1.12. Композиция законов распределения и суммирование погрешностей

При контроле размеров деталей на точность оказывают влияние одновременно несколько причин: одни вызывают появление случайных погрешностей, рассеивающихся по разным законам, другие вызывают появление систематических постоянных или переменных погрешностей.

В этих случаях закон распределения представляет собой композицию нескольких законов. Когда на размеры деталей одновременно оказывают влияние случайные причины, обуславливающие рассеяние размеров по закону Гаусса и систематические погрешности ∆_сист, кривая Гаусса смещается на величину этой погрешности, сохраняя свою форму (рис. 1.31).

В этом случае поле суммарного рассеяния размеров определяется из выражения:

ω = 6 σ + ∆_сист . (1.79)

При контроле партии деталей рассеяние размеров подчиняется закону нормального распределения с полем рассеяния 6σ. При смене измерительного прибора или при смещении нуля в процессе контроля характер рассеяния не меняется, так как все условия контроля остаются неизменными. Однако вершина кривой рассеяния смещается на величину разности старой и новой настройки (∆_н) измерительного прибора (∆_сист = ∆_н). Поле суммарного рассеяния размеров в соответствии с выражением (1.79) также расширяется на величину этой разности (∆_сист).

Если при этом кривая рассеяния строится по замерам деталей без учета систематической погрешности (когда измеряется вся партия деталей разными инструментами или с различной настройкой одного инструмента), то форма общей кривой рассеяния искажается и отличается от формы кривой Гаусса. Эта кривая (рис. 1.32) может иметь несколько вершин разной высоты соответственно числу настроек и количеству деталей, измеренных с каждой настройкой.

Суммирование погрешностей надо вести с учетом их классификации и протекания во времени.

Систематические – постоянные погрешности суммируются алгебраически с учетом их знаков. Вследствие этого результат суммирования может показать не только увеличение, но и снижение общей погрешности в связи с взаимной компенсацией влияния составляющих погрешностей.

Систематическая погрешность со случайной погрешностью суммируется арифметически в соответствии с формулой (1.79). Так как случайная погрешность может иметь любой знак, то при суммировании принимаются наименее благоприятные условия, когда случайная погрешность имеет тот же знак, что и систематическая.

Случайные погрешности суммируются геометрически, т.е. по правилу квадратного корня:

, (1.80)

где К₁, К₂, К₃, …, К_n – коэффициенты относительного рассеяния случайных величин. Коэффициент относительного рассеяния К_i или относительное среднеквадратическое отклонение показывает во сколько раз отличается фактическое рассеяние значений i-ой погрешности от величины рассеяния этой погрешности при ее нормальном распределении с тем же значением и определяется:

. (1.81)

Подставив в формулу (1.81) величины w для различных законов распределения случайной величины, получим для каждого из них свое значение коэффициента K_i: для закона нормального распределения К_i = 1,0, Симпсона –, равной вероятности –, Максвелла, Релея –К_i = 1,74 и т.д.

Когда все суммарные погрешности подчиняются закону Гаусса, К₁ = К₂ = К₃ = … = К_n = 1,0, то поле рассеяния суммарной погрешности имеет вид:

. (1.82)

При наличии систематических погрешностей в формулах (1.81) и (1.82) следует добавить ∆_сист.

Необходимо подчеркнуть, что при отсутствии доминирующих погрешностей рассеяние суммарной погрешности подчиняется закону Гаусса независимо от законов распределения составляющих погрешностей и поэтому справедлива формула (1.82).

Однако для того, чтобы учесть возможное на практике отступление распределения отдельных составляющих от закона Гаусса, в расчетах по формуле (1.82) часто принимают (для создания некоторой гарантии точности) значение К = 1,2, что соответствует распределению по закону Симпсона, т.е.

. (1.83)