РАЗДЕЛ. I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Тема 1. Линейная алгебра
1.1. Вычисление определителей
1.1.1. Типовые примеры
Определитель второго порядка вычисляется по следующему правилу
= |
a11 a12 |
= a a − a a , |
|||
|
a21 a22 |
11 |
22 |
12 |
21 |
|
|
|
|
|
|
он равен разности между произведением элементов, стоящих на главной диагонали, и произведением элементов, стоящих на побочной диагонали.
Определитель третьего порядка вычисляется по следующему правилу
|
a11 a12 a13 |
|
||
= |
a21 |
a22 |
a23 |
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − |
|
a31 |
a32 |
a33 |
−a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11 a23a32 . |
Для вычисления определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом Саррюса («треугольников»), имеющего вид
+−
РИС. 1.1.1
Произведение элементов, вычисленных по схеме « + », входят в сумму со своими знаками, а по схеме « – » с противоположными знаками.
Пример 1.1.1. Вычислить определители |
|
|
|
|
||||||
|
2 − 3 |
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||||
a) |
|
, б) |
|
−2 −1 3 |
|
. |
||||
|
1 |
4 |
|
|
|
0 |
2 |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Согласно правилу вычисления определителей, находим:
a) |
|
2 |
−3 |
|
= 2 4 −1 (−3) =8 + 3 =11; |
|
|
||||
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
−2 −1 3 |
=1 (−1) (−4) + 0 3 0 + 2 2 (−2) − |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 |
2 |
−4 |
−0 (−1) 2 − (−2) 0 (−4) −1 3 2 = 4 −8 − 6 = −10. |
||||||||||||||||||||||||
Пример 1.1.2. Вычислить минор |
M32 |
и алгебраическое дополнение A32 |
||||||||||||||||||||||||||
определителя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
−3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и вычислить определитель разложением его по элементам первой стороны. |
||||||||||||||||||||||||||||
Решение. На пересечении третьей строки и второго столбца находится |
||||||||||||||||||||||||||||
элемент a32 = −4. Найдем его минор и алгебраическое дополнение |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
M |
|
= |
|
2 −1 |
|
= 2 − 3 = −1; A = (−1)3+2 M |
|
= −(−1) =1; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
32 |
|
−3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
||
Вычислим определитель, раскладывая его по элементам первой строки |
||||||||||||||||||||||||||||
|
= (−1)1+1 |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
+ (−1)1+2 |
0 |
|
−3 1 |
|
+ (−1)1+3 (−1) |
|
−3 1 |
|
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
−4 5 |
|
|
0 5 |
|
|
0 − 4 |
|
|||||||||||||||||||
2 (5 + 4) − 0 (−15 − 0) −1 (12 − 0) =18 −12 = 6.
Пример 1.1.3. Вычислить определитель, используя его свойства
|
|
1 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|||||
= |
|
5 |
0 |
−1 |
|
. |
|
|
1 |
−3 |
2 |
|
|
Решение. Преобразуем определитель к такому виду, чтобы в первой строке элементы a12 и a13 равнялись нулю. Для этого первый столбец прибавим ко второму, а затем вычтем из третьего, получим
|
1 −1 +1 |
1 −1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
5 0 + 5 −1 − 5 |
|
= |
|
5 |
5 |
−6 |
|
. |
|
|
1 −3 +1 |
2 −1 |
|
|
|
1 −2 1 |
|
|
||
Теперь вычислим определитель разложением его по первой строке
=1 (−1)1+1 5 −6 = 5 −12 = −7. −2 1
Пример 1.1.4. Вычислить определитель четвертого порядка
5
|
1 |
−1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|||||
= |
0 |
1 |
1 |
−2 |
|
. |
|
−2 |
1 |
3 |
−1 |
|
|
|
3 |
2 |
−1 |
−2 |
|
|
Решение. Вычисление определителя четвертого порядка сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка, используя теорему о разложении определителя. Однако, можно предварительно преобразовать определитель, «обнуляя», например, первую строку. Для этого первый столбец прибавим ко второму, а затем, умножим его на (–2) и прибавим к третьему. Получим
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
−2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
1 |
1 |
−2 |
|
|
||||
= |
=1 (−1)1+1 |
−1 7 |
−1 |
. |
||||||
−2 −1 7 |
−1 |
|||||||||
|
3 |
5 |
−7 −2 |
|
5 |
−7 |
−2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично «обнулим» первый столбец и вычислим определитель
|
|
1 |
1 |
−2 |
|
|
|
1 |
1 |
−2 |
|
|
8 −3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
−1 |
7 |
−1 |
|
= |
|
0 |
8 |
−3 |
|
= |
= 64 − 36 = 28. |
|
|
|
5 |
−7 −2 |
|
|
|
0 −12 8 |
|
|
−12 8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.1.2. Контрольные вопросы
1)Что называется матрицей, определителем?
2)Запишите правило вычисления определителей второго и третьего порядков.
3)Что называется минором, алгебраическим дополнением?
4)Как формулируется теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца?
5)Сформулируйте свойства определителей.
1.1.3. Практические задания
Вычислить определители второго порядка:
1.1.1. |
|
1 |
−3 |
|
1.1.2. |
|
3 |
2 |
|
. |
|
; |
|
|
|||||||
|
|
−2 |
2 |
|
|
|
−1 |
5 |
|
|
Вычислить определители третьего порядка тремя способами: а) по правилу треугольника;
6