5.2. Исследование функций на экстремумы и интервалы монотонности

Пример 5.2.2. Найти

наибольшее и наименьшее значения функции

y = x5 − 5x4 + 5x3 + 3 на отрезке [−1, 2] .

Решение.

1.

y′ = 5x4 − 20x3 +15x2 = 5x2 (x2 − 4x + 3) . Найдем критические точки.

y′ = 0 5x2 (x2 − 4x + 3) = 0 x1 = 0, x2 =1, x3 = 3.

Точку x3 =3 не рассматриваем, так как 3 [−1, 2].

2.

Находим: f (0) = 3,

f (1) = 4, f (−1) = −8, f (2) = −5 .

3.

Сравнивая полученные значения функции, делаем вывод:

ТАБЛИЦА 5.2.2

x

(−∞, −1)

–1

(–1, 1)

1

(1, ∞)

′′

+

0

−

0

+

f (x)

f (x)

вогнут.

т. перег.

выпукл.

т. перег.

вогнут.

График вогнутый на (−∞, −1) , (1, ∞) .

График выпуклый на (–1, 1).

4.

f (−1) = 0, f (1) = 0,

M1(−1,0), M2 (1,0) – точки перегиба.

Пример 5.2.4. Провести общее исследование функции y =

x2

.

x

−

1

56

как

lim

x

2

= ∞,

x −1

x→1

x =1 – уравнение вертикальной асимптоты.

2.

y = k x + b ,

k = lim

f (x)

= lim

x

=1,

−1

x→ ∞

x

x→ ∞ x

( f (x) = k x)= lim

x2

x

b = lim

− x

= lim

=1,

x→ ∞

x→ ∞

x −1

x→ ∞ x −1

y = x +1 – уравнение наклонной асимптоты.

3.

f (−x) =

(−x)2

= −

x2

≠ ± f (x) .

−x −

1

x +1

Функция свойствами четности, нечетности не обладает, не периодичная.

4. f (x) = 0

x2

= 0 x = 0

x −1

1

ТАБЛИЦА 5.2.3

x

(−∞, 0)

0

(0,1)

1

(1, ∞)

f (x)

−

0

−

∞

+

′

2x (x −1) − x2

x2 − 2x

5. f (x) =

(x −1)2

=

(x −1)2

f

′

x

2

− 2x

= 0 x1 = 0,

x2 = 2 – критические точки.

(x) = 0

ТАБЛИЦА 5.2.4

x

(−∞, 0)

0

(0,1)

1

(1,2)

2

(2, ∞)

′

+

0

−

∞

−

0

+

f (x)

f (x)

max

разр.

min

max

f (x) = f

(0) = 0 ,

min f (x) =

f (2) = 4 .

57

6.

′′

(2x − 2) (x −1)2 − (x2 − 2x) 2 (x −1)

=

f (x) =

(x −1)4

=

2 (x −1) ((x −1) (x −1) − (x2 − 2x))

=

2 (x2

− 2x +1 − x2

+ 2x)

=

2

,

′′

(x

−1)4

(x

−1)3

(x −

1)3

f

точек перегиба нет,

(x) ≠ 0

ТАБЛИЦА 5.2.5

(1, ∞)

x

(−∞,1)

1

f

′′

−

∞

+

(x)

вогнутый

f (x)

выпуклый

разрыв

7. Построим

график функции (Рис

. 5.2.1).

1

2

x