Здесь (k −m−1) число степеней свободы соответствующих

выборочных дисперсий (m — количество объясняющих переменных в уравнении регрессии).

При сделанных предположениях относительно случайных отклонений построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы ν1 =ν2 =(k −m−1).

гетероскедастичности отклоняется (здесь α — выбранный уровень значимости).

Естественным является вопрос, какими должны быть размеры подвыборок для принятия обоснованных решений? Для парной регрессии Голдфелд и Квандт предлагают следующие пропорции: n =30, k =11; n =60, k =22 .

Для множественной регрессии данный тест обычно проводится для той объясняющей переменной, которая в наибольшей степени связана с σi . При этом k должно быть больше, чем (m+1). Если нет

уверенности относительно выбора переменной Xj, то данный тест может осуществляться для каждой из объясняющих переменных.

Этот же тест может быть использован при предположении об обратной пропорциональности между σi и значениями объясняю-

щей переменной. При этом статистика Фишера примет вид: F = S1 . S 3

§ 4. Методы смягчения проблемы гетероскедастичности

Как отмечалось, гетероскедастичность приводит к неэффективности оценок, несмотря на их несмещенность. Это может обусловить необоснованные выводы по качеству модели. Поэтому при установлении гетероскедастичности необходимо преобразовать модель с целью устранения данного недостатка.

113

Пример 5.1. Пусть имеются условные данные, выстроенные в порядке возрастания объясняющей переменной x (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Исходные данные для исследования гетероскедастичности

Уравнение регрессии, построенное по всем исходным данным, имеет вид ˆy =3,8+1,92x . Для оценки гетероскедастичности

применим тест Голдфелда–Квандта. Уравнение регрессии, построенное по первым 11 данным, имеет вид ˆy =3,6+1,95x , сум-

ма квадратов остатков равна S1 =57,07 . Уравнение регрессии, построенное по последним 11 данным, имеет вид ˆy =15,7+1,45x , сумма квадратов остатков равна S 3 =924,40 . F-статистика равна F =1050,01 / 36,22=16,2 , что превосходит табличные значения

при уровнях значимости 5%, 1%. Следовательно, имеется гетероскедастичность остатков.

Рассчитаем в примере 5.1 квадраты остатков с использованием всех исходных данных ei2 =(yi −3,8−1,92xi)2 . Полученные резуль-

таты представим на графике (рис. 5.1). Согласно рис. 5.1, будем полагать, что дисперсия остатков пропорциональна x2.

114

Рис. 5.3. Зависимость квадратов остатков от значений объясняющей переменной

Предположим, что в модели парной линейной регрессии, дисотклонений εi пропорциональны значениям xi, т. е.

115

В этом случае обобщенный метод наименьших квадратов будет эквивалентен обычному МНК, если уравнение модели парной ли-

Таким образом, оценив для (5.8) по обычному МНК коэффициенты β0 и β1 , затем возвращаются к исходному уравнению регрес-

сии (2.2).

Отметим, что для применения описанных выше преобразований весьма значимы знания об истинных значениях дисперсий откло-

нений σi2 , либо предположения, какими эти дисперсии могут быть. Во многих случаях дисперсии отклонений зависят не от включенных в уравнение регрессии объясняющих переменных, а от тех, которые не включены в модель, но играют существенную роль в исследуемой зависимости. В этом случае они должны быть включены в модель. В ряде случаев для устранения гетероскедастичности необходимо изменить спецификацию модели (например, линейную на лог-линейную, мультипликативную на аддитивную и т. п.).

На практике имеет смысл применить несколько методов определения гетероскедастичности и способов ее корректировки (преобразований, стабилизирующих дисперсию).

Если в уравнении регрессии присутствует несколько объясняющих переменных, можно поступить следующим образом. Вместо конкретной объясняющей переменной Xj используется

116