Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Университет таможенного дела и финансов

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2016

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Методичні рекомендації до практичного заняття

Однорідні різницеві рівняння

Означення. Лінійним різницевим рівнянням k -го

порядку називається

рівняння виду

b k y

b k 1 y

... b y

f (n) ,

(n 0,1,2,...) ,

де b0 ,b1 ,..., bk

- сталі коефіцієнти.

Запишемо це різницеве рівняння в рівносильній формі:

a0 yn k a1 yn k 1 a2 yn k 2 .... ak yn f (n) , (n 0,1,2,...) .

Число k називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна

подати в операторній формі:

L(S) yn f (n) ,

(n 0,1,2,...)

L(S) a

S k a S k 1

S k 2 .... a

k 1

Якщо

f (n) 0 , різницеве

рівняння

називається однорідним, а якщо

f (n) 0 , різницеве рівняння

називається

неоднорідним. Для однозначного

визначення розв’язку зазвичай задаються початкові умови

y0,n

(n 0,1,2,..., k 1) .

Означення. Розв’язком різницевого рівняння називається послідовність yn (n 0,1,2,...) , підставлення якої в це рівняння перетворює його на тотожність.

Властивості

однорідного

різницевого

рівняння

a0 yn k

a1 yn k 1

a2 yn k 2 .... ak yn

0 :

1. Якщо різницеве рівняння має розв’язок yn y1,n (n 0,1,2,...) , то воно має

також розв’язок yn

c1 y1,n (n 0,1,2,...) , c1

const .

2. Якщо

різницеве

рівняння

має

два

розв’язки

yn y1,n ,

yn y2,n ,

(n 0,1,2,...) , то воно має також розв’язок yn y1,n y2,n

(n 0,1,2,...) .

Звідси випливає, що це різницеве рівняння має також розв’язок

yn c1 y1,n

c2 y2,n , (n 0,1,2,...) , c1 const ,

c2 const .

Означення. Розв'язок різницевого рівняння k -го порядку

c1 y1,n c2 y2,n ... ck yk ,n

називається загальним,

якщо завдяки вибору довільних сталих c1 , c2 ,..., ck

можна

задовольнити початкові умови

c1 y1,n c2 y2,n ... ck yk ,n y0,n ,

(n 0,1,2,..., k 1) .

При

цьому дана система

рівнянь

завжди має розв’язок

відносно

сталих

c1 , c2 ,..., ck .

Загальний метод розв’язування лінійних різницевих рівнянь зі сталими

коефіцієнтами (метод

Ейлера).

Частинні

розв’язки

однорідного

рівняння

a0 yn k

a1 yn k 1

a2 yn k 2 .... ak yn

0 відшукуємо у вигляді

n ,

(n 0,1,2,...) ,

const .

Число називається мультиплікатором розв’язку різницевого рівняння. Мультиплікатори визначаються із алгебраїчного рівняння

a0 k a1 k 1 ... ak 0 . 160

Це рівняння називається мультиплікаторним рівнянням.

Теорема. Якщо мультиплікаторне рівняння має k різних коренів1 , 2 ,..., k , то загальний розв’язок різницевого рівняння має вигляд:

C n C

n ... C

n , (n 0,1,2,...) .

1 1

Розглянемо випадок кратних коренів мультиплікаторного рівняння.

Теорема. Якщо

мультиплікаторне

рівняння

k a k 1

... a

має

кратні корені 1 , 2 ,..., l

кратності

відповідно

m1 ,..., ml

( m1 ... ml

k ),

то

загальний розв’язок різницевого рівняння запишеться так:

in (ci,1

ci,2 n ... ci,mi nmi 1 ) , (n 0,1,2,...) .

i 1

Неоднорідні різницеві рівняння зі спеціальною правою частиною

Розв’язування неоднорідного різницевого рівняння

a0 yn k

a1 yn k 1 a2 yn k 2 .... ak yn

f (n) , (n 0,1,2,...)

завжди можна звести до підсумування відомих функцій, застосувавши метод варіації довільних сталих. Загальний розв’язок різницевого рівняння є сумою частинного розв’язку неоднорідного різницевого рівняння і загального розв’язку однорідного різницевого рівняння.

Найчастіше неоднорідне різницеве рівняння має спеціальну праву частину

L(S) y

Q (n)bn ,

b const , (n 0,1,2,...) ,

де Ql (n) - многочлен від n степеня l . Тоді має місце наступні теореми.

Теорема.

Якщо

L(b) 0 ,

то

неоднорідне різницеве

рівняння має

частинний розв’язок

вигляду

P (n)bn , (n 0,1,2,...) , де

P (n) - деякий

многочлен від n степеня l .

Теорема.

Якщо

L(b) 0

і b

є коренем рівняння L( ) 0

кратності m , то

різницеве рівняння L(S) y

Q (n)bn

має частинний розв’язок вигляду

Многочлен коефіцієнтів.

yn nm Pl (n)bn , (n 0,1,2,...) .

Pl (n) від n степеня l можна знайти методом невизначених

Система лінійних різницевих рівнянь

Лінійне різницеве рівняння k - го порядку завжди можна звести до системи лінійних різницевих рівнянь вигляду

y1,n 1	a1,1 y1,n	a1,2	y2,n	...	a1,k yk ,n f1 (n)
y2,n 1	a2,1 y1,n	a2,	2 y2,n	...	a2,k yk ,n f 2 (n)

...........................................................................

yk ,n 1 ak ,1 y1,n ak ,2 y2,n ...	ak ,k yk ,n f k (n)
n 0,1,2,...

Позначивши

	y				a	a	...	a
		1,n			11	12		1k
yn	y	2,n	,	A	a21	a22	...	a2k	,
yn	...		,	A	... ...		...	...	,
	...				... ...		...	...

						ak 2	...
	yk ,n				ak1	ak 2	...	akk

161

	f	1	(n)
		1
	f 2		(n)	,
F (n)		....		,
		....


	f k (n)

дістанемо систему різницевих рівнянь у векторній формі:

yn 1 Ayn F(n) , (n 0,1,2,...) .

Розв'язок однорідної системи різницевих рівнянь

можна дістати у вигляді

y1 Ay0 , y2 Ay1 A2 y0 , y3 Ay2 A3 y0 , ...,

yn 1

Ayn ,

(n 0,1,2,...)

yn An y0 .

Частинні розв’язки однорідної системи різницевих рівнянь відшукаємо у вигляді

	yn	X n , X const, X 0 .
Підставляючи yn	у систему різницевих однорідних рівнянь, дістаємо
рівняння X n 1 AX n ,	X AX .
Звідси випливає,	що - власне число, X		- власний вектор матриці A .
Отже, має місце наступна теорема.
Теорема. Якщо	матриця	A порядку k	має k різних власних чисел

1 , 2 ,..., k , то загальний розв’язок системи різницевих рівнянь набирає вигляду

c X

n c

n ... c

n , де c , c

,..., c

- довільні сталі.

1 1

Приклади

Знайдемо

загальний

розв’язок

різницевого

рівняння

yn 3 6 yn 2 12 yn 1 8yn 0 .

Розв'язок. Мультиплікаторне рівняння

3 6 2

12 8 0

має

корінь =2

третьої кратності. Тому загальний розв’язок рівняння набирає вигляду

2n (c c

n c

n2 ) .

2. Знайдемо частинний розв’язок різницевого рівняння

n 1

2 y

3n .

Оскільки число

b =3 не є коренем мультиплікаторного рівняння

2 0 , то

частинний

розв’язок

має вигляд

yn A 3n . Підставляючи

в різницеве

рівняння, дістаємо:

A 3n 1 2 A 3n 3n , 3A 2A 1,

A 1.

Частинний розв’язок має вигляд yn

3n .

3. Знайдемо загальний розв’язок системи рівнянь y1,n 1 y1,n 2 y2,n .

y2,n 1 4 y1,n 3y2,n

має власні числа

5 ,

1 і відповідні власні

Розв'язок. Матриця A

вектори X

Загальний розв’язок системи різницевих рівнянь подається так:

, (n 0,1,2,...) .

( 1)n

162

Завдання

1.Скласти рівномірну сітку і визначену на ній сіткову функцію при N=4, якщо функція y x 2 визначена на відрізку [0;1].

2.Знайти загальний розв'язок рівняння: y(i 1) ei y(i) 0 .

3. Знайти розв'язок задачі			Коші для рівняння четвертого порядку:
y(i 4) 4 y(i 2) 4 y(i) 0, i 4		із	заданими	початковими	умовами:
y(0) 1; y(1) 0; y(2) 6; y(3) 4
y(0) 1; y(1) 0; y(2) 6; y(3) 4	2 .

Питання для самоконтролю

1.Дайте визначення сітки, сіточної функції

2.Яку форму має лінійне різницеве неоднорідне рівняння n-го порядку з змінними коефіцієнтами?

3.Властивості розв’язків лінійних різницевих рівнянь.

4.Властивості розв’язків лінійних однорідних рівнянь.

5.Можливі випадки типів коренів характеристичних рівнянь однорідних різницевих рівнянь.

Рекомендована література [1,2,4]

Модуль І. Вища математика

Змістовий модуль V. Ряди та їх застосування. Елементи фінансової математики

Тема 14. Ряди та їх застосування План заняття

1.Основні означення.

2.Властивості рядів.

3.Необхідна умова збіжності ряду.

4.Достатні умови збіжності знакододатніх рядів.

Навчальні цілі

Вивчення теми надасть студентам можливість знати числові ряди з додатними членами, необхідні та достатні ознаки збіжності знакододатніх рядів.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Основні означення

Означення. Сума членів нескінченої числової послідовності u1 , u2 ,..., un ,...

називається числовим рядом

u1 u2 ... un ... un .

n 1

163

При цьому числа u1 ,u2 ,... будемо називати членами ряду, а un – загальним членом ряду.

			n
Означення.	Суми Sn u1	u2 ... un	uk ,	n = 1, 2, … називаються
			k 1
частинними сумами ряду.

Означення.	Ряд u1 u2	... un ... un		називається збіжним, якщо
			n 1

збігається послідовність його частинних сум. Сума збіжного ряду – границя послідовності його частинних сум.


lim Sn S,	S un .
	n 1

Означення. Якщо послідовність частинних сум ряду розбіжна, тобто не має границі, або має нескінченну границю, то ряд називається розбіжним і йому не ставлять у відповідність ніякої суми.

Властивості рядів

1)Збіжність або розбіжність ряду залишиться незмінною якщо змінити, відкинути або додати скінчену кількість членів ряду.

2)Розглянемо два ряди un і Cu n , де С – постійне число.

Теорема. Якщо ряд un збігається і його сума дорівнює S, то ряд

Cu n також збігається, і його сума дорівнює СS. (C 0)

3)Розглянемо два ряди un і vn . Сумою або різністю цих рядів буде називатись ряд (un vn ) , де елементи отримані в результаті додавання

(віднімання) початкових елементів з однаковими номерами.

Теорема. Якщо ряди un і vn збігаються і їх суми дорівнюють відповідно S і , то ряд (un vn ) також збігається і його сума дорівнює S + .

(un vn ) un vn S

Різниця двох збіжних рядів також буде збіжним рядом. Сума збіжного і розбіжного рядів буде розбіжним рядом.

Необхідна умова збіжності ряду

Якщо ряд un збігається, то загальний член ряду un прямує до нуля

lim un 0 .

Однак, ця умова не є достатньою. Можна лише стверджувати, що якщо загальний член ряду не прямує до нуля, то ряд точно є розбіжним. Наприклад,

	1
гармонічний ряд		є розбіжним, хоча його загальний член і прямує до нуля.
	n
n 1

Ряди з невід’ємними членами

Теорема. Для збіжності ряду un з невід’ємними членами необхідно і достатньо, щоб частинні суми ряду були обмежені.

164

Ознака порівняння рядів з невід’ємними членами

Нехай задані два ряди un

і vn при un, vn 0.

Теорема. Якщо un vn

при

будь-якому n, то із збіжності ряду vn

випливає збіжність ряду un

а із розбіжності ряду un випливає розбіжність

ряду vn .

Також використовується наступна ознака збіжності:

Теорема. Якщо

існує границя

lim

h , де h – число,

n v

відмінне від нуля, то ряди un

і vn є або одночасно збіжними або одночасно

розбіжними.

Ознака Даламбера

(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французький математик)

Якщо існує границя lim

un 1

, то при < 1 ряд збігається, а при > 1 –

розбігається. Якщо = 1, то ряд може бути як збіжним так і розбіжним.

Ознака Коші

Якщо існує границя lim n

, то при <1 ряд збігається, а при >1 ряд

розбігається.

Інтегральна ознака Коші

Якщо (х) – неперервна знакододатня функція, яка спадає на проміжку

[1; ), то ряд (1)+ (2)+ …+ (n)+ …= (n)

і невласний інтеграл (x)dx

n 1

одинакові в характері збіжності.

Приклади

1. Дослідити ряд на збіжність:

...

3n 1

Розв'язок. Знайдемо lim

lim

0 - необхідна ознака збіжності не

3n 1

виконується, отже ряд є розбіжним.

2. Дослідити ряд на збіжність:

...

ln 2

ln 3

ln n

Розв'язок. Так як

, а гармонічний ряд

розбіжний, то розбіжним є і

ln n

ряд

ln n

3. Дослідити ряд на збіжність:

n 1

165

Розв'язок. Так як	1	1	, а ряд	1
	n	n		n
	n2	2		2

збігається.

	n
4. Дослідити ряд на збіжність:	n	.
4. Дослідити ряд на збіжність:	n	.
n 1	2

Розв'язок. Застосуємо ознаку Даламбера:

n 1

(n 1)2n

; u

;

lim

n 1

2n 1

n u

2n 1 n

	1
є збіжним, то ряд		також
	n
n 1	n2

	1
n 1	1		1
		n		1
2n	2		2

Отже, ряд є збіжним.

5. Дослідити ряд на збіжність:

1 11! 21! ... n1! ...

Розв'язок. Застосуємо ознаку Даламбера:

; u

; lim

un 1

lim

0 1

n 1

(n 1)!

n u

n (n 1)!

n n 1

Отже, ряд є збіжним.

6. Дослідити ряд на збіжність:

Розв'язок. Застосуємо ознаку Коші:

	2n2		1	n
				.
		2
	3n		5
n 1

											1
			2n2		1					2						2
		lim					lim						n2				1
lim n u	n												n2
lim n u			3n2		5						5					3
n		n						n
n		n						n
										3
										3		n2
Висновок: ряд є збіжним.
7. Дослідити на збіжність ряд				1		2			3					4	...
7. Дослідити на збіжність ряд															...
			2		22			23			24

І спосіб Для розв’язання даного прикладу використовуємо ознаку Даламбера:

Limun 1 k , при k > 1 ряд розбіжний, при k < 1 ряд збіжний

n un

un	n	;	un 1	n 1
	2 n			2 n 1

n 1

un 1

n 1 * 2n

2n 1

Lim

, ряд збіжний.

n * 2n 1

ІІ спосіб Для розв’язування даного прикладу використовуємо радикальну ознаку

Коші:

Lim n un k; при k > 1 ряд розбіжний , при k < 1 ряд збіжний.

166

Lim n

Lim

Lim n u

- ряд збіжний.

n 2

Завдання

1. Дослідити на збіжність ряди:

В. 1

n n 1 n

3n 1

5n 1

1. 4

;

4n 1

n 1

n 2 n

ln n

B. 2

(n 1)!

2n2 1

sin

; 2.

;

; 4.

cos

2n 5

3n2 1

n 1

B. 3

2n 1

;

; 3. arctg n

; 4.

2n 1

n 1

(n 1) ln3 (n 1)

n 1

3n 1

B. 4

				12n 1	n
1. (n 1)tg		; 2.			;
	2n 1
n 1			n 1	3n


		n
3.	e			; 4. arccos	1	.

			n
n 1			n	n 1	n

Питання для самоконтролю

1.Що називається числовим рядом? Що називається загальним членом ряду? Навести приклади.

2.Який ряд називається збіжним? Що називається його сумою? Який ряд називається розбіжним? Навести приклади.

3.Сформулювати та довести необхідну ознаку збіжності ряду. У чому полягає найпростіша достатня ознака розбіжності. Навести приклади.

Рекомендована література [1,2,4]

Тема 14. Ряди та їх застосування План заняття

1.Знакозмінні ряди. Ознака Лейбниця.

2.Абсолютна і умовна збіжність рядів.

3.Ознаки Даламбера і Коші для знакозмінних рядів.

4.Функціональні ряди. Степеневі ряди.

5.Розвинення функції в степеневий ряд.

Навчальні цілі

Вивчення теми надасть студентам можливість знати знакозмінні ряди, умови абсолютної та умовної збіжності рядів. Також вивчити поняття степеневих рядів, визначати радіус та інтервал збіжності степеневого ряду. А також застосування степеневих рядів до наближених обчислень.

167

Методичні рекомендації до практичного заняття

Знакозмінні ряди

Нехай маємо ряд un , в якого є як додатні, так і від’ємні члени. Такі

n 1

ряди називаються знакозмінними.

Серед знакозмінних рядів відокремлюють знакопочережні ряди, тобто ряди, в яких додатні та від’ємні члени чергуються.

Знакопочережний ряд можна записати у вигляді:

... ( 1)n 1 u

... , де u

n 1,2,3,... .

Ознака Лейбниця

Якщо у знакопочережного ряду u

... ( 1)n 1 u

... абсолютні

величини ui спадають u1 u2

u3 ... і загальний член прямує до нуля un

0 , то

ряд є збіжним.

Абсолютна і умовна збіжність рядів

Розглянемо деякий знакозмінний ряд u1 u2

... un ... un (1) і ряд, складений

n 1

із абсолютних величин членів цього ряду

...

(2).

n 1

Теорема. Із збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1).

Означення. Ряд un називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд un .

Означення. Ряд un називається умовно збіжним, якщо він збігається, а ряд un розбігається.

Ознаки Даламбера і Коші для знакозмінних рядів

Ознака Даламбера. Нехай un - знакозмінний ряд. Якщо існує границя

lim

un 1

, то при <1 ряд un

буде абсолютно збіжним, а при >1 ряд буде

розбіжним. При =1 ознака не дає відповіді щодо збіжності ряду.

, то при <1 ряд

un буде

Ознака Коші. Якщо існує границя lim n

абсолютно збіжним, а при >1 ряд буде розбіжним. При =1 ознака не дає відповіді щодо збіжності ряду.

Функціональні ряди Означення. Якщо членами ряду будуть не числа, а функції від х, то ряд

називається функціональним.

Дослідження на збіжність функціональних рядів складніше ніж дослідження числових рядів. Один і той самий функціональний ряд може при однакових значеннях змінної x збігається, а при інших – розбігається. Тому питання збіжності функціональних рядів зводиться до визначення тих значень змінної x , за яких ряд збігається.

Сукупність таких значень називається областю збіжності.

168

Степеневі ряди Означення. Степеневим рядом називається ряд вигляду


a0 a1 x a2 x 2	... an x n ... an x n .
	n 0

Теорема Абеля (Нільс Хенрік Абель (1802 – 1829) – норвезький математик)

Теорема. Якщо степеневий ряд

a0 a1 x a2 x 2 ... an x n ... an x n

n 0

збігається при x = x1 , то він збігається і д отого абсолютно для всіх x x1 .

Наслідок. Якщо при х = х1 ряд розбігається, то він розбігається для всіх

x x1 .

Таким чином, для кожного степеневого ряду існує таке додатне число R, що при всіх х таких, що x R ряд абсолютно збігається, а при всіх x R ряд

розбігається. При цьому число R називається радіусом збіжності. Інтервал (-R,

R) називається інтервалом збіжності.

Радіус збіжності може бути знайдено за формулами:

R lim	an 1	або R lim	1		.
	an


n		n n	a	n

Розвинення функцій в степеневі ряди Розвинення функцій в степеневий ряд має велике значення для розв’язку

різних задач дослідження функцій, диференціювання, інтегрування і т.д. Задача

відшукання за заданою функцією

степеневого ряду, для якого

f є його

сумою, називається задачею розвинення функції в степеневий ряд.

Припустимо, що функція f

у точці x0

має похідні всіх порядків. Тоді

можна побудувати степеневий ряд

(n)

(x0 )

an (x x0 )n , де an

n 1

Такий ряд називається рядом Тейлора функції f . Уразі, коли x0

0 , ряд

(n)

(0)

an x n

, де an

називають рядом Маклорена.

n 1

У разі розвинення функції в степеневий ряд коефіцієнти ряду Тейлора

відшукують, використовуючи п’ять основних розвинень:

1) e x

;

n 1

cos x

( 1)n

;

n 1

(2n)!

x 2n 1

sin x ( 1)n 1

;

(2n 1)!

n 1

169

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.03.2016328 Кб14Маркетинг Заоч. 2013.doc
#
03.03.20162 Мб43Маркетинговий менеджмент Ден. Маг. 2014.doc
#
07.11.20183 Мб7Математ. конт.работы.doc
#
04.03.20166 Мб36Математика для економістів Ден.. 2010 ч.1.pdf
#
04.03.20166 Мб28Математика для економістів Заоч. 2010 ч.1.pdf
#
04.03.20165 Мб42Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015.pdf
#
07.11.20181 Мб8Математичн модел у ф нансах Ден. 2009.doc
#
04.03.20162 Мб43Математичні моделі в економіці Ден. Маг. 2015 Чупилко.pdf
#
01.03.2025445 Кб0МБ_1-50.doc
#
03.03.201610 Мб49Международный менеджмент Учебное пособие 2010.doc
#
04.03.2016644 Кб37Международный менеджмент. Опорный конспект лекцій 2015.docx