Пример 1.8. Найти все частные производные второго порядка функции z = x3 y3 .
Решение. |
∂z |
= (x |
3 |
y |
2 |
|
′ |
|
|
|
|
2 |
(x |
3 |
)x |
′ |
= 3x |
2 |
y |
2 |
; |
|||||
∂x |
|
|
)x,y−const = y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
= (x |
3 |
y |
2 ′ |
|
= x |
3 |
(y |
2 |
′ |
= x |
3 |
2y = 2x |
3 |
y ; |
|
|
|
||||||||
∂y |
|
)y,x−const |
|
|
)y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 z |
= |
|
∂ |
∂z |
= |
|
∂ |
|
(3x2 y2 ) = y2 (3x2 )x′ = y2 6x = 6xy2 ; |
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
∂x |
∂x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∂ z |
|
|
|
∂ |
∂z |
|
|
∂ |
(2x3 y) = 2x3 ; |
|
|
||||||||||||||
= |
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∂y |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ z |
|
|
|
|
∂ |
|
∂z |
|
|
|
|
|
∂ |
|
(2x3 y) = y 2 3 x2 = 6x2 y ; |
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
= = |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∂x∂y ∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∂2 z |
|
= |
|
|
∂ |
∂z |
|
= = |
|
|
∂ |
|
(3x2 y2 ) = 3x2 |
2y = 6x2 y = |
6x2 y ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∂y∂x |
|
|
∂y |
∂x |
|
|
∂y |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Следующая теорема дает условия, при которых результат частного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.
Теорема 1.9. Если функция z = f (x, y) имеет в точке M (x, y) непрерывные смешанные частные производные второго порядка,
то они равны между собой: fxy (x, y) = fyx (x, y) . |
|
′′ |
′′ |
1.3. Экстремум функции многих переменных
Одним из важнейших применений дифференциального исчисления, как и в случае функций одной переменной, так и для функций многих переменных является его использование для отыскания и исследования экстремумов функций.
21
1.3.1. Понятие экстремума. Необходимое условие экстремума
Определение 1.14. Говорят, что функция z = f (M ) , опреде-
ленная и непрерывная в области D , имеет в точке |
M0 D стро- |
|
гий максимум (строгий минимум), если для всех точек M из неко- |
||
торой окрестности точки M0 |
выполняется неравенство |
|
f (M ) < f (M0 ) |
( f (M ) > f (M0 )) |
(1.10) |
Данное определение носит локальный характер, причем, если неравенства (1.10) выполняются, как нестрогие неравенства со знаками ≤ (≥) соответственно, то максимум и минимум называют-
ся нестрогими или несобственными. Для обозначения максимума и минимума употребляется и общий термин – экстремум.
Теорема 1.10 (необходимое условие экстремума). Если фун к-
ция z = f (x, y) дифференцируема в точке M0 (x0 , y0 ) и имеет в ней
экстремум, то обе частные производные функции в этой точке равны нулю:
f ′(x , y |
0 |
) = 0, |
|
|||
|
x |
0 |
|
|
(1.11) |
|
|
|
|
, y0 ) = 0 |
|||
fy′(x0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Определение 1.14. Все точки M0 (x0 , y0 ) , координаты которых
удовлетворяют системе уравнений (1.11), называются стационар-
ными точками функции z = f (x, y) .
Заметим также, что функция z = f (x, y) может иметь экстре-
мум и в тех точках, где она является непрерывной, но хотя бы одна из частных производных не существует или равна бесконечности. Объединение таких точек и стационарных точек принято называть критическими точками функции многих переменных.
В некоторых случаях вопрос о наличии экстремума функции многих переменных можно решить на основании лишь необходимого условия экстремума.
Пример 1.10. Исследовать на экстремум функцию z = x2 + y2 .
22
Решение. Найдем частные производные zx = fx′(x, y) и z′y = fy′(x, y) и приравняем их к нулю :
z′x = (x2 + y2 )′x = 2x ; z′y = (x2 + y2 )′y = 2y .
Составим систему (1.11): 2x = 0, .
2y = 0.
Отсюда x0 = 0, |
y0 = 0, и, следовательно, точка M0 (0,0) – |
стационарная точка. |
Так как для функции z = f (x, y) = x2 + y2 |
имеем z = f (0,0) = 0 , а для любых других точек, таких что |
|
M (x, y) ≠ M0 (0,0) , |
выполняется неравенство f (M ) > f (M0 ) , то в |
точке M0 данная функция имеет строгий минимум (см. рис. 1.3).
Ответ: zmin = f (0,0) = 0 .
Пример.4.11. Исследовать на экстремум функцию z = f (x, y) = −x2 .
Решение. Найдем частные производные: |
|
||||||
′ |
′ |
(x, y) = (−x |
2 ′ |
′ |
′ |
(x, y) = (−x |
2 ′ |
zx = |
fx |
)x = −2x ; |
zy = |
fy |
)y = 0. |
||
Составим систему (1.11): |
−2x = 0, |
|
|
= |
|
|
|
|
решением системы являются: x0 = 0, число. Значит, все точки оси Oy вида Поскольку для любых точек, таких что
. Отсюда заключаем, что
y − любое действительное M0 (0, y) − стационарные.
M (x, y) ≠ M0 (0, y) , имеем
23
f (M ) = −x2 , а |
f (M0 ) = 0 , то выполняется |
неравенство |
f (M ) ≤ f (M0 ) . Следовательно, в любой точке оси |
0y функция |
|
имеет нестрогий максимум (см. рис.1.4). |
|
|
Ответ: zmax = f (0, y) = 0 .
Пример 1.12. Исследовать на экстремум функцию
z =1−
x2 + y2 .
Решение. Данная функция определена и непрерывна во всей области R2 ; ее частные производные
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
zx′ = (1− x2 |
+ y2 )x′= − |
|
= |
− |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 x2 |
+ y2 |
|
|
|
x2 + y2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
и |
zy′ = (1− x2 |
+ y2 )y′ = − |
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 x2 + y2 |
|
x2 + y2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
не существуют в точке M0 (0,0) . Поскольку в точке M0 функция непрерывна, f (M0 ) = f (0,0) =1, а во всех других точках, таких что
M (x, y) ≠ M0 (0,0) , для функции |
f (x, y) =1− |
x2 + y2 |
выполняет- |
ся неравенство f (M ) > f (M0 ) , |
то в точке |
M0 функция имеет |
|
строгий максимум. |
|
|
|
В общем случае использование только необходимого условия экстремума не позволяет решить вопрос о наличии экстремума функции многих переменных.
Пример 1.13. Исследовать на экстремум функцию z = xy .
Рис. 1.5
24
Решение. Найдем частные производные z′x и z′y : |
|
|||||
|
|
|
z′x = (xy)′x = y, z′y = (xy)′y = x |
|
|
|
и составим систему (1.11), решением которой являются |
y0 = 0, |
|||||
x0 = 0. |
Следовательно, точка M0 (0,0) − стационарная точка. Вы- |
|||||
берем |
теперь |
два типа точек: вначале точки |
M (x, y) |
вида |
||
M (x, y) =(ε, ε), |
где ε ≠ 0 , и для них имеем f (M ) = ε ε = ε 2> 0 ; а |
|||||
затем точки |
M (x, y) вида M (x, y) =(ε, -ε), где ε ≠ 0 , для которых |
|||||
уже имеем |
f (M ) = ε (−ε) = −ε 2< 0 . |
Поскольку |
f (M0 ) = 0 0 = 0 , |
|||
то данная функция в точке M0 (0,0) |
экстремума не имеет (см. |
|||||
рис. 1.5). |
|
|
|
|
|
|
Приведенный пример показывает, что найденные критические точки функции требуют, вообще говоря, дальнейшего анализа в отношении того, являются они точками экстремума или нет.
1.3.2. Достаточные условия экстремума Теорема 1.11 (достаточное условие экстремума функции
двух переменных). Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности точки M0 (x0 , y0 ) и имеет в этой окрестности
непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Если выполняются условия:
1) частные производные первого порядка в точке M0 (x0 , y0 )
равны нулю: fx′(x0 , y0 ) = 0, |
fy′(x0 , y0 ) = 0 ; |
|
||
2) для чисел A = fxx′′(x0 , y0 ), |
B = fxy′′(x0 , y0 ), |
C = fyy′′(x0 , y0 ) |
||
выполняется неравенство: |
|
|
|
|
а) ∆ = AC − B2 > 0 , то в точке M |
0 |
(x , y ) функция имеет |
||
|
|
0 |
0 |
|
экстремум, причем минимум, если A > 0 и максимум, если A < 0 ; б) ∆ = AC − B2 < 0, то в этой точке экстремума нет.
Если = 0 , то нужны дополнительные исследования.
25