5. Виведення рівняння поперечних коливань струни. Будемо розглядати рівняння

, (5.1)

де - невідома функція, яка залежить від, просторових координат і часу ;

- коефіцієнти, які визначаються властивостями середовища, де відбувається коливальний процес;

- вільний доданок, висловлює інтенсивність зовнішнього збурення.

Рівняння (5.1) відповідно з визначенням операторів div і grad:

можна записати

. (5.2)

Розберемо виведення рівняння (5.1) на прикладі малих поперечних коливань струни. Струною називається натягнута нитка, яка не чинить опір згину.

Нехай в площині струна виконує коливання біля свого положення рівноваги, яка співпадає з віссю. Величину відхилення струни від положення рівноваги в точціу часпозначимо через, так що- є рівняння струни у час. Обмежуючись розглядом лише малих коливань струни, будемо нехтувати величинами порядку мализни в порівнянні з

.

Оскільки струна не чинить опору згину, то її натяг в точціу часнаправлений по дотичній до струни у точці(мал.5.1).

0

Мал. 5.1.

Будь яка ділянка струни після відхилення від положення рівноваги у рамках даного приближення не змінює своєї довжини, тобто

Таким чином, відповідно закону Гука, величина натягу буде залишатися постійною, яка не залежить віді,. Позначимо черезщільність зовнішніх сил, які діють на струну у точці, а в часнаправлені перпендикулярно вісіу площині. Нехайпозначає лінійну щільність струни в точці, так що приблизно- маса елемента струни.

Складемо рівняння руху струни. На її елемент діє сила натягу, і зовнішня сила, сума яких, згідно законам Ньютона, повинна дорівнювати добутку маси цього елемента на його прискорення. Проектуючи цю векторну рівність на вісі, на основі вище сказаного, будемо мати

(5.3)

Але в рамках нашого наближення

,

тому з (5.3) маємо

,

відкіля при виходить рівність

. (5.4)

Це й є рівняння поперечних коливань струни. При коливання струни називаються вимушеними, а при- вільними.

Якщо щільність стала,, то рівняння коливань струни приймає вигляд

, (5.5)

де - сталі.

Рівняння (5.5) будемо також називати одномірним хвильовим рівнянням.

6.Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни.

Задача.Знайти закон повздовжнього коливання тонкого пружного стержня, лівий кінець якого закріплений, а правий - вільний. Початковий розподіл переміщень вздовж стержня показано на малюнку 6.1.

0

Мал. 6.1

Функція задана формулами

. (6.1)

Початкова швидкість точок стержня дорівнює нулю:

. (6.2)

Повздовжні коливання стержня описуються рівнянням

, (6.3)

причому у відповідності з заданими граничними умовами

. (6.4)

Таким чином задача зводиться до рішення диференціального рівняння (6.3) при граничних (6.4) і початкових (6.1) – (6.2) умовах.

Для зручності подальших викладок перейдемо до безрозмірних величин:

. (6.5)

Якщо в умові задана початкова швидкість, то перехід до безрозмірного переміщення здійснюється за формулою

.

Враховуючи що

. (6.6)

Рівняння (6.3) і умови (6.1), (6.2), (6.4) перепишемо у вигляді

, (6.7)

(6.8)

. (6.9)

Розв’язок рівняння (6.7)

. (6.10)

Підставляючи (6.10) у (6.7), одержимо

, (6.11)

.

Остання рівність можлива лише у тому випадку, коли обидві частини не залежать від і, тобто вони – постійні. Позначимо цю сталу через. Тоді з рівності (6.11) одержимо два звичайних диференціальних рівняння:

(6.12)

(6.13)

Розв’язав ці рівняння, і підставив висліди в (6.10), одержимо

, (6.14)

де - довільні сталі.

Одержали загальний розв’язок рівняння (6.7).

Для знаходження частинного розв’язку з граничних та початкових умов визначимо константи.

Застосовуючи першу граничну умову з здачі Штурма-Ліувіля, одержимо

(6.15)

Для застосування другої граничної умови знайдемо частинну похідну

Отже, власними функціями будуть

Підставляючи одержані результати в (6.10), знаходимо частинні розв’язки рівняння (6.7), які задовольняють крайовим умовам (6.9).

При цьому кожному значенню буде відповідати розв’язок

. (6.16)

Сума розв’язків (6.16) також буде розв’язком рівняння (6.7), тому що (6.7) лінійне й однорідне:

, (6.17)

Нехай , а, тоді формула (6.17) буде

, (6.18)

Для визначення констант івикористаємо початкові умови (6.8).

Для застосування другої початкової умови знайдемо частинну похідну:

,

(6.19)

.

Одержали ; тоді

. (6.20)

Для знаходження використаємо останню початкову умову, з якої виходить

.

Остання формула показує, що постійні – це коефіцієнти розкладання функціїу ряд Фур’є за синусами у проміжку . Таким чином,

.

Підставляючи вираз (6.8) для функції під інтеграл, одержуємо

Зробивши необхідні обчислення, маємо

(6.21)

Підставляючи (6.21) у (6.20), запишемо остаточно розв’язок задачі

(6.22)

Зауваження. Якщо початкова швидкістьвідмінна від нуля, то у формулі (6.19) необхідно ввести позначення

(6.23)

Далі вираховуємо коефіцієнт ряду Фур’є

де - початкова швидкість.

Для того, щоб підставити у формулу (6.18), треба скористатися співвідношенням

Нехай змінюється від 0 до 1 з кроком 0.2, а- від 0 до 1 з кроком 0.25.

Мал.6.2