65 Сложное движение твердого тела. Сложение поступательных движений

движение твердого тела, как и движение точки, может быть сложным.

Пусть тело совершает некоторое движение относительно системы координат 0x₁y₁z₁, которая, в свою очередь, движется относительно неподвижных осей 0xyz.Относительным движением тела называют его движение по отношению к подвижной системе координат 0x₁y₁z₁. Для выяснения переносного движения тела в каждый момент времени следует считать тело жестко скрепленным с подвижной системой отсчета, и движение, которое будет совершать тело с подвижной системой отсчета относительно неподвижной системы, и будет переносным движением. Движение тела относительно неподвижной системы координат называетсяабсолютным.

Основной задачей кинематики сложного движения твердого тела является установление соотношений между кинематическими характеристиками абсолютного, относительного и переносного движений. Сложное движение твердого тела может состоять из поступательных и вращательных движений или может быть получено в результате сложения поступательного и вращательного движений. В некоторых задачах кинематики заданное сложное движение твердого тела раскладывают на составляющие движения (анализ); в других - требуется определить сложное движение как результат сложения более простых (синтез). Как при анализе, так и при синтезе движений речь идет о разложении и сложении движений, рассматриваемых в данный момент (мгновенных движений).

Сложение поступательных движений твердого тела

Пусть твердое тело одновременно участвует в двух мгновенно поступательных движениях, из которых одно является поступательным со скоростью v₁, второе - переносным со скоростью v₂(рис 2.73). Выделим какую-либо точку М тела. Найдем абсолютную скорость точки М

v_a = v_r + v_e = v₁ + v₂. (2.113)

Так как и относительное, и переносное движение твердого тела являются мгновенно поступательными, то относительные, переносные и, следовательно, согласно формуле (2.113), абсолютные скорости всех точек тела будут равны между собой в каждый момент времени (равны по величине и параллельны по направлению), т.е. абсолютное движение тела также является мгновенно поступательным.

Очевидно, что данный вывод применим к сложному движению твердого тела, состоящему из трех и более мгновенно поступательных движений, тогда в общем случае

. (2.114)

Итак, в результате сложения мгновенных поступательных движений твердого тела результирующее движение получается мгновенно поступательным.

Замечание. Мгновенно поступательное движение твердого тела отличается от поступательного тем, что при поступательном движении в каждый момент времени равны между собой скорости и ускорения всех точек тела, а при мгновенно поступательном движении в данный момент времени равны между собой только скорости всех точек тела.

66, 67 Сложение вращений вокруг параллельных осей

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением

с угловой скоростью  вокруг оси , закрепленной на кривошипе  (рис.1а), а переносное – вращением кривошипа  вокруг оси , параллельной , с угловой скоростью . Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной к осям.

Примем, что вращения направлены в одну сторону. Изобразим сечение  тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 1 б). Следы осей в сечении  обозначим буквами  и . Тогда  и . При этом векторы  и  параллельны друг другу, перпендикулярны  и направлены в разные стороны. Тогда точка  является мгновенным центром скоростей , а следовательно, ось , параллельная осям  и , является мгновенной осью вращения. Для определения угловой скорости  абсолютного вращения тела вокруг оси  и положения самой оси, т.е. точки , воспользуемся свойством мгновенного центра скоростей

,

откуда

.

Подставив в эти равенства значения  и , окончательно получим

		(1)
		(2)

Итак, при сложении двух направленных в одну сторону вращений вокруг параллельных осей результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной скоростью  вокруг мгновенной оси, параллельной данным, положение которой определяется пропорциями (2).

С течением времени мгновенная ось вращения  меняет свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.

Рассмотрим теперь случай, когда вращения направлены в разные стороны (рис.2).

Допустим, что . Тогда, рассуждая, как в предыдущем случае, для угловой скорости  абсолютного движения тела вокруг оси  и положения самой оси, получим

		(3)
		(4)

Таким образом, при сложении двух направленных в разные стороны вращений вокруг параллельных осей, результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью  вокруг мгновенной оси, положение которой определяется пропорциями (4).

Заметим, что в этом случае точка  делит расстояние между параллельными осями внешним образом.

Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны, но по модулю  (рис.3).

Такая совокупность вращений называется парой вращений, а векторы  и  образуют пару угловых скоростей. В этом случае получим  и , то есть  = . Тогда мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости .

Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью, численно равной  и направленной перпендикулярно плоскости , проходящей через векторы  и  . Таким образом, пара вращений эквивалентна мгновенно поступательному движению со скоростью , равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.

Примером пары угловых скоростей является движение велосипедной педали  относительно рамы велосипеда (рис.4).

Это движение представляет собой совокупность переносного вращения вместе с кривошипом  вокруг оси  и относительного вращения педали по отношению к кривошипу вокруг оси . Педаль  за все время движения остается параллельной своему первоначальному положению, т.е. совершает поступательное движение.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Кривошип  вращается вокруг оси  по часовой стрелке с угловой скоростью , а диск радиуса  вращается вокруг оси  по часовой стрелке с той же угловой скоростью  относительно кривошипа. Найти величину и направление абсолютных скоростей точек  и  (рис.5).

Решение. Так как угловые скорости переносного и относительного вращений равны по модулю и направлены в одну сторону, то мгновенный центр вращений  диска лежит посредине между  и , т.е. . Модуль абсолютной угловой скорости  вращения диска вокруг точки  равен . Отсюда находим:

, ,

, .

Пример 2. Кривошип  вращается вокруг оси  с угловой скоростью . На палец  кривошипа свободно насажена шестерня радиуса , сцепленная с неподвижным зубчатым колесом радиуса . Найти абсолютную угловую скорость  шестерни и ее угловую скорость  относительно кривошипа (рис.6).

Решение. Так как шестерня сцеплена с неподвижным колесом, то абсолютная скорость точки  зацепления шестерни с этим колесом равна нулю, т.е. точка  является для шестерни мгновенным центром вращения. Отсюда  или ,

откуда

.

Заметим, что направление вращения шестерни совпадает с направлением вращения кривошипа.

Тогда абсолютную угловую скорость шестерни находим из равенства

или

.