Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский кооперативный институт (филиал РУК)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ПланыПЗ_Математ_036401.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

942 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

4.2. Теория пределов

4.2.1. Типовые примеры

Пример 4.2.1. Для последовательности 1, 14 , 19 , ... , n12 , ... требуется:

найти u2 , u5 , u10 ;

найти такой

номер

N , что при n > N

выполняется

< 0,01,

< 0,0001,

<10−6 ;

3) построить график последовательности;

4) записать lim un .

n→∞

Решение.

1)		u			2		=		1	= 1 , u =					1	=	1	, u =		1	=	1	;
1)		u					=			= 1 , u =						=		, u =			=		;
							22			4			5		52		25	10	102		100
							22			4		1			52		25		102		100
2)			u			n		< 0,01						<10−2		n >10 N =10,


												n2							1
												n2
	un			<			0,0001				1			<10−4		n >102 N2 =100,
											1
											n2
											n2

un <10−6 n12 <10−6 n >103 N3 =1000 . 3)

0
	1		2		3		4		5		n

				РИС. 4.2.1
4) lim u	n	= lim	1	= 0 последовательность б.м.

n→∞		n→∞ n2

Пример 4.2.2. Последовательность задана рекуррентным соотношением an+1 = 3an − 4 , a1 = 3. Найти четвертый член этой последовательности a4 .

Решение. Для нахождения a4 необходимо последовательно вычислить

все предыдущие члены последовательности. 39

a2 = 3a1 − 4 = 3 3 − 4 = 5, a3 = 3a2 − 4 = 3 5 − 4 =11, a4 = 3a3 − 4 = 3 11 − 4 = 29.

Пример 4.2.3. Вычислить пределы:

а) lim

; б)

lim

x +1

x→1

x→∞ x

Решение.

а) lim

= 2

1 +

= 3

;

x +1

x→1

б) lim

= 0.

x→∞ x

∞

Пример 4.2.4. Вычислить пределы:

а) lim

− 2x − 3

;

б) lim

x + 7 − 3

x2 −

x − 2

x→3

x→2

Решение.

а) убедимся,

что имеем неопределенность

и разложим квадратные

трехчлены в числителе и знаменателе на множители

lim x2 − 2x − 3 = 0 = lim (x − 3)(x +1) = lim x +1 = 4 = 2 ; x→3 x2 − 9 0 x→3 (x − 3)(x + 3) x→3 x + 3 6 3

б) в данном случае также имеем неопределенность 00 .

Чтобы раскрыть ее, умножим числитель и знаменатель дроби на выраже-

ние ( x + 7 + 3) сопряженное числителю
lim	x + 7 − 3		0	= lim	(	x + 7 − 3)(	x + 7 + 3)
		=				(x − 2)( x + 7 + 3)		=
	x − 2
x→2			0	x→2

		= lim	(x + 7)− 9			= lim
		= lim				= lim
		x→2 (x − 2)( x + 7 + 3)					x→2
Пример 4.2.5. Вычислить пределы:
а)	lim	2x3 +1	; б) lim	1	− x2		.
а)	lim		; б) lim				.
	x→∞ 4x3 + x2 − 3		x→∞ x3		+ 2x
						40

1	=	1
x + 7 + 3		6

Решение.

2x3

∞

2x3

2 +

lim

= lim

4x3

x→∞ 4x3 + x2

− 3

∞

x→∞

а)

−

4 +

−

2 + 0

1 ;

+ 0 − 0

1 − x2

∞

−

б) lim

= lim

= 0 .

x→∞ x3 + 2x

∞

x→∞ x3

Пример 4.2.6. Используя первый замечательный предел найти пределы:

а) lim tg7x		, б) lim sin3x	, в) lim	1 − cos x .
x→0	x	x→0 sin8x	x→0	x2

Решение.

Преобразовывая выражение, стоящее под знаком предела к одному из видов замечательного предела, получим:

а)

lim

tg7x

= lim

tg7x 7

= 7

lim

tg7x

= 7;

x→0

б)

lim

sin3x

= lim

sin 3x 8x 3x

3x sin8x 8x

x→0 sin8x

x→0

= lim sin3x lim

lim

3x =1 1

= 3

;

x→0

x→0 sin8x

x→0

2 x

1 − cos x

2 sin

sin

в)

lim

= lim

x→0

1 lim

sin

= 1

1 ;

lim

1 1 =

2 x→0

x→0

2 2

Пример 4.2.7. Используя второй замечательный предел найти пределы:

			5 3x		2
а)		+	5 3x	, б) lim (1 − 3x)x .
а)	lim 1	+		, б) lim (1 − 3x)x .
	x→∞		x	x→0

Решение.

Преобразовывая выражение, стоящее под знаком предела к одному из видов замечательного предела, получим:

5 3x

x 5

x 15

lim 1 +

= (1∞ )= lim 1 +

= lim 1 +

= e15 ;

x→∞

1 (

−

−6

3x)

= lim (1 − 3x)−

б)

lim (1 − 3x)

= lim (1 − 3x)

= e−6 .

−3x

x→0

4.2.2. Контрольные вопросы

1)Что называется последовательностью?

2)Дать определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей.

3)Какая последовательность называется сходящейся, что называется пределом последовательности?

4)Дать определение предела функции на бесконечности.

5)Дать определение окрестности точки.

6)Дать определение предела функции в точке.

7)Сформулировать свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

8)Запишите первый замечательный предел и его разновидности. Какую неопределенность раскрывает этот предел?

9)Запишите второй замечательный предел и его вторую форму. Какую неопределенность раскрывает этот предел?

10)Как определяется число e? Чему оно равно? Как называется и обозначается логарифм по основанию e?

4.2.3.Практические задания

4.2.1. Найти первые пять членов последовательности:

а) un =	n −1	; б) un = (−1)n +1;	в) un =	2n .
	n2 +1
				n

4.2.2. Найти общий член un последовательности:

а) 12 , 23 , 34 , 54 , ....

б)

1 ,

2 ,

, ....

в) 1,

4, ....

4.2.3. Дана последовательность:

1 ,

, ....

Заполнить таблицу, используя определение предела последовательности

0,1

0,01

0,001

...

10−5

...

Найти предел

последовательности.

4.2.4. Дана

последовательность

un =

n =1, 2, 3, ...

Найти такой

номер

n +1

N = N (ε),

что при

n > N

выполняется

неравенство

un −1

< ε,

для

ε = 0,1;

0,01;

10−4. Найти предел последовательности.

Найти пределы последовательностей при n → ∞.

4.2.5.

n + 3 −

n − 3 ;

4.2.6.

(3n + 2)100

;

(3n −1)98 (n + 2)2

4.2.7.

;

4.2.8.

(−1)n n

;

n +1

4.2.9.

n2 + 3n − n

4.2.10.

(2n + 2)50

(2n −1)48 (n + 2)2

Найти пределы функций.

− 3x

4.2.11. lim

+ 5

4.2.12. lim

x − 4

x→2 x2 − 3

x→0

4.2.13. lim

x2 + 2x + 3

1 − x

4.2.14.

lim

x→0

log2 (x + 8)

x→11 − x

4.2.15. lim

x2 − 2x +1

4.2.16. lim

x2 + 3

x − 2

x→1 x2 + 3x − 2

x→2

4.2.17. lim

− 5x + 4

4.2.18. lim

x − 2

x − 4

x→4

x→2 x2 − x − 2

4.2.19. lim		x2 −1

x→−1 x2 + 3x + 2
4.2.21. lim	x2	− 3x + 2
		− 4x + 3
x→1 x2

4.2.23. lim x3 −8

x→2 x2 − 2x

4.2.25. lim

x + 3 − 3

x − 6

x→6

4.2.27. lim

4 + x − 2

x→0

4.2.29. lim

x3 + x

x→∞ x4 − 3x2 +1

4.2.31. lim

3x4 + 2x2

6x4 −1

x→∞

4.2.33. lim

x −1

x→∞ x +1

4.2.35. lim

3 − x

2x +1

x→∞

4.2.37. lim

x2 + 3x + 7

x→∞ x4 − 3x2 + 4

4.2.39. lim

3x − x3

x→∞

4.2.41. lim sin5x

x→0

4.2.43. lim sin3x

x→0 sin 7x

−

sin x

4.2.45. lim

x − π

x→6


4.2.20. lim				x2 − 2x

	x→2 x2 − 4x + 4
4.2.22. lim		x −8x +12
			x2 + x − 6
	x→2
4.2.24.	lim			x + 3

	x→−3 2x2 + x −15
4.2.26.	lim			x + 3

	x→−3 x + 4 −1
4.2.28. lim			x2 − 6x − 7
				x + 2 − 3
	x→7
4.2.30. lim				x4 − 5x

	x→∞ x2 − 3x +1
4.2.32. lim			2x2 +1
				x2 −1
	x→∞
4.2.34. lim			2x − 3
	x→∞ x2 −1
4.2.36. lim			1
			1 − x2
	x→∞
4.2.38. lim			2x5 + x
			7x2 + 2
	x→∞
4.2.40. lim			3x2 − 2
				x2 +1
	x→∞
4.2.42. lim tg 4x
	x→0			x
4.2.44. lim sin ax
	x→0 sin bx
4.2.46. lim sin 3x
	x→0		tg 2x

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.2019926 Кб18Паспорт СМС.doc
#
20.09.2019308 Кб71ПАСПОРТ Тесты НОВ по ПД и БАД техн.doc
#
01.03.2025111 Кб4план практических занятий.DOC
#
01.07.2025146 Кб3План практических занятий.doc
#
13.11.201933 Кб12Планы практических Культурология 100101.docx
#
26.02.2016942 Кб38ПланыПЗ_Математ_036401.pdf
#
26.02.201668 Кб39по алфавиту философия.docx
#
26.02.2016120 Кб19Политология тесты федотов 2012.doc
#
26.02.2016296 Кб253Политология.doc
#
26.02.2016470 Кб45портфолио.doc
#
26.02.2016242 Кб24ППЗ_ИКНТат.doc