2.3. Аналитические зависимости кинематического анализа для структурных групп, связанных со стойкой

Решать задачу кинематического анализа будем методом векторных контуров, суть которого изложена в подразд. 2.2.

Рассматриваться будут механизмы с входным звеном – кривошипом, но это никак не ограничивает общности, т.к. в итоговых выражениях входными кинематическими параметрами будут параметры движения входной кинематической пары и полученные результаты будут инвариантны по отношению к входному движению.

2.3.1. Трёхшарнирная структурная группа

Механизм, состоящий из входного звена OA и структурной группы с тремя вращательными кинематическими парами представлен на рис. 2.6. Механизм может иметь две сборки (рис. 2.7, 2.8). Сборку, показанную на рис. 2.6, 2.7, принято считать прямой, а сборку на рис. 2.8 – обратной. В общем случае ось коромысла ВС может быть смещена от точки C на величину CD (рис. 2.6). Сначала найдем решение для случая CD = 0 (см. рис. 2.7, 2.8). Все величины, помеченные ниже знаком “*” относятся к этому случаю.

Уравнение замкнутого векторного контура для обеих сборок:

Проецируя его на оси неподвижной системы координат OXY и учитывая, что ₄ = 180^o = Const, а x_A = 1_l cos ₁, y_A = 1_l sin ₁ – координаты входного шарнира A в системе OXY, получим:

x_A + l₂ cos ₂ + l₃^* cos ₃ – l₄ = 0;

(2.9)

y_A + l₂ sin ₂ + l₃^* sin ₃ = 0.

Для получения явного решения этой системы рассмотрим схемы на рис. 2.7, 2.8. В системе координат AXY запишем уравнения окружностей: первая радиусом АВ с центром в шарнире А, вторая радиусом СВ, с центром в шарнире С:

x² + y² = AB²,

( 2.10 )

(x² – AC) ² + y² = BC²,

Отсюда получаем координаты шарнира B в системе AX₁Y₁:

( 2.11 )

_,

где

Знак “+” соответствует прямой сборке, “–” – обратной.

Найденные x_B1, y_B1 преобразуем в систему OXY, как это описано в подразделе 2.4. В результате получим координаты шарнира B x_B, y_B. Угол для такого преобразования:

(2.12)

Тогда искомые углы поворота шатуна АВ и коромысла ВС:

(2.13)

При наличии смещения CD (на рис. 2.6 показано положительное смещение) угол поворота коромысла BC:

₃ = ₃^* + ; (2.14)

где  = arctg(CD / l₃ ).

Для определения угловых скоростей шатуна AB ₂и коромысла BC₃продифференцируем систему (2.9) по времени :

v_Ax – l₂ ₂ sin ₂ – l₃^* ₃ sin ₃ = 0;

(2.15)

v_Ay + l₂ ₂ cos ₂ + l₃^* ₃ cos ₃ = 0.

где: v_Ax = – l₁ ₁ sin ₁, v_Ay = l₁ ₁ cos ₁ – проекции скорости входного шарнира A на оси неподвижной системы координат OXY.

Система (2.15) линейна относительно ₂, ₃, и легко разрешима, например, по формулам Крамера.

Дифференцируя (2.15) по времени, получим систему уравнений для определения угловых ускорений шатуна ₂ и коромысла ₃:

(2.16)

где:_,– проекции ускорения входного шарнира А на оси системы OXY.

Система (2.17) также линейна относительно неизвестных ₂, ₃.