Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015

В цьому випадку інтеграл f (x)dx називається абсолютно збіжним.

a

Невласні інтеграли другого роду

Якщо границі в правій частині рівності існують і скінченні, то невласний інтеграл називається збіжним, в протилежному випадку – розбіжним. У випадку c a або c b означення відповідним чином спрощується.

Подвійні інтеграли

Нехай у замкненій обмеженій області D площини xOy визначено

для якої ця границя існує і скінчена, називається інтегрованою в цій області.

У прямокутній системі координат диференціал площі S dxdy , тоді

подвійний інтеграл набере вигляду:

I f (x, y)dxdy .

D

Якщо область D , в якій розглядається подвійний інтеграл, є прямокутником з паралельними координатним осям сторонами, які задано

Інтеграли у правих частинах цих формул називаються повторними.

140

4.Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

5.Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Навчальні цілі

Вивчення теми надасть студентам можливість вивчити види диференціальних рівнянь та методи їх розв’язання.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Звичайні диференціальні рівняння Розв'язок різноманітних геометричних, фізичних а також економічних задач

часто зводяться до рівнянь, які пов’язують незалежні змінні, які характеризують ту чи іншу задачу, з деякою функцією цих змінних і похідними цієї функції різних порядків.

Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке пов’язує незалежні змінні, їх функції і похідні (або диференціали) цієї функції.

Означення. Якщо диференціальне рівняння має одну незалежну змінну,

то воно називається звичайним диференціальним рівнянням, якщо ж незалежних змінних дві або більше, то таке диференціальне рівняння називається

диференціальним рівнянням в частинних похідних.

Означення. Найвищій порядок похідних, які входять в рівняння,

називається порядком диференціального рівняння.

Наприклад.

x3 y 8y x 5 0 - звичайне диференціальне рівняння 1–го порядку. В

називається така диференційована функція y= (x, C), яка при підстановці в початкове рівняння замість невідомої функції обертає рівняння в тотожність.

Властивості загального розв’язку

1)Так як постійна С – довільна величина, то взагалі кажучи диференціальне рівняння має нескінченну множину розв’язків.

2)За деяких початкових умов х=х0, у(х0)=у0 існує таке значення С=С0,

при якому розв’язком диференціального рівняння є функція у= (х, С0). Означення. Розв'язок виду у= (х, С0) називається частинним розв’язком

диференціального рівняння.

Означення. Задачею Коші (Огюстен Луі Коші (1789-1857)- французький математик) називається знаходження будь-якого частинного розв’язку диференціального рівняння виду у= (х, С0), що початковим умовам у(х0)=у0.

Теорема Коші (теорема про існування і єдиність розв’язку диференціального рівняння 1- го порядку). Якщо функція f(x, y) неперервна в деякій області D в площині xOy і має в цій області неперервну частинну

142

похідну y f (x, y) , то якою б не була точка (х0,у0) в області D, існує єдиний розв’язок y (x) рівняння y f (x, y) , який визначений на деякому інтервалі,

який містить точку х0, і приймає при х = х0 значення (х0) = у0, тобто існує єдиний розв’язок диференціального рівняння.

Означення. Інтегралом диференціального рівняння називається будь-яке рівняння, що не містить похідних, для якого дане диференціальне рівняння є наслідком.

Означення. Інтегральною кривою називається графік y= (x) розв’язку диференціального рівняння на площині xOy .

Означення. Особовим розв’язком диференціального рівняння називається таке рішення, в усіх точках якого умова єдиності Коші не виконується, тобто в околі деякої точки (х, у) існує не менш двох інтегральних кривих.

Особові розв’язки не залежать від постійної С.

Особові розв’язки не можна отримати із загального розв’язку ні за яких значеннях постійної С. Не кожне диференціальне рівняння має особові розв’язки.

Диференціальні рівняння першого порядку.

Означення. Диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення, яке пов’язує функцію, її першу похідну і незалежну змінну, тобто співвідношення виду:

підстановці в отримане вище рівняння маємо:

P(x, y)dx Q(x, y)dy 0

- диференціальна форма рівняння першого порядку.

Розглянемо типи рівнянь першого порядку і методи їх розв’язку. Рівняння виду y’ = f(x)

Нехай функція f(x) – визначена і неперервна на деякому інтервалі a<x<b. В такому випадку всі розв’язки даного диференціального рівняння знаходяться як y f (x)dx C . Якщо задані початкові умови х0 і у0, то можна визначити

постійну С.

Рівняння з відокремлюваними змінними

Означення. Диференціальне рівняння y f (x, y) називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо його можна записати у вигляді

y (x) ( y) .

143

Таке рівняння можна зобразити також у вигляді:

Після знаходження відповідних інтегралів отримаємо загальний розв’язок диференціального рівняння з відокремлюваними змінними.

Якщо задані початкові умови, то при їх підстановці в загальний розв’язок знаходиться постійна величина С, а, відповідно, і частинний розв’язок.

Однорідні рівняння

Означення. Функція f(x, y) називається однорідною n–го виміру відносно своїх аргументів х і у, якщо для будь-якого значення параметра t (окрім нуля) виконується тотожність:

однорідним, якщо його права частина f(x,y) є однорідна функція нульового виміру відносно своїх аргументів.

Будь-яке рівняння виду P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 є однорідним, якщо функції P(x, y) і Q(x, y) – однорідні функції однакового виміру.

Розв'язок будь-якого однорідного рівняння оснований на зведенні цього рівняння до рівняння з відокремлюваними змінними.

Розглянемо однорідне рівняння y f (x, y).

Так як функція f(x,y) – однорідна нульового виміру, то можна записати:

f (tx, ty) f (x, y).

Так як параметр t довільний, припустимо, що t 1x . Отримаємо:

Права частина отриманої рівності залежить фактично лише від одного аргументу u xy , тобто

Початкове диференціальне рівняння таким чином можна записати у вигляді:

таким чином, отримали рівняння з відокремлюваними змінними відносно невідомої функції u :

144

При цьому очевидно, що y u dvdx v dudx - диференціювання частинами.

Підставляючи в початкове рівняння, отримаємо:

Таким чином, можливо отримати функцію u, проінтегрувавши, отримане співвідношення як однорідне диференціальне рівняння за описаною вище схемою:

у дужках дорівнює нулю:

Це співвідношення може вважатися розв’язком неоднорідного лінійного диференціального рівняння в загальному вигляді за методом Бернуллі.

Метод варіації довільної сталої Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння:

y P(x) y Q(x) .

Перший крок даного методу полягає у відкиданні правої частини рівняння і заміні її нулем:

y P(x) y 0

Далі знаходиться розв’язок отриманого однорідного диференціального рівняння:

y C1e P( x)dx .

146

Для того, щоб знайти відповідні рішення неоднорідного диференціального рівняння, будемо вважати постійну С1 деякої функцією від х.

Тоді за правилами диференціювання добутку функцій отримаємо:

y dy dC1 (x) e P( x)dx C1 (x)e P( x)dx ( P(x)) . dx dx

Підставимо отримане співвідношення в шукане рівняння:

dC1 (x)e P( x)dx C1 (x)P(x)e P( x)dx P(x)C1 (x)e P( x)dx Q(x) , dx

dC1 (x) e P( x)dx Q(x); dx

З цього рівняння визначимо змінну функцію С1(х):

dC1 (x) Q(x)e P( x)dx dx;

Інтегруючи, отримаємо:

C1 Q(x)e P( x)dx dx C .

Підставляючи це значення в початкове рівняння, отримаємо:

Таким чином, ми отримали результат, повністю співпадаючий з результатом розрахунку по методу Бернуллі.

Рівняння Бернуллі Означення. Рівнянням Бернуллі називається рівняння виду

y Py Q y n ,

де P і Q – функції від х або постійні числа, а n – постійне число, яке не дорівнює 1.

Рівняння в повних диференціалах Означення. Диференціальне рівняння першого порядку виду:

M (x, y)dx N (x, y)dy 0

називається рівнянням в повних диференціалах, якщо ліва частина цього рівняння являє собою повний диференціал деякої функції u F (x, y).

Інтегрування такого рівняння зводиться до знаходження функції u, після чого розв’язок легко знаходиться у вигляді:

Таким чином, для розв’язку потрібно визначити:

1)в якому випадку ліва частина рівняння являє собою повний диференціал функції u;

2)як знайти цю функцію.

Якщо диференціальна форма M (x, y)dx N (x, y)dy є повним диференціалом деякої функції u, то можна записати:

du M (x, y)dx N (x, y)dy ux dx uy dy.

Знайдемо мішані похідні другого порядку, продиференціювавши перше рівняння по у, а друге – по х:

Прирівнюючи ліві частини рівнянь, отримаємо необхідну і достатню умову того, що ліва частина диференціального рівняння є повним диференціалом. Ця умова також називається умовою тотальності:

M (x, y) N (x, y) .y x

Тепер розглянемо питання про відшукання функції u.

Проінтегрувавши рівність u M (x, y) :

x

u M (x, y)dx C( y).

Після інтегрування отримаємо не постійну величину С, а деяку функцію С(у), так як при інтегруванні змінна у вважається постійним параметром.

Визначимо функцію С(у). Продиференцюємо отриману рівність по у.

148