2.2.3. Интегрирование тригонометрических функций

∫ sin ax cosbxdx,

∫ cos ax cosbxdx,

∫ sin axsin bxdx, где

sin ax cosbx = 1

(sin(a −b)x +sin(a +b)x),

2

cos ax cosbx =

1

(cos(a −b)x +cos(a +b)x),

2

sin ax sin bx =

1 (cos(a −b)x −cos(a +b)x).

2

Пример 2.8. Найти ∫ sin 2x sin 4xdx.

Решение.

∫sin 2xsin 4xdx = ∫1 (cos(2x −4x) −cos(2x + 4x))dx =

2

=

1 ∫

cos 2xdx − 1 ∫

cos6xdx =

1 sin 2x

− 1

sin 6x

+C =

2

2

2

2

2

6

=

1 sin 2x −

1

sin 6x +C.

4

12

Вычисление интегралов вида ∫

R(sin x,cos x)dx, где R −ра-

циональная

функция.

Если

выполнено

равенство

ляется нечетной по sin x , то используем подстановку t = cos x;

ес-

ли выполнено равенство R(sin x,−cos x) = −R(sin x,cos x),

т.е.

ем

подстановку

t = sin x ,

если

выполнено

равенство

R(−sin x,−cos x) = R(sin x,cos x),

то

применяем

подстановку

= ∫

(1−t2 )dt = ∫ 1 dt − ∫ t2dt = t − t3

+C =sin x − sin3 x

+C.

3

3

нометрическую подстановку t = tg

x

,

2

2 tg

x

2t

1

− tg

2

x

= 1−t2

sin x =

2

=

,

cos x =

2

,

x

1+ y2

2 x

1

+ tg

2

1

+ tg

1+t2

2

2

x = 2arctg t,

dx =

2dt

.

1+t2

Пример 2.10.

Найти ∫

dx

.

sin x +5cos x +5

Решение. Выполняя подстановку t = tg

x

, получаем

2dt

2

2dt

2dt

dt

∫

1+t2

= ∫

= ∫

= ∫

=

2t

+

5

1

−t2

+

5

2t +

5 −5t2 +5 +5t2

2t +10

t +5

1+t2

1+t2

x

= ln

t +5

+C = ln

tg

+5

+C.

2

ет и интеграл ∫

′

u(x)v (x)dx, причем справедлива формула

∫

′

′

(2.5)

u(x)v (x)dx = u(x)v(x) −∫

v(x)u (x)dx .

Пример 2.11. Найти ∫ x cos xdx.

Решение.

Пусть u = cos x,

dv = xdx. Покажем, что такой вы-

бор функций

u и v

является неудачным. Действительно, так как

du = −sin xdx,

v = ∫

xdx =

x2

,

то по формуле (2.5) имеем:

2

∫ x cos xdx = cos x

x2

− ∫

x2

(−sin x)dx =

2

2

=

x2

cos x + ∫

x2

sin xdx.

2

2

Получили, что

∫

x2

sin xdx

сложнее, чем исходный интеграл.

2

arcsin x

arccos x

1. Интегралы вида ∫

arctgx

Pn (x)dx

arcctgx

ln x

ln(φ (x))

ax

2. Интегралы вида ∫

e

dx

Pn (x) cos ax

sin ax

∫ eax cosbxdx,

∫ eax sin bxdx,

∫ sin(ln x)dx , ∫ cos(ln x)dx ,

∫

∫

∫

dx

x

2

+ adx,

a

2

− x

2

dx,

и некоторые другие вы-

(x2 + a2 )n

Пример 2.12.

Найти

∫ ln xdx.

= ln x,

dv = dx,

du =

1

dx,

v

=

Решение. ∫ ln xdx = u

x

= x

= x ln x − ∫ x dx = x ln x − x +C

x

Пример 2.13. Найти

∫ arcsin xdx .

Решение.

∫

arcsin xdx =

u = arcsin x,

dv = dx,

du =

1

dx,

v = x

=

1− x2

x arcsin x − ∫

xdx

= [

−2xdx = 2tdt]=

1− x2

= t,

1− x2

= t2 ,

1− x

2

== x arcsin x + ∫ tdt

=x arcsin x +

1− x2 +C.

t

Пример 2.14.

Найти

∫ e3x cos 2xdx .

Решениe.

I = ∫ e3x cos 2xdx =

=

3x

,

dv = cos 2xdx,

du = 3e

3x

dx,

v = ∫ cos 2xdx =

1

=

u = e

2

sin 2x

=

1 e3x sin 2x − 3 ∫ e3x sin 2xdx = [u = e3x ,

dv = sin 2x,

du = 3e3x ,

2

2

v = ∫ sin 2xdx = − 1 cos 2x

]= 1 e3x

sin 2x −

2

2

−

3

(−

1 e3x cos 2x + 3 ∫ e3x

cos 2xdx) =

1 e3x sin 2x +

3 e3x cos 2x − 9

I.

2

2

2

2

4

4

Значит, I =

1 e3x sin 2x + 3 e3x cos 2x −

9

I.

2

4

4

Отсюда

I =

2

e3x sin 2x +

3

e3x

cos 2x +C.

13

13