b);
117
3) на концах интервала принимает равные значения: f (a) = f (b) . Тогда существует точка c (a,b), такая, что f ′(c) = 0 .
Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что на графике функции, удовлетворяющем условию теоремы, обязательно существует точка (по крайней мере, одна ) в которой касательная к графику параллельна оси Ox .
Теорема 8.9 (Лагранжа). Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
функция y = f (x) |
непрерывна на отрезке [a,b] и имеет производную |
||||||||||||||||||||||||
в каждой |
точке |
интервала |
(a,b) . Тогда |
|
существует |
такая точка |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c (a,b), |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
(8.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (b) − f (a) = f (c)(b − a) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в равенстве (8.14) обозна- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
чить |
c − a |
|
|
=θ , откуда |
c = a +θ(b −a), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где 0 <θ <1 (ведь a < c < b) , |
то (8.14) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
перепишется в виде |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
f (b) − f (a) = f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.15) |
|||
|
|
|
|
(a +θ(b − a))(b − a) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Положим |
|
теперь |
|
|
a = x, |
b −a = ∆x |
, |
|
b |
= |
x |
+ ∆ . |
|
Тогда |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.16) |
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x + ∆x) − f (x) = f (x +θ ∆x) ∆x, 0 <θ <1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Формула (8.16) называется формулой конечных приращений в от- |
|||||||||||||||||||||||||
личие от приближенного равенства |
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f |
′ |
|
, кото- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x)∆x |
|
|||||||||||||
рое называется формулой бесконечно малых приращений. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Теорема 8.10 (Коши). Пусть функции |
|
f (x) |
и g(x) |
непрерывны |
|||||||||||||||||||||
на отрезке |
[a,b] |
и имеют производные в каждой точке интервала |
|||||||||||||||||||||||
(a,b) |
, |
причем |
′ |
|
для всех |
x |
|
(a,b) |
. |
|
Тогда существует такая |
||||||||||||||
|
|
|
g (x) ≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
точка |
c (a,b), что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (b) − f (a) |
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(c) |
|
|
|
|
|
|
|
(8.17) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
′ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
g(b) − g(a) |
|
(c) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Формула (8.17) называется обобщенной формулой конечных приращений Коши.
118
8.2.5. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Используем понятие производной для раскрытия неопределенностей.
Теорема 8.11. Пусть имеется частное двух функций f (x) |
, |
где |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
функции f (x) и g(x) |
определены в промежутке [a, b], имеют конеч- |
||||||||||
ные производные |
f |
′ |
|
|
и |
′ |
в этом промежутке, за исключением |
||||
|
(x) |
|
g (x) |
|
|
|
|
|
|||
быть может точки |
|
x |
= |
a |
, |
причем |
′ |
. Тогда, если обе функции |
|||
|
|
|
|
|
g (x) ≠ 0 |
|
|
|
|
||
бесконечно малые или бесконечно большие при x → a , т.е. если част-
ное f (x) при |
x → a представляет неопределенность 0 или |
∞ |
, то |
||||||
|
g(x) |
|
|
|
|
0 |
∞ |
|
|
|
|
|
lim |
f (x) |
= lim |
f ′(x) |
|
|
(8.18) |
|
|
|
g(x) |
′ |
|
||||
|
|
|
x→a |
x→a |
|
|
|||
|
|
|
|
|
g (x) |
|
|
||
Правило (8.18) применимо в тех случаях, когда предел отношения производных существует. Правило применимо и в тех случаях, когда a = ∞.
Раскрытие неопределенностей ∞ −∞, 0 −∞ и 00 , ∞0 , 1∞ тоже можно осуществлять с помощью правила Лопиталя, если только пре-
образовать выражения к виду 0 |
и |
|
∞ |
с помощью алгебраических |
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразований и логарифмирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 8.9. Найти пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) lim |
x3 −7x2 + 4x + 2 |
; |
б) lim |
ln x |
; |
в) lim( |
x |
− |
1 |
) |
||||
x→1 |
x3 −5x + 4 |
|
x→∞ |
x |
|
|
x→1 |
ln x |
|
ln x |
|
|||
|
|
lim x |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
г) lim sin x ln x ; д) |
1+ln x |
; |
е) |
lim (ctg x) |
ln x |
|
|
|
|
|||||
x→+0 |
x→+0 |
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1
ж) lim(1+ x2 ) ex −1−x .
x→0
Решение.
а) Здесь имеем неопределенность 0 (характер неопределенности
0
указываем в квадратных скобках). Применяя правило Лопиталя, получаем:
119
lim |
x3 −7x2 + 4x + 2 |
=[ |
1−7 + 4 + 2 |
= |
0 |
] |
= lim (x3 −7x2 + 4x + 2)′ = |
||||||||||||
|
1−5 + 4 |
|
0 |
||||||||||||||||
x→1 |
x |
3 − |
5x |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
x→1 |
(x |
3 |
−5x |
′ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
=lim |
3x2 −14x + 4 |
= |
3 −14 + 4 |
|
= 7 ; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
3x |
2 |
− |
5 |
|
|
|
3 −5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) Здесь имеем неопределенность ∞∞ . Применяя правило Лопиталя, получим:
lim ln x = |
∞ |
|
(ln x)′ |
|
1 |
|
|||
= lim |
= lim |
x |
= 0. |
||||||
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
x |
′ |
|
1 |
|
|
x→∞ |
|
∞ |
|
x→∞ |
|
||||
|
|
|
x→∞ |
|
|
||||
в) Здесь имеем неопределенность ∞ −∞. Приводя дроби к обще-
му знаменателю, получаем неопределенность 0 , применяем правило
0
Лопиталя и получаем ответ. Таким образом:
lim( |
x |
− |
1 |
) =[∞ −∞]= lim |
x −1 |
= |
0 |
|
= lim (x −1)′ |
= |
lim |
1 |
=1 |
. |
||||
ln x |
ln x |
|
|
|
|
|||||||||||||
x→1 |
|
x |
→ |
ln x |
|
0 |
x |
→ |
(ln x)′ |
|
1 |
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
x→1 |
|
|
||||||||
x
г) Здесь имеем неопределенность 0 ∞. Преобразуя ее к неопределенности ∞∞ , применяя правило Лопиталя и затем теорему о преде-
ле произведения, получим
lim sin x ln x =[0 ∞]= lim |
|
ln x |
= ∞ = |
|
|
(ln x)′ |
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
lim |
= |
lim |
x |
|
= |
|||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
−cos x |
||||||||||||||||
x→+0 |
|
|
|
|
x→+0 |
|
∞ |
x→+0 |
|
′ |
x→+0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
sin x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= lim tgx lim |
sin x |
= −0 1 = 0. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
x→+0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д) Здесь |
|
имеем неопределенность |
00 . |
Используем |
равенство |
||||||||||||||||
|
lim ln y |
. Находим предел ln y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim y = ex→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3ln x |
|
= |
∞ . |
|
|
|
||||
lim |
ln(x |
1+ln x |
) = lim |
|
ln x = lim |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→+0 |
|
|
|
|
x→+01+ ln x |
x→+01+ ln x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|||||||||||
Теперь можно применить правило Лопиталя:
120
|
3 |
|
|
(3ln x)′ |
|
3 |
|
1 |
|
3 . Значит, |
|
3 |
= e3. |
||
lim |
= lim |
= |
x |
|
lim |
x |
1+ln x |
||||||||
1+ ln x |
lim |
|
|
= |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
x→+0 |
x |
→+ |
(1+ ln x)′ |
|
1 |
|
x→+0 |
||||||||
|
0 |
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x
е) Здесь имеем неопределенность вида ∞0 . Находим предел ln y :
|
|
|
|
1 |
|
|
ln(ctgx) = |
|
∞ |
|
|
|
lim (ln(ctgx))′ = |
|
|||||||
|
|
|
lim ln((ctgx) |
ln x |
) = lim |
= |
|
|
|||||||||||||
|
|
x→+0 |
|
|
|
x→+0 |
|
ln x |
|
|
|
|
|
x→+0 |
(ln x)′ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
−1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
lim |
ctgx |
sin2 x |
= = − lim |
|
= − lim |
|
|
|
|
lim |
= −1 |
1 |
= −1. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→+0 |
x→+0 cos xsin x |
x→+0 cos x |
|
x→+0 sin x |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Тогда искомый предел равен |
|
|
|
|
|
|
|
= e−1 = 1. |
|
|
|||||||||||
|
lim |
(ctgx) |
ln x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
ж) Здесь имеем неопределенность 1∞ . Снова находим предел ln y :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ln(1+ x2 ) |
ex −1−x |
= lim |
|
|
|
|
|
ln(1+ x2 ) = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1− x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 ex |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
lim ln(1+ x2 ) |
|
|
0 |
|
|
|
(ln(1+ x2 ))′ = lim |
|
|
|
2x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
= |
|
= lim |
|
1+ x2 |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x→0 e |
x |
−1− x |
|
|
|
|
x→0 (e |
x |
−1− x)′ x→0 |
e |
x |
−1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x) |
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(1 |
+ x |
2 |
)(e |
x |
−1) |
|
|
(1+ x |
2 |
)′(e |
x |
−1) + (1 |
+ x |
2 |
)(e |
x |
−1)′ |
||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2x(ex −1) + (1+ x2 )ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Тогда искомый предел равен |
lim (1+ x2 ) |
|
x→0 |
1
ex −1−x = e2 .
Заметим, что правило Лопиталя применимо только тогда, ко-
гда справедливы условия теоремы, т.е. когда существует предел отношения производных. Например,
|
lim |
x +sin x |
= |
∞ |
= lim 1+sin x = 1+ 0 =1. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→∞ x |
|
|
x→∞ |
1 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|||||
|
Правило |
|
Лопиталя |
здесь |
ответа |
не |
дает, |
ибо |
|||
lim |
(x +sin x)′ |
= lim |
1+ cos x |
не существует. |
|
|
|
||||
x→∞ |
x |
x→∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
121