9.Что такое временной лаг?

10.Как ведет себя автокорреляционная функция стационарного

ряда?

11.Как называют график коэффициентов автокорреляции временного ряда?

12.Как ведут себя автокорреляционная и частная автокорреляционная функции модели AR(p)?

13.Как ведут себя автокорреляционная и частная автокорреляционная функции модели MA(q)?

14.Как ведут себя автокорреляционная и частная автокорреляционная функции модели ARMA(p, q)?

15.При каких значениях параметра процесс )=φ y(t −1)+εty(t

будет носить взрывной характер?

18.При каком преобразовании процесс ARIMA(p, k, q) преобразуется в стационарный ряд?

19.Каким образом процесс y(t)=φ y(t −1)+εt преобразуют в ста-

ционарный ряд?

20.Как ведут себя коэффициенты при лаговых переменных с ростом номера лага в модели Койка?

21.Как зависят параметры уравнения от номера лага в модели Алмон?

22.Каков порядок действий при оценке моделей, содержащих авторегрессию, в методе, предложенном Уоллисом?

ГЛАВА 10. СИСТЕМЫ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель: изучение видов систем одновременных уравнений и методов оценки их параметров.

Методические указания

204

Следует понять, чем различаются экзогенные и эндогенные переменные, структурная и приведенная формы модели. Необходимо научиться определять условия идентификации отдельного уравнения системы. Затем необходимо запомнить порядок действий и научиться применять косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов.

§ 1. Общие понятия

Системой одновременных уравнений называется набор взаимосвязанных регрессионных моделей, в которых одни и те же переменные могут одновременно (в различных уравнениях) играть роль зависимых и объясняющих переменных.

При рассмотрении систем одновременных уравнений переменные делятся на два больших класса — эндогенные и экзогенные. Эндогенные переменные — это переменные, значения которых определяются внутри модели. Экзогенные переменные — это внешние по отношению к модели переменные. Их значения определяются вне модели и поэтому они считаются фиксированными. С математической точки зрения, главное отличие между экзогенными и эндогенными переменными заключается в том, что экзогенные переменные не коррелируют со случайными отклонениями, а эндогенные могут коррелировать (и, как правило, коррелируют). Модель содержит также различного рода параметры (коэффициенты), которые определяются в ходе статистического оценивания путем обработки имеющейся информации.

Для экономистов интерес представляет количественный анализ модели, т. е. нахождение оценок параметров на основании имеющейся в распоряжении исследователя информации о значениях переменных. Здесь возникает следующая проблема идентифицируемости: можно ли в предложенной модели однозначно восстановить значение некоторого параметра или его определение принципиально невозможно на основе рассматриваемой модели? Прежде чем переходить к процедурам оценивания, необходимо быть уверенным, что их применение имеет смысл.

205

Уравнения, составляющие исходную модель, называют структурными уравнениями модели. Структурная форма модели — это система уравнений, отражающая связь между переменными в соответствии с положениями экономической теории и характеризующая структуру экономики или ее сектора. Параметры структурной формы модели называют структурными. Если модель содержит тождества, то без потери общности их можно назвать уравнениями, в которых структурные параметры при переменных равны 1.

Уравнения, в которых отражена схема определения эндогенных переменных, называются уравнениями в приведенной форме (приведенными уравнениями). Это уравнения, в которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные и лаговые значения эндогенных переменных, а также случайные составляющие. Экзогенные и лаговые эндогенные переменные называются предопределенными. Таким образом, в приведенной форме модели в общем случае эндогенные переменные выражены через предопределенные переменные.

Таким образом, приведенная форма модели — это система уравнений, в которой каждая эндогенная переменная есть линейная функция от всех предопределенных переменных модели. Для экономической интерпретации применяются структурные уравнения, для прогнозирования — приведенная форма.

Взаимозависимые эндогенные переменные без временного запаздывания будем обозначать Y1t, Y2t, …, Ymt. Эндогенные переменные с временным запаздыванием и экзогенные переменные (как с запаздыванием, так и без него) будем обозначать Y1t, Y2t, …, Ykt.

Не будем рассматривать модели, содержащие уравнениятождества, тогда общая форма модели имеет вид:

206

Здесь j = 0 соответствует свободному коэффициенту, полага-

ем, что Х0 = (1, 1, …, 1)..

В общем случае в силу теоретических соображений некоторые из коэффициентов β и γ должны быть равны нулю. Если это не

так, то статистическое оценивание окажется невозможным. Перенесем все выражения, кроме случайных отклонений, на ле-

вую сторону и запишем модель в матричной форме:

207

Если мы предположим, что матрица B невырожденная, то переменные Y можно выразить через переменные X.

BYt +ΓXt =εt , B−1B Yt + B−1ΓXt = B−1εt , Yt = −B−1ΓXt + B−1εt .

Тогда получим приведенную форму модели:

k

Y1t = ∑π1 j X jt +η1t j=0

k

Y 2t = ∑π2 j X jt +η2t j=0

... ... ... ... ... ...

k

Y mt = ∑πmj X jt +ηmt . j=0

208

В матричной записи приведенная форма имеет вид:

Yt = Π Xt + ηt ,

Очевидно, что параметры структурной и приведенной формы модели связаны следующими соотношениями:

Π = −B−1Γ, ηt = B−1εt .

Из этих соотношений и из приведенной формы модели следует, что каждая из эндогенных переменных y1t , y2t ,..., ymt может, вообще

говоря, испытывать воздействие любого и каждого из случайных возмущений ε1t ,ε2t ,...,εmt . Поэтому, если в структурной форме мо-

дели какая-либо из эндогенных переменных y1t , y2t ,..., ymt стоит в

качестве объясняющей, то она почти обязательно коррелирует со случайным фактором этого уравнения. Корреляция между эндогенными объясняющими переменными и случайными возмущениями означает, что оценки, полученные обычным методом наименьших квадратов, будут несостоятельными.

Пример 10.1. Рассмотрим модель:

I t = β13V t +γ10 +γ11 I t −1 +ε1t ,

X t = β23V t +γ 20 +γ 22 K t +ε2t ,

V t = β32 X t +γ 30 +γ 31 I t −1 +ε3t ,

209

где I — инвестиционные затраты;

X — количество работающих; V — объем продукции;

K — стоимость основных производственных средств.

В данной модели I t , X t ,V t — эндогенные переменные, Kt — экзогенная переменная, I t −1 — предопределенная переменная (лаговая эндогенная). Перенесем все слагаемые, кроме случайных отклонений, в левую часть уравнений, получим:

I t − β13V t −γ10 −γ11 I t −1 =ε1t ,

X t − β23V t −γ 20 −γ 22 K t =ε2t ,

V t − β32 X t −γ 30 −γ 31 I t −1 =ε3t .

Матричная форма структурной модели имеет вид:

Приведенная форма модели имеет вид:

Выразим параметры приведенной формы через параметры структурной формы модели:

210