Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика - 2.Уч.-практ.пособие.pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3128 29 30 31 > Следующая >>>

2б. Определенный интеграл

1.Что называется разбиением отрезка [a,b] и как оно обозначается?

2.Что называется интегральной суммой или суммой Римана?

3.Сформулируйте понятие предела интегральных сумм.

4.Каков геометрический смысл определенного интеграла?

5.Сформулируйте необходимое условие интегрируемости функции и покажите на примере функции Дирихле, что оно не является достаточным.

6.Перечислите классы интегрируемых функций.

7.Заучите свойства определенного интеграла.

8.Сформулируйте теорему о среднем значении.

9.Что называется интегралом с переменным верхним пределом?

10.Сформулируйте теорему о существовании первообразной для

непрерывной на [a,b] функции f(x) в виде интеграла с перемен-

ным верхним пределом.

11. Докажите теорему: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – какая-нибудь первообразная для f(x) на этом отрез-

ке,		то	справедлива	формула	Ньютона-Лейбница:
∫b	f (x)dx = F(x)		b = F(b) − F(a) .
∫b	f (x)dx = F(x)		b = F(b) − F(a) .
a			a
a			a

12.Изучите вопрос о замене переменной и интегрировании по частям в определенном интеграле, обратив внимание на примеры, разобранные в учебнике.

13.Докажите следующее свойство: определенный интеграл от нечет-

ной функции по симметричному отрезку [a, a] равен нулю.

14.Внимательно изучите раздел, посвященный геометрическим и экономическим приложениям определенного интеграла, разобрав приведенные в учебнике примеры.

15.Запишите формулы для вычисления площади плоской фигуры, объема тела вращения и длины дуги плоской кривой.

16.Что называется несобственным интегралом функции f (x) :

а) по промежутку б) по промежутку в) по промежутку

[a,+∞) ?

(−∞, a] ?

(−∞,+∞) ?

133

17.Что называется несобственным интегралом от неограниченной на отрезке функции f (x) ?

18.Приведите примеры сходящихся и расходящихся несобственных интегралов.

Тренировочноезадание № 2б

1. Вычислить определенные интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница:

а) ∫3 (2x3 + x2 −5)dx ;		б) ∫1		dx		;

				4 − x	2
−2		0		4 − x
π
в) ∫2	cos3 x dx ;	г) ∫3	(x3 −5x +sin x)dx .
0		−3

2. Пользуясь заменой переменной в определенном интеграле, вычислить следующие определенные интегралы:

а) ∫e

;

б) ∫2 xex2 dx ;

x 1+ln x

в) ∫4

x dx

;

г) ∫1

x dx

2 + 4x

−1 x

+ x +1

3. Применяя формулу интегрирования по частям, вычислить следующие определенные интегралы:

а)	∫2	x2 ln x dx ;		б)	∫1 arccos x dx ;
	1				0
	π
	∫2				∫1
в)	∫2		x cos x dx ;	г)	∫1	4 − x2 dx .
	0				0
4.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 2x − x2

иy = x .

5.Вычислить длину дуги полукубической параболы y2 = x3 от

начала координат до точки (5; 55) .

134

6.	Вычислить объем тела, образованного при вращении вокруг
оси Ох фигуры, ограниченной кривыми		y = sin x (одной полувол-
ной) и	y = 0.
7.	Пусть функция g(t) = (t −1)2 задает мощность потребления
электроэнергии на промежутке времени		t [0; 2], т.е. потребление

энергии сначала падает, затем возрастает. Найти расход энергии на этом промежутке времени.

8. Пусть мгновенная мощность производства некоторой про-

дукции есть функция времени		p(t) = t3 ,	где	t [0; 2]. Найти вы-
пуск продукции V за время T = [0; 2].
9.	Пусть функция Джинни	y = y(x) ,		показывающая часть
y(x)	всего общественного богатства, которой владеет х–я часть
самых бедных людей общества, есть а)			y = x2 ; б) y = x3 . Найти

коэффициент Джинни распределения богатства в обществе.

Решение тренировочного задания№ 2б

1. Используя свойства определенного интеграла, таблицу неопределенных интегралов и формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

а) ∫3

(2x3 + x2 −5)dx = ∫3

2x3dx + ∫3

x2dx − ∫3

5dx = 2

3 +

3 −

−2

−5x −32 = 12 (34 −(−2)4 ) + 13 (33 −(−2)3 ) −5(3 −(−2)) = 12 (81−16) +

+13 (27 +8) −5(3 +2) = 32 12 + 353 −25 = 32 +11−25 + 12 + 23 =19 16 ;

	1		dx					x	1		1		π		π
	1
б)	∫					= arcsin				= arcsin		−arcsin 0 =		−0 =		;
								2			2		6		6
			4 − x	2					0
	0
	0
	π					π					π
в)	∫2	cos3 x dx = ∫2					cos2 x cos x dx = ∫2					(1−sin2 x)d(sin x) =
	0				0						0

135

π			π					π						π
2	d(sin x) − −		2	sin2		xd(sin x) =sin x		2			3	x		2	=
			2								3
∫			∫						− sin
∫			∫							3
0			0					0		3				0
								0						0
				sin3	π
= sin		π −sin 0 −		sin3		2	+ sin3 0 = 1−0 −		1 +0 =			2	;
= sin		π −sin 0 −		3			+ sin3 0 = 1−0 −		1 +0 =			3	;
		2		3		0			3			3
г) подынтегральная функция f (x) = x3 −5x +sin x является не-
четной,		так как		f (−x) = (−x)3 −5(−x) +sin(−x) = −x3 +5x −sin x =

= −(x3 −5x +sin x) = − f (x) ; промежуток интегрирования [–3; 3] си м- метричен, поэтому данный интеграл равен нулю.

2. При использовании метода замены переменной при вычислении определенных интегралов надо заменить пределы интегрирования с помощью формулы замены переменной. При этом отпадает необходимость возвращаться к исходной переменной интегрирования.

а) ∫e

= [

= t, 1+ln x = t2 , d(1+ln x) = d(t2 ),

1+ln x

x 1+ln x

1 dx = 2tdt ;

(1+ln x)′dx = (t2 )′dt ,

если

x =1,

то

t =

=1;

1+ln1

если x = e , то t =

]= ∫2

2t dt

= 2 ∫2

dt = 2t

2 = 2(

−1) ;

1+ln e

б) ∫2

xex2 dx

=[x2 = t,

d(x2 ) = dt, 2x dx = dt,

x dx =

1 dt,

если

dt =

x=0, то t = 0 , если x = 2 , то t = 4] = ∫

= 1

(e4 −e0 ) = 0,5(e4 −1) ;

= [

в) ∫4

x dx

= t, 2 + 4x = t2

x = t2 −2 ,

dx = 2t dt ,

2 + 4x

136

				dx =								1 t dt ; если х = 1, то																																					t =													; если х = 4,																				то t =													]
				dx =								1 t dt ; если х = 1, то																																					t =										6			; если х = 4,																				то t =										18			]
											2
																																																																																			18
								18						(t			2		−2)t dt																	1						18				2																		1					3														18
					= ∫									(t					−2)t dt												=					1					∫ (t					2			−			2)dt									=			1		t					−2t															=
																																																																		t
																			4				2t													8																												8				3

																																																																																6
									6																																		6																																					6
						1					18																													6																									1																3
																			18																										6																																								2	;
				=															18					−2 18 +																					6			−2 6															=					4 18 =																	2
				=																				−2 18 +																								−2 6															=					4 18 =
						8										3																												3																					8																	2
						8										3																												3																					8																	2
								1										x dx															1																x dx																									1										x dx
			г)					∫										x dx											=				∫																x dx																					= ∫														x dx										=
			г)					∫					x			2		+ x				+1							=				∫				x			2		+			2	1				x +								1			−			1		+		1		= ∫														1				2			3			=
							−1						x					+ x				+1										−1								2						1												1						1									−1											1					+		3
																																															2											4						4														x +						2					+		4
																																															2											4						4																				2							4
										1				= t, x								= t				−				1			,					dx = dt;														если х = –1,																						то t								= −				1			; если х = 1,
				x +						2				= t, x								= t				−				2			,					dx = dt;														если х = –1,																						то t								= −				2			; если х = 1,
										2																				2																																																								2
																										3														1													3																					3
																			3							2						t					−			2				dt									2								t dt									1				2								dt
					то t =																			= ∫																2									= ∫																		−						∫													=
					то t =														2					= ∫													2							3					= ∫												2				3		−			2			∫							2				3		=
																			2						−		1								t		2			+				3								−		1					t		2		+		3					2					1				t	2		+		3
																									−		2								t					+				4								−		2					t				+		4							−			2				t			+		4
																			3								2																	4										2											4										2									4
			3										2						3										3
	1 2						d t									+			4						1 2																	dt																		1											3					3						1				2									2t		3


																																																																			2									2																					2
=			∫1																				−		2 ∫1																											= =											ln t					+											−			2							arctg										=
	2																3																														2													2											4
																																																																																						3									3
									t		2			+																															3																															−	1									3									3		−1
		−		2													4											−		2				t	2																																										2																				2


																																						+						2
																																												2
	1															3					3					1							2																2t						23									1							9								3										1				3
																					3
								2													2
=			ln t								+													−															arctg																						=				ln										+						−ln									+					−


	2															4				−1						2									3																3													2							4 4																4						4
	2															4				−1						2									3																3					−		1						2							4 4																4						4
																					2																																					2
	1																2 3									1														1										1																							1
																																																																																																		3
																																																																																																		3
−					arctg																			−								−														=							(ln3−ln1) −																									arctg										3 +arctg												=
−					arctg																			−								−														=							(ln3−ln1) −																									arctg										3 +arctg												=
	3															2 3													3												3									2																									3																					3
	3															2 3													3												3									2																									3																					3
						=					1				ln 3						−			1							π					+				π					=					1							−					π				.

											2																				3									6									ln 3
											2														3						3									6									ln 3											2				3

137

3. Пользуясь формулой интегрирования по частям в определенном интеграле

∫b udv = (uv)	b	−∫b udv

a	a	a
и рекомендациями по рациональному		выбору функций u = u(x) и

v = v(x), изложенными в теме «Неопределенный интеграл», получаем:

																	1
		2				2				u = ln x, du =							x	dx,													x		3			2
		2								u = ln x, du =								dx,															3			2
а) ∫x							ln x dx =																														−
																								3
																							x	3			= ln x				3					1
																							x								3					1
		1								dv = x2 dx, v = ∫x2 dx											=
		1								dv = x2 dx, v = ∫x2 dx											=		3
																							3
	2			x3				1				8				1		1	2	2					8				1			3		2
	2			x3				1				8				1		1	2	2					8				1			3		2
− ∫								x	dx = = ln 2				−ln1				−		∫x		dx =						ln 2 −				x			1	=
− ∫		3							dx = = ln 2			3	−ln1			3	−	3	∫x		dx =				3		ln 2 −		9		x				=
	1																		1
	1																		1
=	8 ln 2							−	1	(23 −13 )=		8 ln 2			−	7	;
	3								9			3				9
																				−dx																	1
		1									u = arccos x, du =															,											1
б)	∫arccos x dx =																										= arccos x x											−
б)	∫arccos x dx =																			1− x2							= arccos x x										0	−
															v = x																						0

		0									dv = dx,
		0
	1			− x dx																1							2							π
− ∫				− x dx						=arccos1 1−arccos0 0 −										∫		d(1− x )						=0 1−						π		0 −
																												=0 1−						2
			2																		2
	0				1− x															0	2		1− x
−									1 =−			+					=1;
−				1− x2					1 =−		1−12	+		1−02			=1;
									0
		π									u = x, du = dx,																		π			π
		2																					= (xsin x)						π				2
в)																														− ∫sin x dx =

		∫x cos x dx =																											2
		0									dv = cos x dx, v = sin x																		0				0

138

=	π sin				π	−0 sin 0 −(−cos x)															π2 =			π				1+cos						π			−cos0 = π						+0 −1 = π			−1;
	2				2																0			2										2								2		2
																																					− x dx
					1																							2									− x dx
	I = ∫																u =					4 − x							,		du =											,
г)							4 − x				2	dx =																															=
											2																											4 − x2
																																						4 − x2
																									v = x
					0												dv = dx,								v = x
					0
	(							x)		1		−∫1		− x2dx							=									1−										0 −∫1 4 − x2 −24 dx =
=			4 − x2
																									4			−1								4 −0

										0				2
										0		0				4 − x																										0		4 − x
					1		4 − x2										1						dx											1												x			1

																																									2
																																									2
=		3 −∫											dx +4∫																=			3 −∫							4 − x			dx +4arcsin							0	=
																																														2
								4 − x				2								4 − x							2
					0												0																	0
					0										1		0																	0					π									2π

=		3 − I																										=				3 − I									−0				3 − I +						.
=		3 − I				+4 arcsin									2		−arcsin 0											=				3 − I					+4				−0		=		3 − I +		3				.
															2																								6								3
Таким образом, получено уравнение
									2π														2π														π .
I =					− I +							, 2I =							+							, I =							3		+
				3														3															3
				3														3													2
						3														3											2						3

4. Найдем точки пересечения кривых y = 2x − x2 и y = x , для чего решим систему уравнений:

y = 2x − x2	,	x2	− x	= 0,	x = 0,	x =1,

y = x,		y = x,			y = 0,	y =1.

Значит, кривые пересекаются в точках О (0; 0) и М (1; 1). Выполним чертеж, построив параболу y = 2x − x2 и прямую y = x .

Требуется найти площадь заштрихованной части (рис. А). Воспользуемся формулой

S = ∫b (f (x)− g(x))dx ,

где f (x)≥ g(x) при x [a,b].

139

y = x

									1				М					y = 2x − x2
																		y = 2x − x2

										0			1						2												Х
																				Рис. А
			1				2			1			2					x2							x3			1			1 1								1
			1				2			1			2					x2							x3			1			1 1								1
																																				−0 =				.
																						−							=			−
S = ∫(2x − x − x)dx = ∫(x − x )dx =																				2		−			3			0	=		2	−	3						6
			0							0																		0
			0							0
5. Воспользуемся формулой вычисления длины дуги кривой
													b
y = f (x)				от x = a до x = b : l = ∫										1+(f					′					2	dx . В нашем случае
y = f (x)				от x = a до x = b : l = ∫										1+(f						(x))					dx . В нашем случае
													a
y2 = x3 , значит d(y2 )= d(x3 )или 2ydy = 3x2dx																											,	dy		= 3				x2				, где
y2 = x3 , значит d(y2 )= d(x3 )или 2ydy = 3x2dx																											,	dx		= 3								, где
																												dx			2				y
dy		′			′						′	2	9		x4				9				x4				9
dx = y																										= 4 x.					Итак,
			=										= 4 y2					= 4 x3
			=	f (x). Тогда						(f (x))			= 4 y2					= 4 x3
			5																												4
			5			9 x dx =						9 x					4		(t2 −1),
l = ∫					1+	9 x dx =				1+		9 x	= t, x =				4		(t2 −1),								dx =					2t dt, если
			0			4						4					9														9
																								7									t			3		7
																								7
x = 0				, то t =1; если x = 5,									то t =				7				=			2	t		8 tdt				=	8
x = 0				, то t =1; если x = 5,									то t =				7				=			∫1	t		8 tdt				=	8						2 =
																	2							∫1			9					9			3			1
		8			7	3		3		8 343							8			335							335						11
=							−1		=				−1	=											=					=12							.
=							−1		=				−1	=											=					=12							.
	27				2					27		8				27				8							27						27
	27				2					27		8				27				8							27						27
													140

6. Используем формулу для вычисления объема тела вращения

фигуры, ограниченной y = f (x), y = 0,																x = a ,			x = b вокруг оси Ох:
Vx =π∫b		f 2 (x)dx . В нашем случае получим:
a
Vx	=ππ∫sin2 x dx =ππ∫1−cos 2x dx = π π∫(1−cos 2x)dx =
			0			0				2				2 0
		=	π		sin 2x		π	=	π			−	sin 2π			−					=	π 2		.
			π		sin 2x		π		π				sin 2π									π 2
			2	x −	2		0		2	π				2			0 +sin 0					2
			2		2		0		2					2								2
7. При переменной во времени мощности потребления q(t)
расход энергии Q за время от												t0 = a до					t1 = b			есть определенный
интеграл: Q = ∫b q(t)dt . Тогда
				a							(t −1)3					(2	−1)3			(0 −1)3
2			2		2	2									2									1		1		2
2			2		2	2									2									1		1		2
Q = ∫(t	−1) dt = ∫(t −1) d(t −1)									=					0 =			−					=		+		=		.
Q = ∫(t	−1) dt = ∫(t −1) d(t −1)									=		3			0 =		3	−			3		=	3	+	3	=	3	.
0					0							3					3				3			3		3		3

8. Так как определенный интеграл V = ∫b p(t)dt равен выпуску

продукции за время от а до b, то в нашем случае получим:

V = ∫2 t3 dt = t4		2 =	1	(24		−04 )=			1		16 = 4.
V = ∫2 t3 dt = t4		2 =	1	(24		−04 )=			1		16 = 4.
0	4	0	4						4
9. В первом случае
1	2			x2			x3	1				1		1 1
1	2			x2			x3	1				1		1 1
Sфиг. = ∫(x − x )dx			=			−				=			−		=		;

					2		3		0			2		3		6
0					2		3		0			2		3		6
0
во втором случае
1	3			x2			x4		1			1		1		1
1	3			x2			x4		1			1		1		1
Sфиг. = ∫(x − x )dx																	.
Sфиг. = ∫(x − x )dx			=		2	−	4		0	=		2	−	4	=	4	.
0					2		4		0			2		4		4
0

141

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3128 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.08.201986 Кб16второй блок.doc
#
20.02.201697 Кб151Вывод по рациону питания (технология на 22.10).pdf
#
20.02.201637 Кб18выводы отчёт.docx
#
20.02.2016168 Кб36выставки в рб курсовая.docx
#
20.02.201638 Кб31Высшая матем, программа 1 семестр.doc
#
20.02.20162 Мб126Высшая математика - 2.Уч.-практ.пособие.pdf
#
20.02.20162 Мб79Высшая математика 3 семестр часть 1.doc
#
20.02.20163 Мб127Высшая математика 3 семестр часть 2.doc
#
20.02.2016450 Кб95высшая математика 3семестр.pdf
#
01.03.20251 Мб12Высшая математика Уч._мет. пос. 1 семестр.doc
#
01.04.2025682 Кб6Высшая математика Учебно-метод. пособие К.р. 2.doc