8.1.Производная

Пусть функция

y = f (x) определена в

некоторой окрестности

точки x0 .

Определение 8.1. Производной функции

f в точке x0

называет-

ся число, обозначаемое f ′(x0 ) , равное пределу отношения

прираще-

ния функции ∆f (x0 )

в этой точке к приращению аргумента ∆x при

f ′(x0 ) = lim

∆f (x0 )

= lim

f (x0 +∆x) − f (x0 )

(8.1)

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

или, если обозначить x = x0 +∆ x , то при ∆x → 0

будет x → x0

и

′

f (x) − f (x0 )

(8.1а)

f (x ) = lim

x − x

0

x→x0

0

Определение 8.2. Функция, имеющая конечную производную в

точке x0 , называется дифференцируемой в этой точке.

Определение 8.3. Если в точке x0

функция

f (x) непрерывна, а

f+′(x0 ) = lim

f (x0

+∆x) − f (x0 )

(8.2)

∆x

∆x→+0

и

f (x0

+∆x) − f (x0 )

f−′(x0 ) = lim

(8.3)

∆x

∆x→−0

f ′(x0 ) , fx′(x0 ) ,

df (x0 ) ,

dy(x0 ) , f ′(x)

x=x

и т. д.

dx

dx

0

Пример 8.1. Пользуясь определением производной, вычислить

f

′

, если f (x) = x +3 .

(−2)

Решение. Имеем: x0 = −2,

f (x0 ) =

=1,

x0 +∆x = −2 +∆x,

−2 +3

f (x0 +∆x) =

=

, ∆f (x0 ) =

−1.

−2 +∆x +3

1+∆ x

1+ ∆x

Согласно (8.1)

находим

′

числитель и знаменатель

(

−1)(

+1)

f

1+∆x

1

+∆x

(−2)

=

=

lim

=

умножим на

1

+∆x +1

∆x→0

∆x(

1+∆x

+1)

−12 ) =

= lim

(

(1+∆x)2

lim

1+ ∆x −1

= lim

1

= 1 .

∆x→0

∆x( 1+∆x +1)

∆x→0

∆x( 1+∆x

+1)

∆x→0

1

x

1

2

+∆ +

Пример 8.2. Пользуясь определением производной, вычислить

f

′

3

f (x)

=

x .

(0) для функции

Решение. Имеем: x0 = 0,

f (x0 ) = f (0) = 0 , x0 +∆x = ∆x,

f (x

+∆x) = 3

. Согласно (8.1) находим

∆x

0

3

1

′

∆x

∆x

= +∞.

lim

=

f (0) =

lim

3

(∆x)3

=

lim

∆x→0 ∆x

∆x→0

∆x→0 3 (∆x)2

Пример 8.3.

Найти по определению производной f

(0) , если

′

f (x) =

x

.

Решение. Имеем: x0 = 0, f (x0 ) =

0

= 0 ,

x0 +∆x = ∆x.

Тогда

f (x0

+∆x) =

0 +∆x

=

∆x

∆x,

если

∆x > 0,

=

Следовательно

−∆x,

если

∆x <0.

∆x

= 1,

если

∆x > 0,

lim

∆f (x0 ) =

lim

∆x

если

∆x <0.

∆x→0 ∆x

∆x→0

−1,

проходящей

через

две

заданные

точки

М0 (x0 ; f (x0 ))

и

М

1

(x ; f (x )) , которое имеет вид

y − f (x0 )

=

x − x0

, получим

1

1

f (x1) − f (x0 )

x1 − x0

уравнение секущей

y =

f (x1) − f (x0 )

(x − x

) + f (x )

(8.4)

x1 − x0

0

0

Сравнивая

уравнение (8.4) с уравнением прямой с угловым к

о-

эффициентом,

заключаем,

что угловой коэффициент k

секущей

l

имеет вид

f (x1) − f (x0 )

.

k =

x − x0

Определение 8.5. Если точка M1 ,

двигаясь

по

графику

непрерывной

функции

f ,

приближается к точке

M0 , а секущая l при этом стремится к

Рис.8.1.

некоторому предельному положению,

Тогда lim

f (x1) − f (x)

= f

′

x→x0

x

− x

0

1

0

рейдет в уравнение касательной:

y = f ′(x0 ) (x − x0 ) + f (x0 )

(8.5)

Таким образом,

производная функции y = f (x) ,

вычисленная в

угловой коэффициент kн

нормали выражается через угловой коэффи-

циент kкаc касательной по формуле

kн = −

1

= −

1

.

Следова-

kкас

f ′(x0 )

тельно, уравнение нормали к кривой y = f (x)

в точке M0

имеет вид

y = f (x ) −

1

(x − x )

(8.6)

0

f ′(x0 )

0

Пример 8.4. Составить уравнения касательной и нормали к кри-

вой y = x3 в точке M0 (2 ;8) .

Решение. Имеем

f (x) = x

3

, f

′

3 ′

= 3x

2

;

(x) = (x

)

f (x0 ) = f (2) =8 ; f ′(x0 ) = f ′(2) = 3 22 =12.

Используя уравнение

y = 8 −

1

(x −2) или 12y = 96 − x +2 или

x +12y −98 = 0.

12

Если f ′(x0 ) = ±∞ , то уравнение касательной имеет вид x = x0.

Определение 8.7. Пусть две кривые y = f (x)

и

y = g(x) пересе-

каются в точке

(x0 , y0 ), т.е.

y0 = f (x0 ) = g(x0 ).

Углом α между

tgα =

k2 −k1

=

g′(x0 ) − f ′(x0 )

1+ f ′(x0 )g′(x0 )

1+k1k2