Алгебраические структуры.

Определение. Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента a 0 и любого элемента b существует единственный элемент х такой, что ax = b.

Дискретная математика. Элементы комбинаторики.

Если из некоторого количества элементов, различных меду собой, составлять различные комбинации, то среди них можно выделить три типа комбинаций, носящих общее название – соединения.

Рассмотрим подробнее эти три типа соединений:

1) Перестановки.

Определение. Если в некотором множестве переставлять местами элементы, оставляя неизменным их количество, то каждая полученная таким образом комбинация называетсяперестановкой.

Общее число перестановок изm элементов обозначается P_m и вычисляется по формуле:

2) Размещения.

Определение. Если составлять из т различных элементов группы по n элементов в каждой, располагая взятые элементы в различном порядке. Получившиеся при этом комбинации называются размещениями из т элементов по п.

Общее число таких размещений расчитывается по формуле:

Вообще говоря, перестановки являются частным случаем размещений.

3) Сочетания.

Определение. Если из т элементов составлять группы по п элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе, то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями из т элементов по п.

Общее число сочетаний находится по формуле:

Также одним из вариантов комбинаций являются перестановки с повторяющимися элементами.

Если средит элементов имеется т₁ одинаковых элементов одного типа, т₂ одинаковых элементов другого типа и т.д., то при перестановке этих элементов всевозможными способами получаем комбинации, количество которых определяется по формуле:

Пример. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв.

Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно 10.000.

Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно .

Если учесть возможность того, что буквы могут повторяться, то число повторяющихся комбинаций равно 30 (одна возможность повтора для каждой буквы). Итого, полное количество комбинаций по две буквы равно 900.

Если к номеру добавляется еще одна буква из алфавита в 30 букв, то количество комбинаций увеличивается в 30 раз, т.е. достигает 27.000 комбинаций.

Окончательно, т.к. каждой буквенной комбинации можно поставить в соответствие числовую комбинацию, то полное количество автомобильных номеров равно 270.000.000.

Бином Ньютона. (полиномиальная формула)

В дальнейшем будет получена формула бинома Ньютона с помощью приемов дифференциального исчисления.

Бином Ньютона – это формула, выражающая выражение (a + b)ⁿ в виде многочлена. Эта формула имеет вид:

- число сочетаний из п элементов по k.

Широко известные формулы сокращенного умножения квадрата суммы и разности, куба суммы и разности, являются частными случаями бинома Ньютона.

Когда степень бинома невысока, коэффициенты многочлена могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля. (Блез Паскаль (1623 – 1662) – французский математик).

Этот треугольник имеет вид:

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

…………………

Формула бинома Ньютона может быть обобщена для произвольного числа слагаемых.

Напомним, что при вычислениях 0! принимается равным 1.

Пример. В разложении найти члены, содержащиех^, если k=3, p=2, n=8, =9.

По фомуле бинома Ньютона имеем:

C учетом числовых значений:

В принципе, можно написать разложение этого выражения в многочлен, определить коэффициеты либо непосредственно, либо из треугольника Паскаля (степень бинома сравнительно невелика), однако, делать это не обязательно, т.к. необходимо найти только член разложения, содержащий х⁹.

Найдем число i, соответствующее этому члену:

Находим:

Пример. В разложении найти члены, содержащиеx^. т=9, =6.

По обобщенной формуле бинома Ньютона получаем:

Для нахождения полного разложения необходимо определить все возможные значения n_i, однако, это связано с громадными вычислениями. Однако, т.к. надо найти только члены, содержащие х⁶, то n₁ = 6, а сумма всех четырех значений п равна 9. Значит, сумма п₂ + п₃ + п₄ = 3.

Рассмотрим возможные значения этих величин:

n2	0	0	3	1	1	0	2	0	2	1
n3	0	3	0	2	0	1	1	2	0	1
n4	3	0	0	0	2	2	0	1	1	1

Искомые члены разложения: