Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015

f (x) f (x0 ) .

Приклад розривної функції:

y

f(x0)+ f(x0) f(x0)-

Означення. Функція f(x) називається неперервною в точці х=х0, якщо приріст функції в точці х0 є нескінченно малою величиною:

умови, що g(x) не дорівнює нулю в точці х0.

3) Суперпозиція неперервних функцій –є неперервна функція.

Неперервність деяких елементарних функцій

1) Функція f(x)=C, C = const – неперервна функція на всій області визначення.

значень х, крім тих, при яких знаменник обертається в нуль. Таким чином, функція цього виду неперервна на всій області визначення.

3) Тригонометричні функції sinх і cosх неперервні на своїй області визначення.

Точки розриву і їх класифікація

Розглянемо деяку функцію f ( x) , неперервну в околі точки x0 , за винятком може бути самої цієї точки. Із означення точки розриву функції

неперервною справа.

90

Аналогічно можна зробити висновок про те, що якщо функція f(x) спадає на відрізку [a, b], то f (x) 0 на цьому відрізку. Якщо f (x)<0 в проміжку (a, b), то f(x) спадає на відрізку [a, b].

Це твердження справедливе, якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на інтервалі (a, b).

Теорему можна проілюструвати геометрично:

Точки екстремуму

Означення. Функція f(x) має в точці х1 максимум, якщо її значення в цій точці більше значень в усіх точках деякого інтервалу, який містить точку х1. Функція f(x) має в точці х2 мінімум, якщо f(x2+ x) > f(x2) при будь-якому х ( х може бути і від’ємним).

Очевидно, що функція, визначена на відрізку може мати максимум і мінімум лише в точках, які знаходяться всередині цього відрізку. Не можна також плутати максимум і мінімум функції з її найбільшим і найменшим значенням на відрізку – це поняття принципово різні.

Означення. Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму.

Теорема. (необхідна умова існування екстремуму). Якщо функція f(x)

диференційована в точці х = х1 і точка х1 є точкою екстремуму, то похідна функції обертається в нуль в цій точці.

Наслідок. Обернене твердження невірне. Якщо похідна функції в деякій точці дорівнює нулю, то це ще не значить, що в цій точці функція має екстремум. Приклад цього – функція у = х3, похідна якої в точці х=0 дорівнює нулю, однак в цій точці функція має лише перегин, а не максимум або мінімум.

Означення. Критичними точками функції називаються точки, в яких похідна функції не існує або дорівнює нулю.

Розглянута теорема дає нам необхідні умови існування екстремуму, але цього недостатньо.

92

x

х

В точці х=0 функція має мінімум, В точці х=0 функція не має ні максимуму, але не має похідної. ні мінімуму, ні похідної.

Взагалі кажучи, функція f(x) може мати екстремум в точках, де похідна не існує або дорівнює нулю.

Теорема. (Достатні умови існування екстремуму). Нехай функція f(x)

неперервна в інтервалі (a, b), який містить критичну точку х1, і диференційована в усіх точках цього інтервалу (окрім, можливо, самої точки х1).

Якщо при переході через точку х1 зліва направо похідна функції f (x) змінює знак з “+” на “-“, то в точці х = х1 функція f(x) має максимум, а якщо похідна змінює знак з “-“ на “+”- то функція має мінімум.

Найбільше та найменше значення функції на відрізку

Порядок дій при знаходженні найбільшого і найменшого значення функції на відрізку:

1)Знайти критичні точки функції.

2)Знайти значення функції в критичних точках.

3)Знайти значення функції на кінцях відрізка.

4)Вибрати серед отриманих значень найбільше і найменше. Дослідження функції на екстремум за допомогою похідних вищих порядків

Нехай в точці х=х1 f (x1)=0 і f(x1) існує і неперервна в деякому околі точки х1.

Теорема. Якщо f (x1) = 0, то функція f(x) в точці х=х1 має максимум,

якщо f(x1)<0 і мінімум, якщо f(x1)>0. Якщо f(x)=0, то характер критичної точки невідомий. Для його визначення потрібне подальше дослідження.

Опуклість і вгнутість кривої. Точки перегину.

Означення. Крива обернена опуклістю вгору на інтервалі (а,b), якщо всі її точки лежать нижче будь-якої її дотичної на цьому інтервалі. Крива, обернена

93

опуклістю вгору, називається опуклою, а крива, обернена опуклістю вниз – називається вгнутою (на рисунку показана ілюстрація наведеного означення).

у

x

Теорема 1. Якщо в усіх точках інтервалу (a, b) друга похідна функції f(x) від’ємна, то крива y = f(x) обернена опуклістю вгору (опукла).

Означення. Точка, відтинаюча опуклу частину кривої від вгнутої,

називається точкою перегину.

В точці перегину дотична перетинає криву.

Теорема 2. Нехай крива визначається рівнянням y=f(x). Якщо друга похідна f(a)=0 або f(a) не існує і при переході через точку х=а f(x) змінює знак, то точка кривої з абсцисою х=а є точкою перегину.

Асимптоти

При дослідженні функцій часто буває, що при віддаленні координати х точки кривої у нескінченність крива необмежено наближається до деякої прямої.

Означення. Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань від змінної точки кривої до цієї прямої при віддаленні точки у нескінченність прямує до нуля.

Необхідно зазначити, що не кожна крива має асимптоту. Асимптоти можуть бути прямі і похилі. Дослідження функцій на наявність асимптот має велике значення і дозволяє більш точно визначати характер функції і поведінку графіка кривої.

В загалі кажучи, крива, необмежено наближаючись до своєї асимптоти, може і перетинати її, причому не в одній точці, як показано на наведеному

94

Горизонтальні асимптоти

Якщо в рівнянні похилої асимптоти y=kx+b функції y=f(x) маємо k =0, то таку похилу асимптоту називають горизонтальною асимптотою функції. Отже, горизонтальна асимптота – частинний випадок похилої – відшукується як похила асимптота за умов

завжди дорівнює нулю. Звідси можна зробити висновок:

Загальний план дослідження функції

1)Область існування функції (це поняття включає в себе і область значень і область визначення функції).

2)Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність.

3)З’ясувати точки перетину функції з осями координат.

4)Дослідити функцію на неперервність. Встановити точки розриву (якщо вони є).

5)Визначити інтервали зростання і спадання функції.

6)Знайти точки максимуму і мінімуму та значення функції в цих точках.

7)Знайти максимальне і мінімальне значення функції на її області визначення (якщо вони існують).

8)Визначити області опуклості і вгнутості, а також точки перегину функції.

9)Знайти асимптоти графіка функції (якщо вони існують).

10)Побудувати графік функції.

Застосування цієї схеми розглянемо на прикладі (див. приклад 6).

96

Графік цієї функції:

1

0.8

1)Вертикальні асимптоти: y +при x 0-0; y - при x 0+0, отже, х= 0- вертикальна асимптота.

2)Похилі асимптоти:

97

98

99