7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа).

Задача.Встановити стаціонарний розподіл температури у квадратній платівці, якщо дві бічні сторони платівки теплоізольовані, на третій стороні температура дорівнює нулю, а на четвертій – температура змінюється за графіком, який показано на малюнку 7.1, де.

0

Мал. 7.1

Математично ця задача зводиться до розв’язку рівняння Лапласа:

. (7.1)

Складемо тепер граничні умови.

0

Мал. 7.2.

По-перше, на малюнку 7.2 оберемо направлення і позначимо кожну зі сторін: . Те, що дві сторони платівки теплоізольовані значить, що течія (похідна у напрямку нормалі) на цих сторонах дорівнює нулю.

Нагадаємо, що похідна від функції у напрямку нормалі – це

. (7.2)

Згідно умови задачі та формули (7.2) на ділянках імаємо:

(7.3)

На ділянках буде

(7.4)

(7.5)

Використовуємо заміну

Для зручності подальших викладок опустимо індекси, тоді рівняння (7.1) і умови (7.3) – (7.5) перетворяться у

(7.6)

(7.7)

(7.8)

(7.9)

Розв’язок одержаної задачі будемо шукати у вигляді

(7.10)

Підставляючи (7.10) у (7.6) та розподіляючи змінні

прийдемо до двох звичайних диференціальних рівнянь

Розв’язки цих рівнянь підставимо в (7.10), тоді

(7.11)

Зауваження. Одна з констант розв’язку (7.11) та власні значенняповинні знаходитись з однорідних граничних умов. Отже, після розподілу змінних, знак убереться такий, щоб кругові тригонометричні функції були з тією фіксованою змінною, з якою на паралельних сторонах є однорідні граничні умови.

Отож використаємо граничні умови

Для цього знайдемо від похідну

Тоді маємо систему

а з першого рівняння , але, оскільки у протилежному випадку одержимо тривіальний розв’язок.

З рівняння знаходимо власні значення:

Таким чином, маємо набір власних значень і для кожного з них відповідно свій розв’язок :

Використовуючи принцип суперпозиції, маємо

(7.12)

Для знаходження іскористуємося рештою граничних умов, тобто

Для цього знайдемо частинну похідну від (7.12)

Ця рівність виконується тільки у випадку, коли коефіцієнти одержаного ряду Фур’є будуть дорівнювати нулю, отже

Зробимо деякі перетворення

а

але

Отож

Зважаючи на отримане співвідношення, розв’язок (7.12) перепишемо

Нарешті

Позначимо

. (7.13)

Коефіцієнт ряду Фур’єобчислюється за формулою

Отже

Після виконання необхідних обчислень, одержимо

Тоді з (7.13)

.

Таким чином, розв’язок (7.12) остаточно буде

(7.14)

Зауваження.При знаходженні розв’зків диференціального рівняння

їх можливо знайти у вигляді гіперболічних функцій

.

Тоді

.

Далі будемо використовувати граничні умови, враховуючи,що

.

Нехай ізмінюються від 0 до 1 з кроком 0.2.

Мал.7.3

Розв’язок крайових задач для рівняння Лапласа методом граничних елементів.

Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни

“Рівняння математичної фізики”.

Мета типового завдання з дисципліни “Рівняння математичної фізики” – прищепити навички: застосування методу граничних елементів (МГЕ) до розв’язку деяких крайових задач; аналізу чисельного розв’язку задачі теплопровідності пластини.